UBND HUYỆN QUAN SƠN _ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Bài (3,5 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức A a) 4x2 x với x 1 B x3 y 34 2020 b) , biết x y xy 6 2) Phân tích đa thức thành nhân tử : a ) x y xy 3x y b) x x x 3 x 15 A xy y x2 : 2 y xy x y x Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Tìm giá trị lớn A x, y làm cho a xác định thỏa mãn 3x y x y 1 Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x x x 10 72 2 x2 x2 x 2 b) 15 0 x 1 x 1 x 1 Bài (4,0 điểm) 2 a) Tìm x, y Z thỏa mãn y x x y x y xy b) Cho a a k ; a 2k số nguyên tố lớn Chứng minh k chia hết cho Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu M AB, AC Chứng minh M chuyển động BC a) Chu vi tứ giác MEAF không đổi b) Đường thẳng qua M vuông góc với EF ln qua điểm K cố định c) Tam giác KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị nhỏ 1 P 16 x y z biểu thức ĐÁP ÁN Bài (3,5 điểm) 3) Tính giá trị biểu thức c) A 4x2 x với x 1 x ĐKXĐ: x 1 Vậy với d) Ta có : x 1 Với x 1(tm) A 3 x 1(tm) A A A 3 B x3 y 34 2020 , biết x y xy 6 x y x y 25 x xy y 25 2 2 Do xy 6 x 2.6 y 25 x y 13 Ta lại có x y 34 x y x y xy 34 5 13 34 B x y 34 2020 1 2020 1 4) Phân tích đa thức thành nhân tử : a ) x y xy 3x y x y x y x y x y 1 b) x x x 3 x 5 15 x x 11 x x 11 15 2 x x 11 16 15 x x 11 x x 10 x x 12 A xy 1 : 2 2 y x y x y xy x Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức d) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định ĐKXĐ: x y e) Rút gọn A A xy y x2 : 2 y xy x y x y x y x 2 x y x xy yxy x xy : 2y y x y x y x y x y x y x f) Tìm giá trị lớn A x, y làm cho a xác định thỏa mãn 3x y x y 1 Ta có : 3x y x y 1 x xy x xy y x y 1 2 x x y x y x y 1 2 A x y 1 2 x y 1 0 A 2 Do Vậy Max A 2 x y 1 0 x y Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau : a ) x x x 10 72 x x 10 72 y 9 x 9 x 4 x y y 3 y 3 72 y 81 2 y x x 2(ktm) Đặt S 4; 4 2 Vậy 2 x2 x2 x 2 b) 15 0 x 1 x 1 x 1 Dat t x2 x , u x x 1 t 2u 15tu 0 Nghiem le (do sai de) Bài (4,0 điểm) 2 c) Tìm x, y Z thỏa mãn y x x y x y xy y x x y x y xy y x y x x y xy y x 1 x x 1 y x 1 x 1 y x y 1.( 1) ( 1).1 x 1 x 2 x 2 th1: y 1 y x y 2 y y 0 x x 0 x 0 th : y 1 2 y x y 1 2 y y 0 x 2; y 1 Vậy x 0; y 1 d) Cho a a k ; a 2k số nguyên tố lớn Chứng minh k chia hết cho k N *, k Do a số nguyên tố lớn nên a 3k 1 a 3k *Với a 3k 1 mà a k số nguyên tố lớn nên k 3 k chia dư -Với k 3 a 2k không chia hết cho a 2k (thỏa mãn ) (1) a 2k 3 (loại) -Với k chia dư *Với a 3k mà a k số nguyên tố lớn nên k 3 k chia dư -Với k 3 a 2k không chia hết cho a 2k (thỏa mãn ) (2) a 2k 3 - Với k chia dư (loại) Từ (1) (2) ta có k3 Do a a k a 2k số nguyên tố lớn nên a, a k , a 2k số lẻ Nên k số chẵn => k 2 Từ (3) (4) k 6 (vì 2,3 nguyên tố nhau) Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu M AB, AC Chứng minh M chuyển động BC B K M E G A H F C d) Chu vi tứ giác MEAF không đổi Xét tứ giác MEAF có EAF MEA AFM 90 MEAF hình chữ nhật MCF 45 gt MFC Xét MFC vng F có vng cân F MF FC Chu vi tứ giác MEAF AF MF 2 AF FC 2 AC Mà ABC cố định nên chu vi tứ giác MEAF không đổi e) Đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm K cố định Gọi giao điểm đường thẳng qua M vng góc với EF với đường thẳng qua C vng góc với CA K ta chứng minh K điểm cố định Thật vậy: Gọi G giao điểm EM KC Ta có MG KC nên MGC vng cân C GM GC , Mà GC MF (do tứ giác MGCF hình chữ nhật) GM MF Tứ giác MGCF hình vng MFH HMF EMH HMF 90 gt Ta có MFH EMH Mà EMH KMG (đối đỉnh) MFH KMG hay EFM KMG Xét EMF KMG có : EMF KGM 90 ; MF MG (cmt ), EFM KMG (cmt ) EMF KMG ( g.c.g ) EM KG (hai cạnh tương ứng) Do KC KG GC EM FC AF FC AC CK CA f) Tam giác KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC Ta có : S KEM S BEM ; S KFM SCMF S KEF S KEM S KMF S EMF S BEM S MFC S EMF S BEFC S ABC S AEF Do S KEF nhỏ S AEF lớn AE AF lớn AE AF M trung điểm BC Vậy KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC Bài (2,0 điểm) Cho x, y , z số dương thỏa mãn x y z 1 Tìm giá trị nhỏ 1 P 16 x y z biểu thức Ta chứng minh toán sau : Với a, b hai số x, y số dương ta có : a b 2 a b a b2 a b2 x y x y Thật , từ x y x y Do x, y nên : 1 a b xy a y x y b x x y a xy 2abxy b xy a xy a y b x b xy a y 2abxy b x 0 ay bx 0(luon dung ) Khi ta chứng minh , Với a, b, c số x, y, z số dương, ta có : a b c a b2 c a b c xyz x y z Dấu xảy x y z Ta có : 1 1 16 P 16 x y z 16 x 16 y 16 z 16 12 22 42 P 16 x y z 16 x y z 1 4 49 49 P 16 x y z 16 16 1 7 x ; y ; z 7 Dấu xảy x y z x y z 49 Min P x ; y ; z 16 7 Vậy