Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 63 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
63
Dung lượng
2,25 MB
Nội dung
Ngày dạy:15/12/2021; Ngày dạy:22/12/2021 CHUYÊN ĐỀ: SỐ HỌC SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ Định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố số tự nhiên lớn chia hết cho P số nguyên tố U ( p ) 1, p Vd : 2, 3, 5, 7, … Định nghĩa hợp số : Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Các tính chất a Số 0, khơng phải số nguyên tố, hợp số b Số số nguyên tố nhỏ c Số số nguyên tố chẵn d Tập hợp số nguyên tố vô hạn e Mọi hợp số phân tích thừa số ngun tố kết phân tích f Mọi số nguyên tố lớn có dạng : 4k 1;6n 1 g Tập hợp số tự nhiên bao gồm : Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số h Nếu a.b chia hết cho p ( p số nguyên tố ) a chia hết cho p b chia hết cho p i Số ước số hợp số n n n * Giả sử n p1 p2 pk (n1 , n2 , , nk N ) k n1 , n2 , , nk ( k N * ) p1 , p2 , , pk : Số nguyên tố số ước số n : ( n1 1)(n 1)( (nk 1) 2 Vd : 100 2 100 có : (2 1)(2 1) 9 ước *) Phương pháp kiểm tra số số nguyên tố hay hợp số * Với n N , n ta kiểm tra theo bước sau : 2 - Tìm STN k cho : k n (k 1) - Kiểm tra xem n có chia hết cho số nguyên tố nhỏ k không ? +) Nếu có chia hết n số hợp số +) Nếu khơng chia hết n hợp số Bài 1: Tìm số tự nhiên n, cho a (2n 5)(3n 1) số nguyên tố b ( n 2)(n n 7) số nguyên tố c (n 1)(n n 7) số nguyên tố d n số nguyên tố Lời giải 2n n 1 (2n 5)(3n 1) 3n a Nếu hợp số n (2 n 5)(3 n 1) Nếu số nguyên tố Vậy n = b n 0 A 3(tm); n 1 A 1(loai ); n 2 A 0(loai ); n 3 A 11(tm) n 2 n 3 lahopso n n n ( n 1) +) hợp số Vậy n = n = c n 0(t / m); n 1(loai ) n 3(loai ) n ( n 1)(n 1) n 2(tm) d Ta có: Bài 2: Các số sau số nguyên tố hay hợp sô, biết p số nguyên tố a A p p 2018 b B p p 2 c p 2000 d D 11 1211 2017 2017 Lời giải a A p p 2018 p ( p 1) 2018 A 2 số chẵn nên A hợp số A lớn 2 b B p p p ( p 1) số chẵn lớn nên hợp số c p 2000 +) p 2 C : chan hợp số +) p 3 C 20097 hợp số 2 +) p p 3 dư p 20003 hợp số 2000 chia dư d Tổng chữ số D : 2017 + + 2017 chia hết D chia hết cho D > nên D hợp số Bài 3: Chứng minh với số tự nhiên n > n n số nguyên tố Lời giải Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích : n5 n4 (n n 1)(n3 n 1) Ta có : n n n 1; n n hợp số Bài 4: Tìm tất cặp số nguyên dương ( Tự nhiên ) (a,b) cho a4 + 4b4 số nguyên tố Lời giải 4 2 2 2 2 Ta có: a 4b (a 2b ) (2ab) (a 2ab 2b )(a 2ab 2b ) +) Nếu cặp số nguyên không cần xét a, b = +) Nếu cặp số tự nhiên, ta phải xét a, b = - Nếu a = A = 4a4 ( loại ) - Nếu b = A = a4 ( khơng số ngun tố ) 2 2 - Nếu a, b 1 a 2ab 2b a 2ab 2b 1 Để A số nguyên tố a b 0 a 2ab 2b 1 (a b) b 1 a b 1 A 5(tm) (a, b) (1,1) b 1 DẠNG TOÁN: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUN TỐ Bài tốn: Tìm số nguyên tố p để nhiều số phụ thuộc vào p số nguyên tố - Tính chất : Cho q số nguyên tố, k số tự nhiên khác 0, k không chia hết cho q Khi dãy số cách gồm bốn số hạng, khoảng cách số hạng k tồn số chia hết cho q Vd : q = , k = ( k không chia hết cho q ) n;n+3 +) q = , k = n ; n + ; n + , chẳng hạn 3;5;7 +) q = 5, k = n, n + 4, n + 8, n + 12, n + 16 7,11,15,19, 23 Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau đồng thời số nguyên tố a p + p + 10 b p + p + c p + 10 p + 20 d p + p + 10 e p + 10 p + 14 Lời giải a Ta có : p p + 2, p + 10 số nguyên tố Xét dãy số : p + 2, p + 6, p + 10 tồn số chia hết cho Mà : p 4 P + p + 10 số nguyên tố > p 2/ 3; p 10/ p 63 p3 p 3 Thử lại : p + = 5, p + 10 = 13 số nguyên tố Cách : ( lớp 8) xét mod +) Nếu p 3k p 3 p 5; p 10 13(tm) +) Nếu p 3k p 3k 33 hopso(loai) * +) Nếu p 3k p 10 3k 123(loai )(k N ) Vậy p = Thử lại thấy thỏa mãn p 10; p 15; p 20 3 p 3 b Xét dãy số : c p 10; p 12; p 14 d p 4; p 6; p d p 8; p 9; p 10 Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải Gọi ba STN thỏa mãn toán : p; p 2; p ( p lẻ ) Trong ba số p, p + 2, p + có số chia hết cho Có số số nguyên tố chia hết cho Bài 3: Tìm số nguyên tố p, cho số sa đồng thời số nguyên tố a p 2; p 6; p 8; p 14 b p 6; p 8; p 12; p 14 mod : c p 4; p 6; p 10; p 16; p 22 Lời giải a Xét dãy số : p; p 2; p 4; p 6; p tồn số chia hết cho +) p 2 p 4 loai +) p 3 p 9 loai p 5 p 5 p 5 p 5 p p 14 5( loai ) +) p 6; p 8; p 10; p 12; p 14 5 b c p; p 2; p 4; p 6; p 8; p 10; p 12 +) p = 2, 3, ( loại ) p 27 p 167(loai) p 7 p 7 p 87 p 227(loai) +) thử lại Bài 4: Tìm số nguyên tố p cho 2 a p 4; p số nguyên tố b p 94; p 1994 số nguyên tố Lời giải a Vì p số nguyên tố nên p > +) Nếu p = thỏa mãn 2 +) p > 3, xét dãy số : p 4; p; p có số chia hết cho p 3 p3 p 3(voly ) Cách khác : Xét số dư +) p 3k p 3 tm 2 2 +) p 3k p (3k 1) 9k 6k 3(3k 2k 1)3 h / so 2 2 +) p 3k p (3k 1) 9k 12k 3(3k 4k ) h / so Vậy p =3 b Xét dãy số p, p + 47, p + 94 có số chia hết cho +) p 473 p 19943 loai p 3 p 3(tm) Vậy p =3 2 Bài 5: Chứng minh : 200 p 1;200 p đồng thời số nguyên tố Lời giải 2 Giả sử số 200 p 1;200 p số nguyên tố 2 Xét dãy số : 200 p 1;200 p ; 200 p có số chia hết cho 200 p 3 p 3 p 3 (200,3) +) p 3 200.3 17997( hopso) voly dpcm Bài 6: Cho số nguyên tố p cho 8p2 + số nguyên tố Chứng minh 8p2 – số nguyên tố Lời giải Ta tìm số nguyên tố p cho : 8p2 + số nguyên tố +) p 2 p 333 loai +) p 3 p 73 số nguyên tố 2 +) p 5 , : p (3k 1) p 3(8k 3)3 p không số nguyên tố Hoặc xét : p = 3k + ; p = 3k + 2 Do p = p 3 p 71 số nguyên tố DẠNG TOÁN: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN NHỜ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT SỐ NGUYÊN TỐ A Kiến thức Trong nhiều trường hợp giải phương trình nghiệm nguyên dẫn đến việc xét số 2t 2t nguyên tố số dạng n a b Một số tính chất ước số nguyên tố số n để sử dụng vào giải phương trình: t a Mệnh đề Nếu số nguyên tố p 2 k với số nguyên dương t, k k lẻ, ước 2t 2t số n a b p ước số chung a b Chứng minh: + Giả sử p không ước số số a p khơng ước số số b (a, p) (b, p) 1 Theo định lí nhỏ Fermat a p 1(mod p ) hay a k 1 (mod p) 2t k 2t k 2t k + Tương tự b 1 (mod p) suy a b 2 (mod p) * t t t t t k k 2 Mặt khác sử dụng đẳng thức đáng nhớ ta có (a ) (b ) (a b ).M n.M k lẻ M số nguyên 2t 2t Theo giả thiết np (a b )p , mâu thuẫn với * Tương tự p không ước số p p khơng ước số a dẫn đến mâu thuẫn Vậy số nguyên tố p phải ước số chung số a số b b Mệnh đề 2: Giả sử a b nguyên tố ước số nguyên tố lẻ a2 + b2 có dạng 4m + (mà khơng có dạng 4m + 3) m số nguyên dương Chứng minh: + Xét ước số nguyên tố p = 4m + = 2(2m + 1) +1 Theo mệnh đề p ước số nguyên tố n = a2 + b2 p ước số chung a b p 1 , mâu thuẫn Vì p lẻ nên p có dạng p = 4m + + Ta thử vận dụng tính chất vào giải số phương trình nghiệm nguyên Bài Giải phương trình nghiệm nguyên x y 7 Lời giải 3 2 (1) Phương trình (1) x y x ( y 2)( y y 4) (2) 2 Nếu y chẵn vế phải (2) chia hết cho x lẻ, x 2t x 4t 4t không chia hết cho 4, mâu thuẫn 2 Vậy y số lẻ, y 2k y y 4k nên phải có ước số nguyên tố lẻ dạng 4m + (vì tích số dạng 4m + lại có dạng 4k + 1) Suy x có ước số nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái với mệnh đề Vậy phương trình (1) khơng có nghiệm ngun x2 y Bài 2.Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) cho x y số nguyên dương ước số 1995 Lời giải x2 y k x y Giả sử nguyên dương k ước số 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n = 3.7.19 Các số nguyên tố 3, 7, 19 có dạng 2(2m + 1) + = 4m +3 Gọi ước chung lớn x, y d ( x, y ) x du, y dv với ( u, v) 1 2 2 Theo giả thiết x y k ( x y ) d (u v ) k (u v ) (1) Xét hai trường hợp: 1) k ước số n k có ước số nguyên tố dạng 4m + 2 Áp dụng mệnh đề vào (1) u v không chứa ước số nguyên tố k nên k ước 2 2 số d d k t Từ (1) có t (u v ) u v , u u v u v u (1) vô nghiệm 2 2) k = 5m với m ước số m Lúc (1) trở thành d (u v ) 5m(u v) Lập luận 2 m ước số d Suy d = m.t Từ ta có t (u v ) 5(u v) (2) Từ (2) có u v 5(u v) A u v 5(u v ) 0 (3) Mặt khác A 4u 20u 25 4v 20v 25 50 (2u 5) (2v 5) 50 12 50 0 A 0 Kết hợp với (3) phải có A= u 3 u 2 Điều xảy 2u 1 v=1, nghĩa v 1 v 1 x 3m x 2m Từ A = (2) suy t 1 d m Các số x, y phải tìm y m y m m ước n = 3.7.19, nghĩa m lấy giá trị sau: 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133, 399 Bài Tìm số nhỏ tập hợp số phương dạng 15a + 16b 16a -15b với a, b số nguyên dương Lời giải Giả sử 15a + 16b = m2 16a -15b = n2 (1) với m, n số nguyên dương 4 2 2 2 2 Khi đó: m n (15a 16b) (16a 15b) (15 16 )(a b ) 481(a b ) 4 2 hay m n 13.37(a b ) (2) Các số nguyên tố 13 37 có dạng p 2 k 1 với k lẻ Giả sử (m, n) d m du, n dv với (u,v) =1 4 2 => (2) trở thành d (u v ) 481(a b ) (3) 4 Vì (u,v) = nên u v khơng chứa ước số nguyên tố 13 37 481 ước d d 481.t Để cho m, n nhỏ nhất, ta lấy t = 4 2 Lúc (3) trở thành 481 (u v ) a b (4) Từ (1) có m n 31b a hay 481 (u v ) 31a b (5) 2 Có thể chọn u v 1 để m, n nhỏ nhất, lúc a = 31b a b 481 Từ có b = 481 a = 31.481 suy m = n = 481 Bài Tìm số có chữ số mà có ước Lời giải Giả sử p q hai số nguyên tố khác nhau, pq có ước 1, p, q, pq số p2q có ước 1, p, p2, q, pq, p2p Do số phải tìm có dạng pn Vì số pn có n + ước nên muốn có ước rõ ràng n = Số p4 số có chữ số p = Vậy số phải tìm 54 = 625 Bài Tìm số nguyên tố biết ba số hiệu lập phương hai số Lời giải 3 Gọi ba số nguyên tố a, b, c Ta có c a b chẳng hạn 2 2 => c (a b)(a ab b ) Muốn c số nguyên tố a - b = 1, điều xảy số nguyên tố a = 3, b = Suy ra: c = 27 - = 19 Vậy ba số nguyên phải tìm 2; 3; 19 Bài Xét dãy số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ta lập hai dãy số = + 3; = + 5; 12 = + 7; 18 = + 11; 24 = 11 + 13; = 2.3; 15 = 3.5; 35 = 5.7; 77 = 7.11; 143 = 11.13; Có hay khơng số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai Lời giải Nhận xét: + Ở dãy thứ số hạng theo thứ tự tổng hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 5) chẵn + Ở dãy thứ hai số hạng theo thứ tự tích hai số nguyên tố liền tất số hạng dãy (trừ số hạng đầu 6) lẻ Do ta kết luận rằng: khơng có số hạng dãy thứ số hạng dãy thứ hai Bài Tìm số nguyên tố p biết p + p +4 số nguyên tố Lời giải Do p 1 khơng phải số ngun tố, nên p có dạng p = 3k Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Nếu p = 3k + p + = 3k + hợp số Do p p + = + =5 số nguyên tố, p + =3 +4 =7 số nguyên tố Bài Có số có ba chữ số mà chữ số ước nguyên tố chúng? Lời giải Các ước nguyên tố có chữ số là: 2; 3; Nếu số phải tìm bắt đầu chữ số phải chia hết cho tận Chữ số thứ hai phải 2, số 232 khơng chia hết cho 3, số 252 không chia hết cho số 272 không chia hết cho Vậy số phải tìm 222 Tương tự số phải tìm mà bắt đầu chữ số số 555 Bây bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho 3, chúng và Thử lại thấy có số 333 thích hợp Cuối bắt đầu hai chữ số cuối phải tạo thành số chia hết cho Thử lại thấy có hai số 777 735 thích hợp Tóm lại có số thỏa mãn là: 222; 333; 555; 735; 777 Bài Một xí nghiệp điện tử ngày giao cho cửa hàng số máy tivi Số máy số có ba chữ số mà tăng chữ số đầu lên n lần, giảm chữ số thứ hai thứ ba n lần số lớn gấp n lần số máy giao Tìm n số máy tivi giao Lời giải Giả sử số máy tivi giao abc 100a 10b c Ta có: 100(a n) 10(b n) (c n) n(100a 10b c) hay 100a 100n 10b 10 n c n 100an 10bn cn 89n 100a 10b c n Từ ta được: Nhưng 89 số nguyên tố nên n - phải n phải chia hết cho n-1 Trong hai trường hợp ta tìm n =2 abc 178 Vậy số máy tivi giao 178 Bài 10 Những số nguyên tố ước số có dạng 111 11? Lời giải Trước hết ta nhận xét số có dạng 111 11 khơng chia hết cho số nguyên tố Giả sử p số nguyên tố khác Ta xét p + số sau: 1, 11, 111, 1111, ,111 11 hai số chia cho p có số dư giống nhau, hiệu chúng 11 1100 chia hết cho p số có dạng 111 11 có ước tất số nguyên tố trừ hai số nguyên tố MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố Lời giải Gọi số nguyên tố