ĐỀ HSG ĐÀ NẴNG 2011-2012 Câu 1: Giải phương trình lượng giác: sin 3x cos x sin x 0 Lời giải Có: sin 3x 3sin x 4sin x (3 4sin x)sin x (1 2cos x)sin x, nên PT [(1 cos x) cos x 1]sin x 0 (4 cos3 x cos 2 x cos x 1)sin x 0 (1 cos x)(1 cos 2 x) sin x 0 sin x 0 x k (với k nguyên) cos x x y 8 Câu 2: Giải hệ phương trình: 2 x y y x 4 Lời giải x 2 cos 2u Điều kiện: x; y [ 2; 2] Đặt với u, v [0; 2 ] y cos v (1 cos 2u )(1 cos 2v) 2 HPT cos 2u sin 2v cos 2v sin 2u 1 sin u cos v 1/ sin(u v ) sin(u v) sin u cos v 1/ sin 2(u v) 1 u v u v sin(u v ) 1/ u v u 4 (thỏa)) u v u v v 0 x 2 cos 0 Kết luận: nghiệm hệ phương trình y 2 cos 2 Câu 3: Cho a, b, c ba) số (un ) dãy số xác định công thức: un a n b n c n (n *) un 0 a b c 0 Chứng minh lim n Lời giải un n2 n 3 a b c a b c n n 1 n 1 n 1 un () 0 Ta) có: un vn n cho nên: a b c 0 nlim Ngược lại a b c 0 a b c n ta) có b 2c un b n n c n n 0 n n 1 n n 1 Đặt Câu 4: Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số nhân có tổng 26 Tìm số đó, biết rằng: cấp số cộng có a số hạng thứ nhất, b số hạng thứ ba) c số hạng thứ chín Lời giải Gọi u1 a, u2 b, u3 c ba) số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q ; cấp số cộng có cơng sa)i d với v1 a, v3 b, v9 c Khi ta) có: u1 v1 a u v b u3 v9 c u1 u2 u3 26 u1 v1 a (1) aq a 2d aq a 8d (2) 3a 10d 26 (3) Dễ thấy q 1 d 0 , nên: q 1 a b c 26 2d a q Nếu q 1 (ad 0) hệ trở thành q 4q 0 3a 10d 26 q 3 a 2, b 6, c 18 a d 2 Câu 5: Chứng minh rằng: với số tự nhiên n, số 23 1 chia) hết cho 3n1 không chia) hết cho n 3n2 Lời giải Đặt An = 23 +) n = A0 = 21 = chia) hết cho 31 mà không chia) hết cho 32 k Giả sử Ak = 23 chia) hết cho 3k+1 mà không chia) hết cho 3k+2 (Ak = B.3k+1; với B nguyên, không chia) hết cho n Ta) có: Ak+1 = 23k 1 23k 23k 1 23k 23k k k k Ak+1 Ak Ak2 23 = B 3k 1 B 3k 1 23 = 3k 2 B 32 k 1 B 23 Dễ thấy: B 32 k 1 chia) hết cho mà B 23 khơng chia) hết cho (vì B khơng chia) hết cho 3) nên k B 32 k 1 23 không chia) hết cho Ak+1 chia) hết cho 3k+2, không chia) hết cho 3k+3 k Câu 6: Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy ra) có mặt ba) chữ số khác nha)u Lời giải Ta) có: 9 59.049 +) Gọi A biến cố cần tìm xác suất, ta) có: Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác C9 Chọn chữ số cịn lại từ chữ số đó, có trường hợp rời nha)u sa)u đây: +) TH1 Cả chữ số lại chữ số a, b, c: có cách; hốn vị từ 5! hoán vị của) chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra) số tự nhiên n; 3! hoán vị của) vị trí mà a, a, a chiếm chỗ tạo ra) số n, nên TH1 có thảy 5! 60 số tự nhiên 3! +) TH2 chữ số lại chữ số a, b, c chữ số kia) chữ số khác chữ số đó: có cách; hốn vị từ 5! hoán vị của) chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra) số tự nhiên n; 2! hốn vị của) vị trí mà a, a chiếm chỗ 2! hoán vị của) vị trí mà b, b chiếm chỗ tạo ra) số n, nên TH2 có thảy 5! 3 90 số tự nhiên 2!2! 9! 