010 đề hsg toán 8 móng cái 2011 2012

UBND THÀNH PHỐ MĨNG CÁI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP THCS NĂM HỌC 2011-2012 Bài (4,0 điểm)  x2  2x  2 2x2 M   1     x  8  x  x  x x x    Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm x nguyên để M có giá trị số nguyên dương c) Tìm x để M  Bài (6,0 điểm) 2010 2010 x 2011  y 2011 x 2012  y 2012 Tính giá a) Cho x, y hai số dương x  y 2020 2020 trị biểu thức S x  y x  2015 x  2007 x  2006 x  2018    2012 2011 2013 b) Giải phương trình: 2010 y   x  1 2 y  x  1 y x c) Tìm thỏa mãn: Bài (4,0 điểm) bc ac ab   a  b  c a b c a) Chứng minh với số dương a, b, c b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức L x  x  x  12 x  20 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AC  AB  Vẽ đường cao AH  H  BC  Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC AH BC  1 AQ HB IB c) Tia cắt BC I Chứng minh ĐÁP ÁN Câu a) x  2  x   0;8  x  x  x   x   x   0 x 0 M xác định  x 2; x 0  x2  2x  x2  x  2 x2  M     x2  4   x   x2  4  x2   x    2x    x   4x2 2  x   x  4  x  x2  4 2  x   x2  4  x  1  x   x2  x  1  x    x  x2 2x b) Với x 2; x 0, M có giá trị nguyên dương dương  2M  M x 1 x có giá trị nguyên 2x  1  2x x nguyên dương   x x ước  x 1(Thỏa mãn điều kiện) x 1 M x có giá trị 1(Thỏa mãn) Thử lại: Với x 1 ta có: x 1 M x có giá trị (khơng thỏa mãn) Với x  ta có: Vậy x 1 x  ;2M    c) M   x 2; x 0; x 1  2x x 1 x 1 7x 1    0  0 2x 2x 2x 7 x  0  2x  Ta có:  7 x  0 1  x x   Giải x  x  1 M    x   x 2 Kết hợp với điều kiện ta có: Câu 2a) Có x 2012  y 2012  x 2011  y 2011   x  y    x 2010  y 2010  xy 2010 2010 x 2011  y 2011 x 2012  y 2012 Do x, y hai số dương x  y 2010 2010 x 2011  y 2011 x 2012  y 2012 m  Nên x  y  x 1 m m  x  y   mxy  x  y  xy   x  1   y  0    y 1 2010  y 2011  y 0 (loại) y 1 Với x 1  y 2010 x 2011  x 0(ktm) x 1 Với y 1  x 2b x  2015 x  2007 x  2006 x  2018    2010 2012 2011 2013  x  2015   x  2007   x  2006   x  2018    1    1   1    1  2010   2012   2011   2013  x x x x     0 2010 2012 2011 2013 1     x  5      0  2010 2012 2011 2013  1 1    x 5  Do    0  2010 2012 2011 2013   2c y   x  1 2 y  x  1  y  y  x  1   x  1 0   y  y  x  1   x  1    x  x  1 0   2   y  x  1   x  1 0  y  x  0    x  0  x 1   y 2 Câu 3a Với số dương a, b, c ta có: 2 bc ac ab  bc    ac    ab  a  b  c   a  b  c  a b c abc abc abc 2   bc    ac    ab  a 2bc  b 2ac  c 2ab 2   bc    ac    ab   2a 2bc  2b 2ac  2c 2ab 0 2 2 2    ac   2a 2bc   ab      bc   2b 2ac   ab      ac   2c 2ab   bc   0       2   ac  ab    bc  ab    ac  bc  0 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 3b L x  x  x  12 x  20 x  x  x  3x  12 x  12  x  x  x     x  x     x    x  2 Do 0(x);  x  3   x   L 8 2 x  3  x Đẳng thức xảy   x   0  x 2 Vậy với x 2 L có giá trị nhỏ Giá trị nhỏ L Câu I K B H Q P a) A PK / / AH  CKP CAB  Suy AKC BPC  c.g c  C CK CA  CP CB (1) 0    b) AKH vuông cân H  K1 45 Từ (1)  K1 P1 45  BAP vuông cân A  BP  AB Chứng minh BHA BAC  BH AB  AB BC BH AB BH AB BH AB      AB BC AB BC AB BC BH BP BH BQ      BP 2 BQ  BP BC BP BC BH BQ   ; PBC BHQ BPC có: BP BC chung  BHQ BPC  c.g.c   c) BAP vuông cân A, AQ trung tuyến nên phân giác  AI ABC  IC AC  IB AB phân giác AC AH ABC HBA   (3) AB HB Từ (2) (3) ta có: IC AH IB  BC AH BC AH     1  IB HB IB HB IB HB AH BC   1 dfcm  HB IB (2)