PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CAN LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN – NĂM HỌC 2022-2023 Bài 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử : A x 13x y y a a5 a B a a 2a a b) Rút gọn biểu thức Bài x4 y 2 a) Cho số a, b, x, y số thực thỏa mãn x y 1 a b a b x6 y6 3 a b a b Chứng minh b) Tìm số tự nhiên x, y , z x y z cho xyz xy yz zx x y z 2020 Bài 137 x 150 x 159 x 164 x 10 15 13 11 a) Giải phương trình 17 b) Một người xe đạp từ A đến B quy định Sau 10km đầu 12 phút, tính tiếp tục với đến sớm dự định 24 phút Còn giảm vận tốc 5km/h đến B sớm 10 phút so với dự định Hãy tính khoảng cách AB Bài 4.Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Đường thẳng vng góc với DE E cắt BC K Chứng minh AD AB AE AC K trung điểm HC Bài 5.Cho tam giác ABC Đường thẳng song song với AC cắt AB BC D E Gọi M trọng tâm tam giác BDE N trung điểm AE.Chứng minh NMC 60 Bài f x ax bx cx dx e a, b, c, d , e Z f x 5 Chứng minh với a) Cho x Z hệ số a, b, c, d , e chia hết cho b) Cho đoạn thẳng có độ dài từ 10cm đến 45cm Chứng minh chọn đoạn thẳng đoạn thẳng cho lập thành ba cạnh tam giác ĐÁP ÁN Bài 2 c) Phân tích đa thức thành nhân tử : A x 13x y y A x 13 x y y x x y y x y 2 x y 3xy x y xy x y 3xy a a5 a B a a 2a a d) Rút gọn biểu thức Ta có : a4 a a a a5 a B a a 2a a a a a a a 1 a 1 a a (a 1) a a 1 Vậy B a3 a a a2 a 1 a3 a a a2 a 1 Bài x4 y 2 x y a , b , x , y c) Cho số số thực thỏa mãn a b a b 6 x y 3 a b a b Chứng minh x4 y Từ giả thiết a b a b ab 0; a b 0 4 bx ay a b bx ay ab a b ab a y b x abx aby ab a y b x ab x y 1 0 2 2 4 2 x y 1 x y 1 x y x y 1 a y b x 2abx y 0 ay bx 0 ay bx x2 y a b Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có : x2 y x2 y x y 1 a b a b a b x6 y6 x6 y 3 3 (dfcm) 3 a b a b a b a b d) Tìm số tự nhiên x, y , z x y z cho xyz xy yz zx x y z 2020 xyz xy yz zx x y z 2020 xyz xy yz y zx x z 2019 z 1 xy y x 1 2019 x 1 y 1 z 1 2019 1 Mà x, y, z N , x y z x y z (2) Từ (1) (2) Vậy x 673 y 3 z 1 x 674 y 4 (tm) z 2 x; y; z 674; 4; Bài 137 x 150 x 159 x 164 x 10 15 13 11 c) Giải phương trình 17 137 x 150 x 159 x 164 x 10 17 15 13 11 137 x 150 x 159 x 164 x 1 2 3 0 17 15 13 11 120 x 120 x 120 x 120 x 0 17 15 13 11 1 1 120 x 0 x 120 17 15 13 11 S 120 Vậy phương trình cho có tập nghiệm d) Một người xe đạp từ A đến B quy định Sau 10km đầu 12 phút, tính tiếp tục với đến sớm dự định 24 phút Còn giảm vận tốc 5km/h đến B sớm 10 phút so với dự định Hãy tính khoảng cách AB 12 ' h, 24 ' h, 10 ' h 5 Đổi Gọi khoảng cách từ A đến B x km x 10 Vận tốc xe 10km đầu 12 phút : 10 : Khi : 50( km / h) Quãng đường lại xe với vận tốc giữ nguyên x 10 km x 10 ( h) Thời gain xe hết quãng đường lại giữ nguyên vận tốc : 50 x 10 x 10 ( h) 45 Thời gian xe hết quãng đường lại giảm vận tốc 5km/h : 50 x 10 x 10 50 Theo ta có phương trình : 45 x 10 x 10 1 x 10 45 50 30 45 50 30 x 30 10 115(tm) 1 45 50 Vậy quãng đường AB dài 115km Bài 4.Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Đường thẳng vng góc với DE E cắt BC K Chứng minh AD AB AE AC K trung điểm HC A E D B C H K ADH AHB 90 ADH & AHB : ADH ∽ AHB DAH chung Xét (g.g) AD AH AH AD AB 1 AH AE AC AH AB Chứng minh tương tự : AD AE AD AB AE AC AH AC AB Từ (1) (2) suy Xét ADE & ACB co ': DAE chung , AD AE (cmt ) ADE ∽ ACB(c.g c ) AC AB ADE C (hai góc tương ứng) HE AC HE / / AB ADE DEH AB AC Có : (so le trong) Mà DEH HEK DEK 90 , EHK C 90 HEC vuông E) ADE C (cmt ) HEK EHK KHE cân K suy KH=KE (3) Tương tự KEC C KEC cân K nên KC=KE (4) Từ (3) (4) suy KH=KC (=KE) Suy K trung điểm HC Bài 5.Cho tam giác ABC Đường thẳng song song với AC cắt AB BC D E Gọi M trọng tâm tam giác BDE N trung điểm AE.Chứng minh NMC 60 A D N H M B E C AB BC Ta có ABC (gt) ABC BAC BCA 60 , BDE BAC DE / / AC BED BDE DBE 60 BDE BED BCA Có Mà M trọng tâm BDE nên M đồng thời trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp BDE Gọi H trung điểm DE Khi HN đường trung bình ADE HN / / AD HN AD NHD HDB 60 ( slt ) HN AD M trọng tâm BDE , H trung điểm DE MH BM BH BH MH MH MH Mà M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE nên ME MD MB BDM BDE 30 ABM CBM Lại có M tâm đường trịn ngoại tiếp BDE nên : Do : MDA BDA BDM 180 30 150 MHN MHD DHN 90 60 150 MDA MHN MDA MHN MDA& MHN : MH NH MDA ∽ MHN (c.g.c) MD DA Xét MN MH NH 1 MA MD DA Ta chứng minh : MBA MBC (c.g.c) MA MC (hai cạnh tương ứng) (2) AB BC AD EC 3 BD BE Lại có MN MH HN MNH ∽ MCE (c.c.c) MC ME EC 2 Từ (1), (2), (3) suy NMH EMC NMC NHM HMC EMC HMC HME Mặt khác , MHE vuông H (do MH DE ) 1 MEH BEH 60 30 EM 2 Và tia phân giác BED)) Suy NMC HME 60 Bài f x ax bx cx dx e a, b, c , d , e Z Chứng minh c) Cho x Z hệ số a, b, c, d , e chia hết cho f x 5 Th1: Nếu a,b,c,d,e 5 ax 5, bx 5, cx 5, dx 5, e5x f x ax bx cx dx e 5x Th2: Ngược lại Ta có : f f f x 5x f f f f x 5 với x a, b, c, d , e5 5 1 5 1 5 5 5 e5 a b c d e5 a b c d e 5 16a 8b 4c 2d e5 16a 8b 4c 2d e5 e 5 2(a c )5 2(b d ) 5 8(4a c) 5 4(4b d ) 5 e 5 a c 5 b d 5 4a c 5 4b d 5 a 5 b 5 c 5 d 5 e 5 với f x ax bx cx dx e 5x Z a, b, c, d , e 5 Vậy d) Cho đoạn thẳng có độ dài từ 10cm đến 45cm Chứng minh chọn đoạn thẳng đoạn thẳng cho lập thành ba cạnh tam giác Giả sử ngược lại, tồn đoạn thẳng a,b,c,d,e có độ dài từ 10cm đến 45 cm cho đoạn thẳng đoạn khơng lập thành cạnh tam giác Khơng tính tổng qt, giả sử 10 a b c d e 45 Khi ta có: a b c, b c d , c d e Từ 10 a b c a b 10 10 20 d c b 20 10 30 e c d 20 30 50 trái với giả thiết e 45 Vậy đoạn thẳng có độ dài từ 10 đến 45 chọn đoạn thẳng cho lập thành cạnh tam giác