150 7 4 3 12600 Suy ra) A (60 90)C9 150 3!6! A 12.600 1.400 0,213382106 Kết luận: P A 59.049 6.561 Câu 7: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi (P) mặt phẳng qua) M song song với mặt phẳng ( ACD ') a)) Trình bày cách dựng thiết diện của) hình hộp mặt phẳng (P) b) Xác định vị trí của) M để thiết diện nói có diện tích lớn Lời giải a I D' R Q C' F A' P D B' S C K O A M J E N B Trong mp(ABCD), qua) M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC E, N Trong mp(BDD’B’), qua) E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ F Trong mp(A’B’C’D’), qua) F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ R, Q Trong mp(AA’D’D), qua) R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ S Trong mp(CC’D’D), qua) Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ P Thiết diện lục giác MNPQRS b Do mặt đối diên của) hình hộp song song nên cạnh đối của) lục giác thiết diện MNPQRS song song cặp cạnh song song với cạnh ta)m giác ACD’ Các ta)m giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI MJ=NK PK=QI MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP Các ta)m giác RQI, JMS, NKP nha)u (gọi diện tích của) chúng S1 gọi diện tích ta)m giác JKI, ACD’ S2, S) AM k ; ta) có điều kiện k có: Đặt AB 2 S1 JM AM AM k S1 = k2S S AC DC AB 2 S2 JK JM MK JM MK 2 k 1 S2 =( k + 2k +1)S S AC AC AC AC Diện tích thiết diện: Std S 3S1 3 1 3S Std 2S ( k k ) 2S k (dấu xảy ra) k ) 2 2 S lớn k M trung điểm của) AB Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm của) SC Một mặt phẳng (P) chứa) AM cắt cạnh SB, SD điểm B', D' khác S Chứng minh SB ' SD ' SB SD rằng: Lời giải S D' M I D P O C B' A B N Lấy I = AMB'D' O = ACBD, ta) có: S, O, I điểm chung của) mặt phẳng (SAC) (SBD) S, O, I thẳng hàng.Và I trọng tâm mặt chéo SAC Vẽ BP // B'I DN // D'I P, N SO OP ON x y Đặt x SI SO SD SB ; y SD ' SB ' SB SD SP SN 2SO 2 3 x, y [1; 2] (*) SB ' SD ' SI SI SI 2 1 Suy ra): 3 x y xy xy Từ (*): x 2 x x 0 3 x y xy xy x(3 x) 2 1 x y x y 2 Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa) độ Oxy, lập phương trình tắc của) Elip (E) biết có đỉnh ha)i tiêu điểm của) (E) tạo thành ta)m giác chu vi hình chữ nhật sở của) (E) 12 Lời giải 2 x y 1 a b với ha)i tiêu điểm F1 c;0 , F2 c;0 a b 2 c a b , c ha)i đỉnh trục nhỏ là: B1 0; b , B2 0; b Gọi pt Elip cần tìm là: c a b a 6 b 3 Theo giả thiết ta) có hệ: b 2c c 3 a b 12 Vậy (E): x2 y 1 36 27 Câu 10: Cho ba) số thực dương x, y, z thỏa) mãn x + y + z = Chứng minh: x3 y3 z3 1 xy yz xz yz xy xz Lời giải Cho x, y, z ba) số dương thỏa) mãn x + y + z = x z 1 y, x y 1 z , y z 1 x Khi T x3 y3 z3 x3 y3 z3 xy yz xz yz xy xz y y z z x x x3 y 1 y 3 x3 y y 3x Xét y 1 y y 1 y y3 z 1 z 3y y3 z 1 z 3 z 1 z z 1 z z3 x 1 x 3 z x x 3z x 1 x x 1 x Cộng vế tương ứng của) bất đẳng thức ta) 3 x y z 1 T x y z x y z T 2 dấu "=" xảy ra) x y z x3 y3 z3 , dấu "=" xảy ra) x y z 1 Vậy xy yz xz yz xy xz