Bài 5 phép nhân, phép chia các phân thức đại số

BÀI 5: PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững vận dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số + Hiểu vận dụng khái niệm phân thức nghịch đảo + Hiểu vận dụng thứ tự thực phép tính dãy có phép tính cộng, trừ, nhân, chia; có dấu ngoặc + Hiểu vận dụng tính chất phép tốn vào giải tốn  Kĩ + Thành thạo cộng, trừ, nhân, chia phân thức + Biết cách tìm phân thức nghịch đảo phân thức + Biết cách tìm phân thức chưa biết từ đẳng thức I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép nhân phân thức đại số +) Kết hai phép nhân gọi tích Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân tử thức +) Mở rộng với nhau, mẫu thức với A C A.C  B D B.D A1 A2 A3 An A1 A2 A3 An  B1 B2 B3 Bn B1.B2 B3 Bn Đối với phép nhân có nhiều hai phân thức ta nhân tử thức với mẫu thức với Phân thức nghịch đảo Hai phân thức gọi nghịch đảo tích chúng Phép chia phân thức Cho phân thức A B 0 , phân thức B A gọi phân thức nghịch đảo A B Ví dụ: x2  A C Phân thức nghịch đảo Muốn chia phân thức cho phân thức khác x2  B D A C ta nhân với phân thức nghịch đảo B D A C A D A.D :   B D B C B.C Mở rộng A B A1 A2 A3 A B : : : : n  n B1 B2 B3 Bn B1 A2 An Đối với phép chia có nhiều hai phân thức, ta nhân với nghịch đảo phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Nhân hai phân thức Phân thức nghịch đảo phân thức nghịch đảo Nhân, chia phân thức đại số Chia hai phân thức II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Thực phép tính với phân thức Bài toán Nhân phân thức Phương pháp giải Bước Viết tích hai phân thức cho dạng: A C A.C C A.C  A  B D B.D D D Bước Phân tích đa thức A, B, C, D thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung tử mẫu phân thức (nếu có thể) tiến hành rút gọn, tính tốn Ví dụ: Thực phép tính: x3  x2  4x x  20 x  x  x3    x  x   x3  x2  4x  x  20 x  x   x  20   x  x    x  1  x  x   x  x     x  4  x2  x  4  x  x  2 Chú ý: - Để xuất nhân tử chung tử mẫu phân thức ta phải sử dụng tính chất A    A  Ví dụ mẫu Ví dụ Thực phép tính sau 8x y a) 15 y x c) 15 x  30  x 4x  x  24 y  21x    b)  x  12 y  d) 3x   y  3  y  6 Hướng dẫn giải Trang x y x.5 y   a) 3 15 y x 15 y x xy b) 24 y  21x  24 y 21x y y2       x  12 y  x 12 y x x c) 15  x   15 x  30  x  15 x  30    x  15  x     x  15     4x  x   x  2  x  2  x  2  x  8  x   d) 3x   y  3 y  6    3x    y    y  3   x    y  3  y  3   x  2  y  3 Ví dụ Thực phép tính sau a) 18 x  x x  x3 b) x  16 3x  16  x c) x   12 x  x  x x2  x  21 d) x3  x2  x  x  x 1 x  x  Hướng dẫn giải 2 18 x  x 18 x   x  18 x   x    x    x     a) x  x3 x  x  3 x  x  3 x3 x  16   3 x  4  x  4  x    x    x  x  16    b) x 16  x  x     x   x     x    x    x   x2 3 x  3   x   x   12 x  x  x  x  3   12 x  x  x    c) x 4 x  21  x  3  x    x    x2  4  x  21   x  2  x  2  x  2   x  2  x  2 2  x3  1  x  1 x3  x2   d) x  x  x 1 x  x   x  1  x  x 1  x  x     x  1  x  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1 x  x  1 1 Bài toán Chia phân thức đại số Phương pháp giải Bước Viết thương hai phân thức cho dạng: Ví dụ: Thực phép tính: x  15  x  3 :  x  4 x  Trang A C A D C A A :  0 :C  với với B D B C D B B C x  15  x  3 x  15 x  :  2  x   x   x    x  3 C 0  Bước Sử dụng quy tắc nhân để thực phép tính   x  15  x    x    x  3  x  3  x    x  3  