050 đề hsg toán 8 sầm sơn 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ SẦM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN _NH 2022-2023 Câu  x2  x   2x2 M   1    2x  8  x  x  x   x x2   Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên Câu 3  x 3     x  3 16 a) Giải phương trình :  x   b) Tìm nghiệm tự nhiên x, y phương trình : x 2  y  28  17  x  y  14 y  49  Câu a) Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n Chứng minh n  m khơng phải số phương b) Cho p, q hai số nguyên tố cho p  q  p  q 2 Chứng minh p  q 12 AB  AC  AH  H  BC  Câu Cho ABC vuông A  , đường cao Trên tia HC lấy điểm D cho HA HD Đường thẳng vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BEC ∽ ADC Tính độ dài đoạn thẳng BE theo m  AB b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh BHM ∽ BEC Tính số đo góc AHM GB AD  c) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH  HC Câu Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A 1  3  3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 ĐÁP ÁN Câu  x2  x   2x2 M   1    2x  8  x  x  x   x x2   Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức M  x2  2x     x 0  2x2 M   1       x  8  x  x  x   x x   x 2  x    x   x  2  x2 x2  x  x2  x2  4  x  2 x  x2  4  x  4  x  2 M   x  1  x    x  x2 2x x 1 x với x 0; Vậy d) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên Ta có : Để M x 1  M 1  2x x M  Z  2M  Z  Vậy x   1;  1  Z  x  U (1)  1 (tm) x M nguyên Câu 3  x 3     x  3 16 c) Giải phương trình :  x   3 x 3  x 3  x   x   x     x  3   x   16     x  3 16  x 2    x  x 2  x   x   x   x  x    x  3    x x    x   x2  5x     16 x      x     x  3   x  3  16    x x  x    x  3 Đặt x    x  3    x  3       16  x    x   t Phương trình trở thành :     15 t  3t  16 0   t    t  t   0  t   t  t   t     0(VN )   2   Với  x  3 t     x  x   x  0  x  x  0  x 1(tmdk ) x S1  Vậy tập nghiệm phương trình d) Tìm nghiệm tự nhiên x, y phương trình : x x 2  y  28  17  x  y  14 y  49   y  28  17  x  y  14 y  49    x   y     17 x  17  y   0  x a 0  2 a  4b   17a  17b 0 y  b     Đặt Phương trình trở thành :  a  8ab  16b  17a  17b 0  16a  8ab  b 0   4a  b  0  4a  b 0  x  y  0   x  y   x  y  7  x  y; x  y  U (7)  1; 7 Vì x, y  Z  x  y; x  y  Z 2 x  y 1  x 2 Th1:   2 x  y 7  y 3 2 x  y   x  Th :   2 x  y   y  2 x  y 7  x 2 Th3 :   2 x  y 1  y 3 2 x  y   x  Th :    x  y   y 3 Câu a) Cho n số nguyên dương m ước nguyên dương 2n Chứng minh n  m số phương 2n 2n km  m  k với k   * Giả sử n  m a Đặt 2n 2 n  a  n2 k  2n k a k  n  k  2k   ak  k Vơ lý k  k  2k   k  1 2 nên n  m khơng số phương (đpcm) b) Cho p, q hai số nguyên tố cho p  q  p  q 2 Chứng minh p  q 12 q 3k  1, q 3k   k   * Vì q số nguyên tố lớn nên Nếu q 3k   p 3k  33 (vì p số nguyên tố lớn 3) Nếu q 3k   p 3k  Vì q số nguyên tố lớn nên k lẻ nên k+1 chẵn Ta có p  q 6  k  1 12(dfcm) AB  AC  AH  H  BC  Câu Cho ABC vuông A  , đường cao Trên tia HC lấy điểm D cho HA HD Đường thẳng vuông góc với BC D cắt AC E A E M B H D G C a) Chứng minh BEC ∽ ADC Tính độ dài đoạn thẳng BE theo m  AB BEC ∽ ADC Dễ thấy EDC ∽ AHC  EC AC AC BC  ACH ∽ BCA    1  2 DC HC HC AC Lại có EC BC AC EC CD     BC AC Từ (1) (2) ta có : CD AC HC EC CD  ; C Xét BEC ADC có : BC AC chung  BEC ∽ ADC (c.g c)  EBC EAD  EBC  ECD EAD  ECB  AEB 45  ABE vuông cân A suy BE  AB m b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh BHM ∽ BEC Tính số đo góc AHM 1 BM BE  BE  2 Ta có Lại có  AB   AB AB BH BC  BH BC BM BE  BH BE  BM BC BH BE  ; B Xét BHM BEC có : BM BC chung  BHM ∽ BEC (c.g c) BMH ∽ BEC  BMH BEC 135  AHM 135  BHA 45 GB AD  c) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH  HC Do AHC ∽ BAC HA AB HD AB HD AB      HC AC HC AC HC  HD AC  AB Do ABE cân, AM  BE  AM phân giác BAE  BG AB BG AB BG AB HD        dfcm GC AC BG  GC AB  AC BC AB  AC HA  HC Câu Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A 1  3  3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 Ta chứng minh bất đẳng thức sau :  1  x  y  xy  x  y   1 Ta có : x  y  x y  xy 0  x  x  y   y  y  x  0   x  y  x,y dương) Áp dụng vào ta có : 1   x  y  xy  x  y   xyz xy  x  y  z  Tương tự : 1 1  ; 3  y  z  yz  x  y  z  z  x  zx  x  y  z  Cộng vế ta : A 1 xyz    1 xy  x  y  z  yz  x  y  z  zx  x  y  z  zx  x  y  z  Vậy Max A 1  x  y z 1  x  y  0 (luôn với