PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022-2023 Mơn Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút x3 x x 1 A 1 : 2 x 1 x x x 1 x x x Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn A x 4 b) Tính giá trị A biết c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bài 2: (4,0 điểm) Giải bất phương trình phương trình sau: 4x 10 3x 2 a) 1 1 b) x 3x x x x x 12 x x 20 Bài 3: (2,0 điểm) Xác định a b để đa thức f x x x 21x ax b chia hết cho đa thức x x Bài 4: (1,5 điểm) Tìm giá trị m để phương trình x 3m 3 3mx có nghiệm ba lần nghiệm phương trình x 1 x 1 x 3 Bài 5: (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD độ dài cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC , điểm F thuộc cạnh AD cho CE AF Các đường thẳng AE , BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M , N a) Chứng minh rằng: CM DN a b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh rằng: MKN 90 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? Bài 6: (1,5 điểm) Cho x, y x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 A x y = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x3 x2 x 1 A 1 : 2 x x x x x x x Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: a) Rút gọn A x 4 b) Tính giá trị A biết c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Lời giải a) Đkxđ: x 1; x 0; x 2 x 1 x x 2 A 1 : x 1 x x 1 x x x x x x 1 Ta có: 1 x 1 x x2 x x2 x x x 2 x 1 x x 1 1 x x 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x x x 4 b) Ta có x 2 loại 4 x thỏa mãn 4 1 A 1 1 x 2 vào A ta được: Thay 4 A Vậy với 2 A 1 x 1 c) x 2 x Ö ( 2) 1; 1;2; 2 Để A nhận giá trị nguyên x x 0; 2;1; 3 Kết hợp với điều kiện x 3; 2;1 Bài 2: (4,0 điểm) Giải bất phương trình phương trình sau: 10 4x 3x 2 a) 1 1 b) x 3x x x x x 12 x x 20 Lời giải 3x 2 a) 4x 10 x 12 12 x 10 6 x 10 12 12 x 10 x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S x | x 2 1 1 b) x 3x x x x x 12 x x 20 Đkxđ x 5; x 4; x 3; x 2; x 1 Phương trình trở thành: 1 x 1 x x x 3 x 3 x x x 1 1 1 1 x 1 x x x x x x x 1 x 1 x x 40 x x x x x 27 0 x 3 x 0 x tm x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S 9;3 Bài 3: (2,0 điểm) Xác định a b để đa thức f x x x 21x ax b chia hết cho đa thức x x Lời giải Để f x chia hết cho g x x x h x cho f x h x g x x f x h x x 1 x x x 1; x 2 nghiệm f x 1 1 21 1 a 1 b 0 2a 2b 62 a 1 2a b 28 b 30 2 9.2 21.2 a.2 b 0 Vậy a 1; b 30 Bài 4: (1,5 điểm) Tìm giá trị m để phương trình x 3m 3 3mx có nghiệm ba lần nghiệm phương trình x 1 x 1 x 3 Lời giải Ta có x 1 x 1 x 3 x x x 0 x x nghiệm x 3m 3 3m 3m 3 3m m Vậy m Bài 5: (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD độ dài cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC , điểm F thuộc cạnh AD cho CE AF Các đường thẳng AE , BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M , N a) Chứng minh rằng: CM DN a b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh rằng: MKN 90 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? Lời giải AB AF DN DF (hệ định lý ta lét) 1 + Xét ABF có AB //DN AB BE MC CE (hệ định lý ta lét) + Xét ABE có AB //CM AF CE AF CE ; AD BC gt FD BE FD BE (3) + Ta có Từ (1), (2) (3) AB MC DN MC AB a DN AB (đpcm) b) Theo a) có DN MC AD.BC + Xét ADN MCB có DN DA BC CM BMC ADN ∽ MCB NAD (2 góc tương ứng) 0 Mà AND NAD 90 AND BMC 90 NKM 90 c) Ta có MN DN CD CM a CM DN Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương CM DN ta có CM DN 2 CM DN 2 a 2a MN 3a CE a E Vậy giá trị nhỏ MN 3a CM DN a trung điểm BC Tương tự F trung điểm AD Bài 6: (1,5 điểm) Cho x, y x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 A x y Lời giải 2 x y x y A 1 x y Ta có y 2 x x y y y2 x2 4 x y x x 6 y x y x y x y 2 xy t 2 y x y x xy xy Đặt Do nên t 2 2 Ta có A trở thành A t 4t t 18 t 2 x y Vậy giá trị nhỏ A 18 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =