034 đề hsg toán 8 thanh oai 2014 2015

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học : 2014-2015 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (6,0 điểm)   x3   x2 A   x :  x  x  x  x3   1) Cho biểu thức  x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A  2) Giải phương trình: x  30 x  31x  30 0 Câu (4,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy 6 x  y  2) Chứng minh m 5 m a  không số nguyên tố Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A, biết: 4 A  x  1   x  3   x  1  x  3 Câu Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE , CF cắt H HD HE HF   AD BE CF a) Tính tổng b) Chứng minh : BH BE  CH CF BC c) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF d) Trên đoạn HB, HC lấy điểm M , N tùy ý cho HM CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên n cho: 2n  n  7n  1 2n  1 ĐÁP ÁN Câu 1) a) Với x  1;1thì  x3  x  x 1  x 1  x A : 1 x   x    x  x2   x   x     x    x  x2  x 1 x   x  : : 1  x 1  x   x    x  x2    x    x  1 x A     x2    x   b) Với x 1 (1) Vì  x  với x nên  1 xảy  x   x  2) x  30 x  31x  30 0   x  x  1  x    x   0  * 1  x  x   x     0x 2  Vì  x 5   *   x    x   0    x  Câu 2 x  xy 6 x  y   x  x   y  x   (2) x2  x   y x  (vì x 5 không nghiệm   )  y  x  1  x 5 Vì x, y nguyên nên x  ước  x     1;1;3;  3 hay x   4;6;8;2 x y Vậy nghiệm phương trình  x; y    2;0  ;  4;0  ;  6;8  ;  8;8   8 2) m a   a  4a     2a   a   2a   a   2a  2   a  2a  1  1   a  2a  1  1   a  1  1   a  1  1    Vì  a  1 2 1a,  a  1 0a nên giá trị nhỏ thừa số thứ a  Giá trị nhỏ thừa số thứ hai a 1 Còn trường hợp khác tích   a 1  a  Vậy ngồi  m 5 phân tích thành tích hai thừa số lớn nên m số nguyên tố Câu Đặt a x  1, b 3  x ta có: a  b 2 2 A a  b   ab   a  b   4a 2b 2 2   a  b   2ab   4a 2b   2ab   4a 2b   8a 2b  16ab  16 8  ab  1  8 Dấu " " xảy  a  b 2 ab 1  a b 1  x 2 Vậy giá trị nhỏ A x 2 Câu A E F H N M B C D O HD S HBC  AD S ABC a) Trước hết chứng minh HE S HCA HF S HAB  ;  BE S CF S ABC ABC Tương tự ta có: HD HE HF S HBC  S HCA  S HAB    1  HD  HE  HF 1 S ABC AD BE CF Nên AD BE CF b) Trước hết chứng minh BDH BEC  BH BE BD.BC Và CDH CFB  CH CF CD.CB  BH BE  CH CF BC. BD  CD  BC (dfcm)   c) Chứng minh AEF ABC  AEF  ABC     Và CDE CAB  CED CBA  AEF CED Mà EB  AC nên EB phân giác góc DEF Tương tự : DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) d) Gọi O giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC , ta có   OMH ONC  c.c.c   OHM OCN (1)   Mặt khác ta có OCH cân O nên OHC OCH (2)    Từ  1   ta có: OHC OCH  HO phân giác góc BHC  Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O Câu 2n3  n  7n   n  n    2n  1  Để 2n  n  7n  12n  52n  hay 2n  Ư    2n    2n      2n  1   2n  5  n   n 0   n 1   n 3 Vậy n    2;0;1;3 2n  n  7n  12n 