144 đề hsg toán 8 sơn dương 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC : 2015-2016 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút Câu (4 điểm) x  x  2  x2  x  2  a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2n  A     2 2 1.2  2.3 3.4      n  n  1  b) Rút gọn biểu thức: Câu (4 điểm) 1 yz xz xy   0 A   x y z a) Cho x y z Tính 2 b) Tìm tất số x, y , z nguyên thỏa mãn: x  y  z  xy  y  z  0 Câu (4 điểm) a) Chứng minh với số nguyên x, y thì: A  x  y   x  y   x  y   x  y   y số phương b) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: A a1  a2   a2016 chia hết cho Câu (6 điểm) Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE  BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu (2 điểm) 2 2 Cho a, b, c ba số đôi khác thỏa mãn:  a  b  c  a  b  c a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab Tính giá trị biểu thức : ĐÁP ÁN Câu a) x  x    x  x     x  x   x  x     x  x    x  x    x  x  1  x  1 n  1  n    2 2 n  n  1 n  n  1  n  n  1  2n  b) Ta có:  B  1   n  1  n  n  2  n  1 Câu a) Ta có a  b  c 0 : a  b3  c3  a  b   3ab  a  b   c  c  3ab   c   c 3abc (vì a  b  c 0  a  b  c) 1 1 1   0     x y z xyz Theo giả thiết x y z A yz xz xy xyz xyz xyz      x2 y z x y z  1 1 xyz     xyz 3 y z  xyz x 2 b) x  y  z  xy  y  z  0  y2  3    x  xy     z  z  1   y  y   0  4   y 2    x     z  1   y   0 2  Có giá trị  x, y, z   1;2;1 Câu a) Ta có: A  x  y   x  y   x  y   x  y   y  x  xy  y   x  xy  y   y 2 Đặt x  xy  y t  t   A  t  y   t  y   y t  y  y t  x  5xy  y  2 2 Vì x, y, z nên x  ,5 xy  ,5 y    x  xy  y (dfcm) Vậy A số phương b) Dễ thấy a  a a  a  1  a  1 tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Xét hiệu: A   a1  a2   a2016   a13  a23   a2016    a1  a2   a2016   a13  a1    a23  a2     a2016  a2016  Các hiệu chia hết cho , A chia hết cho Câu C D I E O A K H F B   a) AME CMB(cgc)  EAM BCM 0      Mà BCM  MBC 90  EAM  MBC 90  AHB 90  AH  BC b) Gọi O giao điểm AC BD 1  HO  AC  DM AHC vuông H có HO đường trung tuyến 2   DHM vuông H suy DHM 900  Chứng minh tương tự: MHF 90   Suy DHM  MHF 180 , điểm D, H, F thẳng hàng c) Gọi I giao điểm AC DF  Ta có: DMF 90  MF  DM mà IO  DM  IO / / MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Kẻ IK  AB( K  AB)  IK đường trung bình hình thang ABFD AD  BF AM  BM AB   2 (không đổi) Do A, B cố định nên K cố định , mà IK không đổi nên I cố định Vậy đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Câu  IK   a  b  c a  b  c  ab  ac  bc 0 a2 a2 a2   a  2bc a  ab  ac  bc  a  b   a  c  b2 b2  ; b  2ac  b  a   b  c  c2 c2  c  2ac  c  a   c  b  Tương tự: a2 b2 c2 P   a  2bc b  2ac c  2ab a2 b2 c2     a  b  a  c  b  a   b  c   c  a   c  b   a  b   a  c   b  c  1  a  b  a  c  b  c