Đề thi hsg môn toán học lớp 12 vòng 1 sở gd đt hải dương năm học 2011 2012 file word có lời giải chi tiết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TỐN - Vịng Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu (2 điểm) x có đồ thị (C) điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến x 1 (C) điểm M cắt hai tiệm cận A B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M Tìm m để hàm số y 9 x  m x  có cực đại Cho hàm số y  Câu (2 điểm) Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  1005  x  x   y  y  Giải hệ phương trình  2  x  y  xy 1 Câu (2 điểm)   Chứng minh tan x  sin x  x  (   ), x   0;  Từ suy 2  2 tam giác nhọn ABC ta có tan A  tan B  tan C  sin A  sin B  sin C  2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y  x    x  16  x Câu (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a M N hai điểm thay đổi thuộc cạnh BC DC cho  MAN 450 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMN Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh a  ab  b  bc  c  ca     5(a  b  c) 2 2 2 a  3ab  c b  3bc  a c  3ca  b …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý I Nội dung CM tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M 3  a 2 y '   y '( a )  M  (C )  M  a; , a   ( x  1) (a  1)2  a 1  a ( x  a)  () Tiếp tuyến (C) M có pt y  (a  1) a 1 Tiệm cận đứng 1 có phương trình x  Tiệm cận ngang  có phương trình y 1  I ( 1;1) a  5    1  A  A   1;  ,    B  B  2a  1;1 a 1   1 a S IAB  IA.IB   2a   a  6 (không 2 a 1 a 1 phụ thuộc vào a, đpcm) Tìm m để hàm số y 9 x  m x  có cực đại mx 9m , y ''  TXĐ:  , y ' 9  x 9 ( x  9) x  y ' 0  x   mx 0  x   mx  mx  mx   (I)   2 2 81( x  9)  m x ( m  81) x  81.9   Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 TH m2 81   m 9  m x 9 x  x  9(x) nên y'  x   mx x 9  0, x suy hàm số đồng biến  , khơng 0,25 có cực trị TH m   ( I )  x1  y ''( x1 )  9m ( x12  9) x12  m  81   x1 điểm cực tiểu  m  loại TH m    ( I )  x2  y ''( x2 )   27 0,25 27 m  81 9m   x2 điểm cực đại ( x22  9) x22  Vậy hàm số có cực đại  m   0,25 II Giải phương trình sin 2012 x  cos 2012 x  1 21005 Đặt t sin x, t   0;1 (1) có dạng: t1006  (1  t )1006  (1) 21005 (2) 1,00 0,25 1006 1006 Xét hàm số f (t ) t  (1  t ) , t   0;1 f '(t ) 1006[t1005  (1  t )1005 ] ; f '(t ) 0  t  1 1 f (0)  f (1) 1, f    1005  f (t )  1005 Vậy (2)  t   0;1 2  2   hay (1)  sin x   cos x 0  x   k ( k  Z )  x  x   y  y  (1) Giải hệ phương trình  2 (2)  x  y  xy 1 ĐK: y 1 (1)  x  y  y   0,25 0,25 0,25 1,00 x2 1  x  xy  y  y   x   ( y  1)( x  1)  xy  ( y  1)( x  1)  x y x y  y  x   x  y  III  x  y   x 0  x  xy   Kết hợp với (2) ta   y 2 x  x  y  xy 1  x 0 & (2)  y 1  y 1 1 y 2 x & (2)  3x 1  x   x   y  3 Thử lại ta có x 0, y 1 x  , y  thỏa mãn hệ pt 3 Vậy hệ có nghiệm   Chứng minh tan x  sin x  x  (   ), x   0;  2  2   Xét hàm số f ( x) tan x  sin x  x  0;   2 f '( x)  2cos3 x  9cos x  (2cos x  1)(cos x  4cos x  2)  cos x    cos x 2cos x 2cos x   Vì x   0;    cosx