1.10.Đề Đề Xuất Khối 10 - Bn.doc

ĐỀ ĐỀ XUẤT KHỐI 10 – BẮC NINH Bài 1 Cho đa thức ( ) [ ] f x x Chứng minh rằng nếu đa thức ( ) ( ) 12Q x f x  có ít nhất 6 nghiệm nguyên phân biệt thì ( )f x không có nghiệm nguyên Bài 2 Cho tam gi[.]

ĐỀ ĐỀ XUẤT KHỐI 10 – BẮC NINH Bài 1: Cho đa thức f ( x)  [ x] Chứng minh đa thức Q( x)  f ( x) 12 có nghiệm ngun phân biệt f ( x) khơng có nghiệm ngun Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  Lấy F điểm thuộc cung AB (không chứa C ) cho F không trùng với điểm A, B Gọi M điểm cung  (khơng chứa A ) N điểm cung AC (không chứa B ) Đường thẳng qua BC C song song với đường thẳng MN cắt đường tròn  O  điểm P (khác C ) Gọi I , I1 , I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , FAC , FBC Đường thẳng PI cắt đường tròn  O  điểm G (khác P ) a) Chứng minh NPMI hình bình hành b) Chứng minh điểm I1 , I , G, F nằm đường tròn p Bài 3: Cho số nguyên tố p  Chứng minh 1 mod p  tử biểu thức p 1 1   k     k   bội số p k 2 Bài 4: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2a  ab b ca  c    2b  bc c  ab  a    2c  ca a  bc  b  Bài 5: Cho trước số nguyên dương n kí hiệu X  1;2;3; ;4n  1;4n Với song ánh 3n f : X  X , đặt S f  i  f  i  Hỏi có hoán vị  a1 ; a2 ; ; a4 n  X thỏa mãn biểu i 1 4n thức S  3ai  i đạt giá trị lớn i 1 ĐÁP ÁN: Bài 1: Cho đa thức f ( x)  [ x] Chứng minh đa thức Q( x)  f ( x) 12 có nghiệm nguyên phân biệt f ( x) khơng có nghiệm ngun Lời giải: Giả sử Q( x) có nghiệm nguyên phân biệt x1 , x2 , x6 f ( x) ( x  x1 )( x  x2 ) ( x  x6 ) H ( x)  12 , H ( x)  [ x] Nếu đa thức f ( x) có nghiệm nguyên a ( a  x1 )(a  x2 ) ( a  x6 ) H ( a) 12 Suy (a  x1 ), (a  x2 ), , (a  x6 )  { 1; 2; 3; 6} Do (a  x1 ), (a  x2 ), , ( a  x6 ) phân biệt, mà | H (a ) |1 nên ta có 12 | a  x1 | | a  x2 | | a  x6 | | H ( a) |12.2 2.32.1 36 vô lý suy đpcm Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  Lấy F điểm thuộc cung AB (không chứa C ) cho F không trùng với điểm A, B Gọi M điểm cung  (không chứa A ) N điểm cung AC (khơng chứa B ) Đường thẳng qua BC C song song với đường thẳng MN cắt đường tròn  O  điểm P (khác C ) Gọi I , I1 , I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , FAC , FBC Đường thẳng PI cắt đường tròn  O  điểm G (khác P ) c) Chứng minh NPMI hình bình hành d) Chứng minh điểm I1 , I , G, F nằm đường tròn Lời giải: F A I1 N O G I2 I P B C M a/ Nhận xét: I1  NF , I  MF 1  B I FB  I BF  CFB   CBF Ta có: MI 2 2 1 1  CAB  CBF (1) 2 1 1    MBI MBC  CBI  CAB  CBF (2) 2 2  B MI  B , tam giác MBI cân M Từ (1) (2) cho ta MI 2 Do ta có MB MC MI MI Tương tự ta có NA NC NI NI Theo giả thiết, CP / / MN  MCPN hình thang cân Theo tính chất hình