PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐƠNG HƯNG ĐỀ THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 A Bài (3,5 điểm) Cho biểu thức x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x a) Rút gọn A A b) Với giá trị x , x 2 2 x Bài (3,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để biểu thức A số phương: A n 2n 12 b) Tìm đa thức dư chia đa thức thức f x x 1 x 3 x x 2036 cho đa g x x x 10 Bài (3,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : N x x 13 x2 1 2 b) Cho số a, b, c 0 thỏa mãn a b c abc a b c Tính giá trị biểu thức M a 2b b c c a a 2b c x Bài (2 điểm) Tìm x biết : 3 1 x x x Bài (5,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm BC, E giao điểm đường thẳng AM đường thẳng CD, F điểm đối xứng B qua C a) Chứng minh : Tứ giác ABEC hình bình hành b) Chứng minh : Tứ giác BEFD hình thoi c) Chứng minh : C trọng tâm AEF 2 d) Cho AB 3BC Gọi H trung điểm DF, giao điểm đường thẳng AH với đường thẳng EF K Chứng minh AE 2 MK Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt OA OB OC 2 P , Q , R AP BQ CR BC, AC, AB thứ tự Chứng minh ĐÁP ÁN x2 x 1 A x 1 x 1 x 1 x x 1 x Bài (3,5 điểm) Cho biểu thức c) Rút gọn A A x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x x 1 2x x 1 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x d) Với giá trị x Để A A , x 2 2 x x 1 2 x x 1 x x x x x x 0 x 1 x 1 0 x (tm) x 1(ktm) Vậy với x 1 A , x 2 2 x Bài (3,5 điểm) c) Tìm số tự nhiên n để biểu thức A số phương: A n 2n 12 Để biểu thức A số phương A n 2n 12 m m N n 1 11 m k 11 m k n 1 m k 1 m k m k 11 (do m k m k & m k N *) m k 11 2k 10 k 5 n 5 n 4 Vậy n=4 A số phương d) Tìm đa thức dư chia đa thức thức f x x 1 x 3 x 5 x 2036 cho đa g x x x 10 f x x 1 x 3 x x 2036 x 1 x x 3 x 2036 x x x x 15 2036 Dat t x x 10 x x x x 10 t 3; x x 15 x x 10 t f x t 3 t 2036 t 2t 15 2036 t t 2021 f ( x) chia cho x x 10 du 2021 Bài (3,5 điểm) c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Ta có : N x2 x2 4x 4 x2 N x x 13 x2 2 x 2 1 1 x x 5 Dấu xảy x 0 x 2 Vậy Min N=1 x 2 1 2 d) Cho số a, b, c 0 thỏa mãn a b c abc a b c Tính giá trị biểu thức Ta có : M a 2b b c c a a 2b c 1 2 ab bc ca 2abc ab bc ca 4a 2b 2c a b c a 2b b c c a 2abc a b c 4a 2b 2c ma`a b c abc a 2b b c c a 4a 2b 2c 2abc a b c 2a 2b 2c M a b b c c a 2a 2b c 2 2 a 2b c abc x Bài (2 điểm) Tìm x biết : 3 1 x x x 2 Đặt a x 1, b 5 x a b x x Khi ta có phương trình : a b3 (a b)3 a b a ab b a 2ab b 0 x 1 x x 2; x a 0 3ab(a b) 0 b 0 a b 0 x 0 x 0 x x 0 Vậy phương trình có tập nghiệm S 1; 1; 2; 3; / 5 Bài (5,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm BC, E giao điểm đường thẳng AM đường thẳng CD, F điểm đối xứng B qua C A B M D C E H F K e) Chứng minh : Tứ giác ABEC hình bình hành Xét ABM & ECM có : ABM ECM 90 (tứ giác ABCD hình chữ nhật), MB = MC (gt), AMB EMC (đối đỉnh) suy ABM ECM ( g.c.g ) AB EC (hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác ABEC có : AB // CE (vì tứ giác ABCD hình chữ nhật), AB = CE (chứng minh trên) Nên tứ giác ABEC hình bình hành f) Chứng minh : Tứ giác BEFD hình thoi Ta có AB=EC mà AB CD (tứ giác ABCD hình chữ nhật) CD CE Xét tứ giác BEFD có hai đường chéo BF ED cắt trung điểm đường tứ giác BEFD hình bình hành mà BF ED BEFD hình thoi g) Chứng minh : C trọng tâm AEF ME MA ABM ECM FM Xét AEF có đường trung tuyến AEF 1 MC BC CF CF FM 2 Mặt khác , CF FM Xét AEF có FM đường trung tuyến , C thuộc FM nên C trọng tâm tam giác AEF 2 h) Cho AB 3BC Gọi H trung điểm DF, giao điểm đường thẳng AH với đường thẳng EF K Chứng minh AE 2MK Xét ABC vng B có : AC AB BC 3BC BC 4 BC AC 2 BC Gọi O giao điểm AC BD nên OA OB OC OD (vì tứ giác ABCD hình chữ nhật) DBC OAD DBC , OAD CFH 60 CH đường trung bình BDF CH / / BD / / EK 3 Mà CH đường trung tuyến CDF vuông C nên AHF cân H CFH 60 AHF suy CHF 60 1 Lại có AD=BC=CF=FH=HD DAH cân D 180 120 ADH BDF BDA 60 60 120 DHA 30 Từ (1) (2) suy CHA 180 FHC DHA 180 60 30 90 CH AK H, kết hợp với (3) ta có EK AK KEA vng K Xét KEA vng K có KM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AE KM AE hay AE 2 KM Bài (2 điểm) Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác Các tia AO, BO, CO OA OB OC 2 cắt BC, AC, AB thứ tự P, Q, R Chứng minh AP BQ CR A Q R O B P C OP S BOC OQ SOAC OR S AOB ; ; AP S BQ S CR S ABC ABC ABC Ta có : OP OQ OR S AOB S AOC S BOC 1 AP BQ CR S ABC AP AO BQ BO CR CO 1 AP BQ CR AO BO CO AO BO CO 1 1 1 1 3 2 AP BQ CR AP BQ CR