+SỞ GD-ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ ĐỀ XUẤT KỲ THI CHỌN HSG THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn: TỐN 10 – THPT Chuyên Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: Theo định Sở GD-ĐT (Đề thi gồm có 01 trang) Câu Tìm tất hàm số f xác định tập hợp số thực, nhận giá trị tập hợp số thực thỏa mãn f ( xf ( y ) x ) xy f ( x) x, y Câu Cho số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn | ad bc | min{c, d } Chứng minh với số tự nhiên x, y tùy ý, mà ( x; y ) 1, số x a y b không chia hết cho x c y d Câu Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp quanh đường trịn Mơt đường thẳng đường qua A tương ứng cắt đường thẳng BC, CD E, F Gọi I1 , I I tương ứng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE, ECF FAD Chứng minh đường thẳng qua trực tâm tam giác I1 I I Câu Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( K10 – 2013 ) L a b c a 2b c Câu Tìm tất tập hợp X, chứa hai số nguyên dương, có tính chất: Với m, n X , m n tồn k X cho n mk HẾT Chú ý Học sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD-ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Mơn: TỐN 10 – THPT Chuyên ĐỀ ĐỀ XUẤT Chú ý - Mỗi tốn có nhiều cách giải, hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải, học sinh có lời giải khác với lời giải HDC, giám khảo cho điểm tối đa phần - Câu (Hình học) khơng vẽ hình vẽ hình sai, khơng cho điểm - Hướng dẫn chấm có trang Câu (2 điểm) Nội dung trình bày Giả sử tìm hàm số f thỏa mãn f ( xf ( y ) x ) xy f ( x) x, y Trong (1) cho x 1, y f (1) đặt f ( y ) a (tức a f ( f (1)) ) ta f (a) f ( f ( y ) 1) y f (1) f a 0 Trong (1), cho y a đặt f (0) b ta b f ( xf (a ) x) ax f ( x) x Suy f ( x) ax b Thay vào phương trình ban đầu, ta a xy abx ax b xy ax b Căn hệ số, thu a 1, b 0 Do đó, f ( x) x f ( x ) x Thử lại, kết luận Điểm (1) 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 Câu (2.5 điểm) Nội dung trình bày Giả sử tồn x, y , x, y cho x y b x c y d c d a b Đặt x c y d s Thế x y mod s x y Điểm a ad d bd Suy x ( 1) y mod s 0.25 mod s bc b bd x ( 1) y ( 1)d x ad y bd ( 1)b x bc mod s Suy mod s x ad ( 1)b d xbc mod s |ad bc| ( 1)b d Do ( x; y ) 1 nên ( x; s ) 1 , chia hai vế cho x k , k min{ad , bc} thu x |ad bc| ( 1) a c Tương tự, có y 0.5 mod s mod s 0.5 Do y|ad bc| x|ad bc|s y|ad bc| x|ad bc|s 0.5 |ad bc| x|ad bc| y|ad bc| x|ad bc| y d x c s Mặt khác, từ giả thiết suy y 0.5 |ad bc| x|ad bc| chia hết cho s Mâu thuẫn với ( x; y ) 1 Điều phải chứng Do y minh 0.25 Câu (2 điểm) Nội dung trình bày Điểm A B I1 H K I3 E D L I2 C F Xét trường hợp E nằm B C; F nằm tia đối tia CD; trường hợp khác xét tương tự Tiếp tuyến đường tròn ( I1 ) song song với CD (gần CD hơn) cắt BC K cắt H Ta chứng minh H trực tâm tam giác I1 I I3 Thật vậy, đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD L, suy CKHL hình bình hành Do tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên AD HL AD CK AD BC BK AB CD BK AB BK CD AH HK CD AH LC CD AH DL Suy tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với ( I ) Vì FD KH ; FH HA nên đường phân giác HI1 góc AHK FI góc HFD vng góc với nhau; hay I1 H I I (Do F , I , I thẳng hàng) (1) Chứng minh tương tự, HI EI hay I H I1 I Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh (2) 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 Câu (1.5 điểm) Nội dung trình bày Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có 4 3 4 a 2 a· 4 a 3, dấu đẳng thức xảy a 2 a a 4 a b 9 1 9 2 b· 6 b 3, dấu đẳng thức xảy b 3 b b 2 b Điểm 0.5 16 16 16 2 c· 8 c 2, dấu đẳng thức xảy c 4 c c 4 c 3a b c 8 Cộng ba bất đẳng thức chiều, thu (1) 4 a 2b c a b 3c Mặt khác, a 2b 3c 20 nên 5 (chia hai vế cho 4) (2) 4 Cộng (1) (2), vế đối vế, ta L a b c 13 a 2b c Dấu đẳng thức xảy a 2, b 3, c 4 Vậy giá trị nhỏ biẻu thức L 13, đạt a 2, b 3, c 4 c 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu (2 điểm) Nội dung trình bày Điểm m n Giả sử tìm tập hợp X thỏa mãn hai phần tử bé X Khi đó, cách xác định X 0.25 nên tồn k X cho n mk Suy m k n k m k n Nếu | X |2 dễ thấy tập hợp X {m; m3 } thỏa mãn 0.5 q m n q Nếu | X |3 , gọi phần tử bé thứ ba X (tức ) Khi tồn X cho 0.25 q m Do q nên m n 0.25 q n Nếu m , vơ lý Vậy n m q m m 0.25 Nhưng tồn t X cho q nt , t m Mà m X Vô lý Vậy | X |2 X {m; m3 } 0.25 0.25