thang cân ta có được: PM CN NI ; MI MC NP Từ cho ta NPMI hình bình hành b/ Theo câu (a), NPMI hình bình hành nên hai điểm M , N cách đường thẳng PI , S MPG S NPG 1   MP.MG.sin PMG  NP.NG.sin PNG 2   Lại có sin PMG (hai góc bù nhau) sin PNG Nên MP.MG NP.NG Theo câu (a) theo tính chất hình thang cân ta có: NP MI MI ; MP NC NI1 Cho ta: Vậy NI1.MG MI NG  MG NG  MI1 NI1 Từ cho ta I MG I1 NG (c.g.c)     Vậy NGI MGI  NGI1 I1GI  Mặt khác NGM I1 FI  I1FI I1GI , điểm I1 , I , G, F nằm đường tròn p Bài 3: Cho số nguyên tố p  Chứng minh 1 mod p  tử biểu thức p 1 1   k     k   bội số p k 2 Lời giải: 1 Đặt H k   d  1  2d  3d   d  k  1 Ta có     1 1  1  1 1                   p  1 p  k  1 3  k 2 k    1   p 2     1 1        p 1 2     Suy p     1      2   p  1           H k   1    H  p  1 /2  1 k 2 k 2     H  p  1 /2     p p p Vì 1 mod p    0  mod p    0  mod p  nên tồn số nguyên dương q cho 2p- - = qp Û 2p - = 2qp p  p  k p    1 Ta có 2q    C p  p p k 1 k k 1  1       p    k  mod p  p p 1 1  1       2  p   k 1 k k 1 2k 2 H p   1  H p   1  H p   1  mod p  (theo định lí Wolstenholme, 2 H p   1 H p    0  mod p  với số nguyên tố p  ) H p    1  Lại có 1   22  p   1            1 1 1 1          1 2  2 2  p      p 1   1   1            p 1 p 1   2   H p     mod p  0  mod p  2 k 1 k k p   p  k  2 Vì vậy, p H k   1    H  p  1 /2  1  k 2 k 2   2  H  p  1 /2       2q   2q  mod p     2p- - p- º 2 - ( mod p) º 0( mod p) (đpcm) p2 ( ) Bài 4: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2a  ab  b  ca  c 2b  bc   c ab  a  2c  ca  a bc  b  Lời giải:     Ta có: b  ca  c  b b  a c  c c  b  a  c   b  c  c   P  b  ca  c  2 a  ab    a  b  c   b  2c  b  ca  c   2a  ab   a  b  c   b  2c   1  2a  ab   2a  2ab  2ac  a  a    a b c  b  2c  a  b  c   b  2c     2a a  b  2c a  b  c Tương tự cho biểu thức lại, cộng lại ta được:  a  P 2a 2b 2c   1 b  2c c  2a a  2b 2 a  b  c b2 c2  a2  2     1    ab  bc  ca   ab  2ac bc  2ba ca  2cb  Dễ thấy  a  b  c  3  ab  bc  ca  nên P 1 Dấu xảy a b c Vậy giá trị nhỏ P Bài 5: Cho trước số nguyên dương n kí hiệu X  1;2;3; ;4n  1;4n Với song ánh 3n f : X  X , đặt S f  i  f  i  Hỏi có hốn vị  a1 ; a2 ; ; a4 n  X thỏa mãn biểu i 1 4n thức S  3ai  i đạt giá trị lớn i 1 Lời giải: Với k   1;2;3; ;4n , kí hiệu bk max  3ak ; k  ; ck min  3ak ; k  4n Khi  k 1 4n 4n 3ak  k   bk  ck    bk  k 1 k 1 4n  ck k 1 4n Chú ý  bk 3   n  1   n     4n     3n  1   3n     4n  26n  5n k 1 4n  ck 3     n       3n  6n  3n k 1 4n Suy  3ak  k 20n  2n k 1 Đẳng thức xảy điều kiện sau thỏa mãn: + Với k   1;2;3; ;3n ak   n  1; n  2; n  3; ;4n + Với k   3n  1;3n  2;3n  3; ;4n ak   1;2;3; ; n Vậy có tất n !  3n  ! hốn vị thỏa mãn