3 x  4 Chú ý: Ưu tiên tính tốn biểu thức dấu ngoặc trước (nếu có) Ví dụ mẫu Ví dụ Thực phép tính sau  40 x   x3  :  a)       9y   5y  c) 3x  :  x  10  x2  e) x 1 x  x  : : x  2 x  x  15 b)  x2  6x : 2x2  8x x d)  x  25  : x  20 3x  Hướng dẫn giải  40 x   x  40 x  y  40 x.5 y 50 :   3  a)        y  x  y x 9x y  9y   5y    x    x  x   x  9x2  6x  x2 x :   b) 2 x  8x x x  x  x x  x     x   x   c)  x   3x  3x  :  x  10     2 x 5 x  5 x  10  x    x    x   d)  x  25  :  3x  1  x  5  x  5  3x  1  x  5  3x  1 x  20  x  25  3x  x  20  x  5 e) x 1 x  x  : : x  2 x  x  15  x  x  x  15  x  1  x    x  3 10  x  1   x  x  2x  2x   x    x  3  x  1 Bài toán Tính tốn sử dụng kết hợp quy tắc học Phương pháp giải Sử dụng hợp lý bốn quy tắc học: Quy tắc cộng, x 1  x3  Ví dụ: Rút gọn biểu thức:  x  x 1   2x  x 1  quy tắc trừ, quy tắc nhân quy tắc chia để tính tốn Hướng dẫn giải Trang Cách Cách Bước Thực tính tốn biểu thức x 1  x3  x  x     2x  x 1  dấu ngoặc trước (nếu có) Bước Sử dụng quy tắc nhân chia phân thức đại số để rút gọn biểu thức x    x  1  x  x  1  x      2x  x 1    x   x3   x3    x  x 1   x 1 x3 1 x x 1  x3  2x Cách Cách Bước Sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng: A C E  A C A E     B D F  B D B F Bước Sử dụng quy tắc nhân, chia kết hợp với quy x 1  x3  x  x     2x  x 1   x 1 x  x3  x  x  1  2x x x 1  x3  x  2x  x3   x3 2x  x3  2x tắc cộng, trừ phân thức đại số để tính tốn Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: a) A  x3   x 1     x   x  x  x 1  x2  y2  x  y  y2 x2  : b) B  x y x2 x  y  x  y Hướng dẫn giải x3   x 1   a) A    x   x  x  x 1   x   x  x    x  1  x  1     2x   x  x  x        Trang  2 x   x  x    x  1     2x   x3     x3   x  x   x     2x   x3    x3  x  x  x3  x   1  x    x    x  1  2 x2  y2  x  y  y2 x2  : b) B  x y x2 x  y  x  y  x  y   x  y  x2  x2  y y2     xy  x y x2 x2 x y x  y  x   x  x  y   x  y  x y Ví dụ Rút gọn tính giá trị biểu thức  x2  y2  x  y  1 a) A  với x 2018, y  2019 x  y  2y  x2 y2   x y   b) B     với x 25, y  x   x  xy  y x y  y Hướng dẫn giải y2  x  y   x2  y  x2  y  x  y 2y2 x  y y A     a)   2 2 x  y x  y 2y  x  y   x  y  y x  y   2y Với x 2018, y  2019 biểu thức A có giá trị A   2019 2019 2018  2019  x3  y    x  y   x  y   x  xy  y   x  y   x  y  x  xy  y    b) B     x3  y  x  y   x  xy  y    xy    xy    Trang  x  y x  xy xy x  y3 x   y  x  x  y  xy  x  y 3   2x  y y Với x 25, y  biểu thức B có giá trị B  2.25   5 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Thực phép tính sau a) x2  x 8x  : x  10 x  15 x  15 b) x2  5x  x  x  : x  x  12 x  x y  x2 x4 d) x2  x  y x  xy x  x y  xy : c) xy  y 2x  y Câu 2: Tính giá trị biểu thức sau x 3 x3  x3   x  x 1  a) A   x  x  1  3x   x  :  1 b) B      4 x   x2  Câu 3: Rút gọn biểu thức a) x2  x x2  1  x  x  10 x  x  10 x   x   c)  :  x2 2 x  x b) x3  x  x        x  15  x  x 1 x   d) x y 3x  y x  y  : xy  y x  xy y  x Bài tập nâng cao Câu 4: Thực phép tính a) x  x2  x  x 1 x2  5x  b) x  xy  y x x  3x  x  y c) a  ab3 a  a 2b  ab : 2ab  b 2a  b d) x 1  x  x   : :  x   x  x 1  Câu 5: Cho a b c a2 b2 c2   1 Chứng minh rằng:   0 b c c a a b b c c a a b ĐÁP ÁN Câu 1: a) x2  x 8x  : x  10 x  15 x  15 x2  x 15 x  15  x  10 x  x   x  x  1 15  x  1  x  x  1  x  1 Trang  b)  3x  x  1  x  1  3x  x  1 x2  5x  x  x  : x  x  12 x  