cần tìm : a Theo ta có : a = b + c = d – e ( a, b, c, d số nguyên tố ) Dễ thấy : a = b + c > a số nguyên tố lẻ b, c khác tính chẵn lẻ Giả sử b > c c 2 a d e d , e chan, le e 2 a : le d e Có : Vậy a = b + = d – d b b, b 2, b số nguyên tố b 3 a 5, d 7 Vậy a = số nguyên tố cần tìm Bài 2: Giả sử p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số nguyên tố Lời giải * +) p 3k 1(k N ) p hợp số * +) p 3k 2(k N ) p hợp số +) p 3k p 3 p 29(tm) hợp số b c a Bài 3: Cho a, b, c số nguyên dương cho số p a c; q b a; r c b số nguyên tố CMR : Trong ba số p, q, r có hai số Lời giải Trong ba số a, b, c có số có tính chất chẵn lẻ, chẳng hạn b c lẻ r số chẵn r 2 c a b 2 b c 1 p a a p q KL q a a Khi Tương tự trường hợp cịn lại 2 Bài 4: Tìm ba số nguyên tố liên tiếp cho p q r số nguyên tố Lời giải 2 2 2 +) Nếu p, q, r > p , q , r 1(mod 3) p q r 3 0(mod 3) h / so p, q, r 2,3,5 p, q, r 3,5, 7 Vậy có số chia hết cho số Bài 5: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho : abc < ab + bc + ca Lời giải Vì a, b, c có vai trị nhau, khơng tính tổng qt : Giả sử a b c abc ab bc ca 3bc a a 2 2bc 2b bc 2c (1) bc 2(b c ) 2.2c b 2 bc 4c b b 3 +) b 2 (1) : 4c 4c(dung )c 2 c b 3 (1) : 6c 5c c b +) c 3 c 5 Vậy ba số : +) (2,2,p) : Với p số nguyên tố +) (2,3,3) ( 2,3,5) Bài 6: Tìm tất số nguyên tố thỏa mãn 2 a x 19 y 2 b x 11 y 1 Lời giải 2 c x 12 y 1 a Nếu x chẵn x 2 13 19 y (loai ) 2 Nếu x lẻ x : le 3x 1: chan 19 y : chan y : chan y 2 x 5 ( x, y ) (5, 2) b Nếu y lẻ 11y 1: chan x : chan x 2 +) Nếu y chẵn y 2 x 3 ( x, y ) (3, 2) c Không xét tính chẵn lẻ +) Với y 2 x 7 tm +) Với y > x x : le Đặt x = 2k + 1, thay vào (1), : (2k 1) 12 y k ( k 1) 12 y k ( k 1) 3 y (2) chan k 3, y : le le VT (2) : chan VT VP VP(2) : le Vì x > Vậy x = 7, y = Bài 7: Tìm số nguyên tố p, q cho 7p + q pq + 11 số nguyên tố Lời giải p 2 pq : chan q 2 Ta có : pq + 11 > nên số nguyên tố lẻ +) p 2 q, q 14, 2q 11: lacacsonguyento Nếu q = 3k + q 14 : lahopso Nếu q = 3k + 2q 11: lahopso q 3k q 3 tm p 2, q 3 +) q 2 p;7 p 2;2 p 11: lacacsonguyento Xét số dư chia cho p 3, q 2(tm) Bài 9: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích ba số nguyên tố liên tiếp Lời giải abba 1001a 110b11 : TH +) TH1 : abba 5.7.11 385 loai +) TH2 : abba 7.11.13 1001 tm +) TH3 : abba 11.13.17 2431 loai y Bài 10: Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: x z Lời giải y y y +) Nếu x lẻ x : le x 1: chan z 2 loai z > z x x : chan x 2 y z mà y 2 z 5 k 1 k +) Nếu y lẻ y 2k z 2 4 k k k Ta có: : 3du1 2.4 : 3du 13 z 3, z 5 khôngz y:chan y = z = q p Bài 11: Tìm ba số nguyên tố p, q, r cho : p q r Lời giải 2 +) Có : r 2 8 r : le q p Nếu p, q lẻ p q : chan r 2 loai p, q khác tính chẵn lẻ q Giả sử p chẵn, q lẻ p 2 q r q k +) Nếu q q : le q 2k 4 2chia3du q q > nên q không chia hết q2 chia dư q 3 r 3 loai.do.r Vậy q 3 q 3 r 17(tm) Vậy p = 2, q = 3, r = 17 p = 3, q= 2, r = 17 Hoặc cách khác