PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 Mơn thi: TỐN Câu (2,5 điểm) 5 a) Chứng minh với số nguyên x, y ta có: x y xy chia hết cho 30 2 b) Giải phương trình : x y z y x z Câu (2,5 điểm) a) Cho a b 1 Tìm giá trị nhỏ ( GTNN ) biểu thức A a a 2b b b a p a b c với a, b, c độ dài ba cạnh b) Cho tam giác có nửa chu vi 1 1 1 2 a b c Chứng minh p a p b p c Câu (1,5 điểm) Một người xe đạp, người xe máy người ô tô xuất phát từ địa điểm A lúc giờ, giờ, 10 với vận tốc theo thứ tự 10km / h, 30km / h,50km / h Hỏi đến tơ vị trí cách xe máy xe đạp ? Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC , I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I vng góc với CI cắt AC BC theo thứ tự M N Chứng minh rằng: a) AIM ABI AM AI BN BI b) Câu (1,5 điểm ) BE BC , F Cho hình bình hành ABCD Điểm E thuộc cạnh BC cho trung điểm cạnh CD Các tia AE AF cắt đường chéo BD I K Tính diện tích AIK , biết diện tích hình bình hành ABCD 48cm ĐÁP ÁN Câu a) x5 y xy xy x y xy x y 1 xy x 1 xy y 1 Ta có: x x 1 x x 1 x 1 x 1 chia hết cho 2, xy y 1 30 x5 y xy 30 Cmtt 2 2 2 b) x y z xy yz x y z xy yz 0 2 x y y z x z 0 x y y z x z 0 x y z 0 Câu 1 a b 1 a x, b y 2 a) với x y 0 Ta có: A a a 2b b b a a b ab a b 2 1 1 x y x y 2 2 2 1 GTNN A x y 0 a b 2 1 b) Ta có : p c p b a 1 1 ; Tương tự: p c p a b p b p c c Cộng vế với vế BĐT chiều: xy x 1 30 1 4 2 p c p b p a a b c 1 1 1 2 p c p b p a a b c Câu Gọi thời gian ô tô đến vị trí cách xe đạp xe máy x(h) ( x 0) Thời gian xe đạp x 2(h) ; Thời gian xe máy : x 1(h) Quãng đường ô tô 50x km Quãng đường xe đạp 10 x ( km) Quãng đường xe máy 30( x 1)(km) Vì đến 10 xe máy vượt trước xe đạp nên tơ vị trí cách xe đạp xe máy nên ta có phương trình 50 x 10 x 30 x 1 50 x x 50'(tm) Vậy đến 10 50 phút tơ vị trí cách xe dạp xe máy Câu A M I B N (AI phân giác A) IAB a) MAI C C AIM IAM IMC 90 ( tính chất góc ngồi tam giác) IAB IBA 180 C 900 C 2 (tính chất góc ngồi tam giác) AIM ABI ( gg ) AIM IAB b) Chứng minh tương tự có IBN ABI AIM IBN AM IM AI IN BN BI AM AM IM AI BN IN BN BI IM IN MCN Có cân C Câu B A I E K D F C Ta có : S AEF S ABCD S ABE SCEF S ADF 1 1 S ABCD S ABCD S ABCD S ABCD S ABCD 20 cm 6 12 Nối FI S AIK S AFI AK AI AB AD S AIF S AFE AF AE AB DF AD BE S 1 AIK S AIK S AFE 10(cm ) S AFE 2