x x2  5x  x2  4x x  x  12 x  x  x  x  x  3x   x  x    3x  x  12   x  3  x  x     x    x  x     x  x  3   x  3   x  3   x    x  3 x  x    x    x    x  3  x  x  2  x  3  x  3 x  xy x  x y  xy : c) xy  y 2x  y  x  x3  y   x  y   xy  y   x  x y  xy  x  x  y   x  xy  y   x  y   y  x  y  x  x  xy  y  2 2  x  2y y d) y2  x2 x4 x2  x  y   y  x   x  y  x4 x2  x  y    x2  x  y  x y Câu 2: a) A  x3  x3   x  x 1   x  x  1 x   x  1  x  x  1  x      x  x   Trang x  x3   x     x  x    x3  x x  x3  x  1 Vậy giá trị biểu thức x 3 A   27  3x   x  :  1 b) B      4 x   x2    x  3x   x  x     :   4 x   x2    x2 2x  :  x2 x    4x   x  2    x   2x  2 2    x    x   x  2   x    x   x  1  21 x 2 x Vậy giá trị biểu thức x 3 B    3 4 2 Câu 3: a) x2  x x2  1  x  x  10 x  x  10 x  x2   x 1 x      x  10  x  x   x2    x  10   x   b) x3  x  x        x  15  x  x 1 x   x    x  1  x  1   x  1  x     x  1  x    x        x  5  x  1  x  1  x        x    x  1  x  1  x 5    x  5   x  1  x  1  x    Trang   x   c)  :  x2 2 x  x  2 x x x  x  2   x  x   x  x  2   x  2  x  2 x  x2 d) x y 3x  y x  y  : xy  y x  xy y  x  x y 3x  y y  x  y  x  y x x  y x  y  x y 3x  y  y  x  y x x  y  x  x  y   y  3x  y  xy  x  y   x  y  xy  x  y   x y xy Bài tập nâng cao Câu 4: a) x  x2  x  x 1 x2  5x   x   x  1  x   x 1  x    x  3  x x x  xy  y x b) x  3x  x  y   x  y   x  3y  x  x  1  x    x  y   x  y   x  2y  x  2  x  y  c) a  ab3 a  a 2b  ab : 2ab  b 2a  b Trang 10   a  a  b   a  ab  b  b  2a  b  2a  b a  a  ab  b  a b b x 1  x  x   : :  x   x  x 1  d)  x 1  x  x 1  :  x 2  x 3 x 3  x  3 x 1  x   x  1  x    x  3   x  2 Câu 5: Cho Ta có a b c a2 b2 c2   1 Chứng minh rằng:   0 b c c a a b b c c a a b a b c   1 Nhân hai vế đẳng thức với a  b  c đẳng thức là: b c c a a b a b c     a  b  c  b c c a a b   a  b  c    a2  a  b  c  b2  b  c  a  c2  c  a  b    a  b  c b c ca a b  a2 b2 c2 a b   c a  b  c bc ca a b  a2 b2 c2   0 b c c  a a b Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải Bước Đưa đẳng thức dạng A X B Khi X  B A  A 0  Bước Tiến hành rút gọn biểu thức phép chia phân thức Ví dụ: Tìm biểu thức X, biết rằng: a  2ab a  4b X  a b a  ab B dựa vào (Điều kiện: a b, a 0, a  2b 0 ) A a  4b a  2ab X : a  ab a b   a  2b   a  2b  a  b a  a  b a  a  2b   a  2b a2 Trang 11 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm biểu thức X , biết rằng: a) a  2ab  b a  b2 X  a  b4 a  b2 b) mn m  mn X  m n 2m  2n a  b3 a  2ab  b c) X :  a b a  ab  b d) 3a  a 1 :X  a  a 1 a 1 Hướng dẫn giải a) X   a  b2 a  2ab  b : a  b2 a  b4 a  b2 a4  b4 a  b2 a  2ab  b a  a   b   a  b2   a  b2  a  b2   a  b  b2   a  b  2   a  b   a  b     a  b  a  b  a  b   a  b 2  a  b  m  mn m  n b) X  : 2m  n m  n  m  m  n m n  m  n  m  n m  n  m  m  n c) X  a  2ab  b a  b3 a  ab  b a  b  a  b   a  b   a  ab  b    a  ab  b2   a  b  Trang 12  a  b   a  b  a  b d) X  3a  a 1 : a  a 1 a  2  a  1  a  1  a  a  1  a  a 1 a 1 3  a  1 Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức sau: a) x 1 4x  P  x 1 x  x 1 c) M : a a2   a  3a a  4a b) x  y  xy x3  y Q  x2  y2 x  y  xy d) 4a  12a  2a  :X  a 5a  ĐÁP ÁN Câu 1:  x  1  x  1  x  x  1 4 x    a) P  x  x 1 x 1 b) Q   x  y   x  xy  y   x  y   x  y  2 x  y  xy  x  y c) M   a    a  3 a  a  a  4 a  a  3 d) X     x  y  x y a a2 2a  3  a  1  a  1 5 a  2a     a 2a  Trang 13