025 đề hsg toán 8 diễn châu 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN DIỄN CHÂU Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn Tốn – Lớp 8_TG:120 phút   x 4x2  x   x  3x  A     :    x x   x   2x  x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  Câu (6,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh A   a    b    c  số phương b) Giải phương trình nghiệm nguyên x  xy  2012 x  2013 y  2014 0 c) Cho đa thức f  x  ax  bx  cx  d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức cho nhị thức  x  1 ,  x   ,  x  3 có số dư x  đa thức nhận giá trị  18 Câu (3,0 điểm)  x  x  10 x  x  với x 1 đạt giá trị lớn a) Tìm x để biểu thức 1   4 b) Cho x  0, y  0, z  x y z 1   1 Chứng minh x  y  z x  y  z x  y  z E Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH  BF  H  BF  , AH cắt DC BC M N a) Chứng minh AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF 1   2 c) Chứng minh AD AM AN Câu (2,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tô ba màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có ba đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh màu đôi khác màu ĐÁP ÁN   x x2  x   x  3x  A     :   x x   x   x  x3   Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức c) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 0; x 2; x 3   x x2  x   x  3x    x 4x2  x  x   x A    :           x x   x   x  x    x   x    x   x  x  x  3   x   2  4x2    x  x  x  x2  x2   4x  x2 x  x 2x x   x x  x   x x2  8x x 4x2    x x  (2  x).( x  3) x  d) Tìm x để A  4x2 1  x  x  0 x   x  x    x  3 0  x  x  1   x  1 0 A    x    x  1  x  3 0   (tmdk )  x 3   3 x   1;    A  Vậy Câu (6,0 điểm) d) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh A   a    b    c  số phương Ta có ab  bc  ca 1 nên  a ab  bc  ca  a b  a  c   a  a  c   a  c   a  b  2 Tương tự  b  a  b   b  c  ;  c  a  c   b  c  A   a    b    c    a  b   b  c   c  a   Do số phương e) Giải phương trình nghiệm nguyên x  xy  2012 x  2013 y  2014 0 Ta có x  xy  2012 x  2013 y  2014 0  x  xy  2013 x  2013 y  x  2013  0  x  x  y   2013  x  y    x  2013  0   x  2013  x  y    x  2013 1   x  2013  x  y  1 1.1   x  2013 1 x  y 1 x 2014 1 2012 y  2014  2014 Vậy  x; y    2014;  2014  ;  2012;  2014   f) Cho đa thức f  x  ax  bx  cx  d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức cho nhị thức  x  1 ,  x   ,  x  3 có số dư x  đa thức nhận giá trị  18 Khi chia đa thức f  x  ax  bx  cx  d cho nhị thức  x  1 ,  x   ,  x  3 có số dư nên theo định lý Bơ-zu ta có : f  1  f    f  3 6 Và x  đa thức nhận giá trị -18 Nên f   1  18 Khi ta có : a  b  c  d 6 8a  4b  2c  d 6    27a  9b  3c  d 6  a  b  c  d  18 a  c 12  3a  b  c 8  7 a  2b  c 6  a 1  2a  b  b     3a  b  c 11 d 0 Vậy  a; b; c; d   1;  6;11;0  Câu (3,0 điểm) c) Tìm x để biểu thức E  x  x  10 x  x  với x 1 đạt giá trị lớn 2  x  x  10   x  x  1   x  1  10   x  1   x  1  10 10 E      2 x  x 1 x  x 1 x   x  1  x  1  E 1  Khi 10  x   x  1 t   E 1  t  10t x  Đặt Ta có : 1  39  39 39    E 10t  t  10  t  2.t  10  t      20 400  40   20  40 40 39 1 1 max E   t     x  19 40 20 x  20 Vậy 1   4 d) Cho x  0, y  0, z  x y z 1   1 x  y  z x  y  z x  y  z Chứng minh 11 1 1       Từ x y x  y nên x  y  x y  Với x  0, y  0, z  ta có : 1 1 1    1   1   1                     x  y  z x  y  x  z  x  y x  z    x y   x z   16  x y z  Tương tự : 1  1      ; x  y  z x  y  y  z 16  x y z  1  1 2       x  y  z x  z  y  z 16  x y z  1 1  4 4 1 1 1              1 Khi : x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z   x y z  Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD , cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH  BF  H  BF  , AH cắt DC BC M N A E B F H D M C N d) Chứng minh AEMD hình chữ nhật Xét ADM BAF có : A B 90 ; AD  AB; MAD ABF (cùng phụ với AFB ) Do ADM BAF (cgv  gn)  DM EF (hai cạnh tương ứng) Mà AE  AF ( gt ) nên DM  AE  1 Lại có DM / / AE  AB / / DC   Từ (1) (2) suy AEMD hình bình hành Kết hợp với ADM 90  AEMD hình chữ nhật e) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF Xét HAB HFA có : ABH FAH (do ABF MAD (cau a )), BHA AHF 90 BH BC HAB ∽ HFA( g g )   AH AE Do Lại có HAB 90  FAH 90  ABH HBC BH BC  ; HAB HBC Xét CBH AEH có AH AE nên CBH ∽ EAH (c.g c) S BCH 4  CBH ∽ AEH Mà S AEH theo tỉ số đồng dạng k 2 BC AB 2 hay 2  E AE Suy AE trung điểm AB  F trung điểm AD 1 ABD  EF  BD  AC 2 Khi EF đường trung bình hay AC 2 EF 1   2 f) Chứng minh AD AM AN CN MN AD CN AD CN       * AM MN AM MN ADM có CN / / AD nên AD AM (Hệ talet) MN MC MN MC AD MC AD MC         ** ABN có CM / / AB nên AN AB AN AD AN MN AN MN (Hệ talet) Từ (*) (**) suy AD AD MC CN 1  MC  CN 2     AD    AM AN MN MN AN  MN  AM  MN 1   AD    1    ( dfcm) 2  2 AN  MN AM AN AD  AM Câu (2,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tơ ba màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có ba đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh màu đôi khác màu Xét ngũ giác ABCDE , ta thấy đỉnh ngũ giác tạo thành tam giác cân Do tơ đỉnh A, B, C , D, E ba màu xanh, đỏ, tím xảy hai khả sau : - Nếu tô năm đỉnh A, B, C , D, E đủ ba màu cho tồn ba đỉnh có màu khác tạo thành tam giác cân - Nếu tô năm đỉnh A, B, C , D, E nhiều hai màu cho có đỉnh màu tạo thành tam giác cân Vậy, trường hợp ln tồn tam giác cân, có ba đỉnh tơ màu đôi khác màu