UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II Bài (3,0 điểm): Cho ba số thực a, b, c thỏa a b c 0 a b c 2 a 2b b 2c c a a) Chứng minh 4 2 b) Tính a b c có thêm điều kiện a b c 6 Bài (4,0 điểm): Tam giác ABC có số đo cạnh là: a, b, c Gọi p chu vi tam giác Chứng minh : 1 a) a b a b 1 1 1 2 a b c b) p a p b p c 2 c) Cho 2p = 18 Tìm giá trị nhỏ a b c Bài (4,0 điểm): x 1 x 3 x m Cho phương trình: Thực hiện: a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 thỏa: 1 1 x1 x2 x3 x4 Bài (7,0 điểm): Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Trên cạnh AB lấy điểm N cho BN = CM Tia AM cắt đường thẳng CD E a) Chứng minh ∆OMN tam giác vuông cân b) Chứng minh MN // BE c) Gọi H giao điểm OM với BE Chứng minh CH vng góc với BE Bài (2,0 điểm): 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x y 19 ====HẾT==== UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN VÒNG II Bài (3,0 điểm): Từ a b c 0 được: a b2 c 2ab 2ac 2bc 0 (a b c ) 4( ab ac bc ) (a b c ) 4( a 2b a 2c b 2c a 2bc b 2ac c 2ab ) 0,25 0,25 0,25 0,50 (a b c ) 4( a 2b a 2c b 2c abc(a b c )) Thay a + b + c = được: 0,25 0,50 (a b c ) 4(a 2b a 2c b 2c ) a b c 2(a 2b a 2c b 2c ) 2 2 2 2 2 ( a b c ) 4( a b a c b c ) Từ 2 2 ( a b c ) a b c a b c 2 a 2b b 2c c a được: a b c 18 Thay Bài (4,0 điểm): 1 a b a b a b ab a b (a b) 4ab (Do a > 0, b >0 nên ab(a+b)>0) 4 (a b)2 0 Áp dụng a) được: 1 4 p a p b 2p a b c ; 1 4 1 4 p a p c 2p a c b ; p b p c 2p b c a Cộng được: 1 4 2( ) p a p b p c c b a 1 1 1 2( ) p a p b p c c b a 0,75 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 2 2 2 Có a b 2ab; b c 2bc; a c 2ac 0,50 2 Cộng được: 2(a b c ) 2ab 2ac 2bc 0,25 0,25 3(a b c ) a b c 2ab 2ac 2bc 0,25 (a b c)2 p a b c 3 2 a b c có giá trị nhỏ 182: = 108 a b c = 2 0,50 Bài (4,0 điểm): x 1 ( x 1) x 3 x 9 0,50 ( x x 5)( x x 3) 9 Đặt y = x x được: 0,50 ( y 4)( y 4) 9 y 25 y 5 y x x x x 0 x x x 5 x x 0 x 10 x 10 2 Từ phương trình ( x x 5)( x x 3) m (*) Đặt y = x x ( y 4)( y 4) m y m 16 y m 16 1 1 x x x x x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 Do x1; x2 ; x3 ; x4 có vai trị biểu thức Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình: x x m 16 x x Có: x1 x2 x1.x2 m 16 0 (*) (1) 0,25 0,25 0,50 0,50 0,50 m 16 x3 ; x4 hai nghiệm phương trình: x x m 16 x x m 16 0 Có: (2) 0,25 x3 x4 x3.x4 m 16 Thay vào (*) được: 4 4 1 1 m 16 m 16 1 m 16 m 16 2 1 m 16 8 m (1 m 16)( m 16) Với m = -7 (*) có nghiệm phân biệt Kết luận m = -7 Bài (2,0 điểm): x x 21 y 2 2( x 1) 3(7 y ) 2 Do 2( x 1) 0 nên y 7 Xét : y = 0; y = ±1; y = ±2 0,50 0,25 0,50 0,25 0,50 0,25 2 2( x 1) y Do số chẵn số chẵn y = ±1 Được nghiệm (2; ) ; (2 ; -1) ; (-4, 1) ; (-4 ; -1) A N 0,25 0,25 B O M H D C E Bài (7,0 điểm): OBN ∆OCM có: BN = CM (gt) OB = OC (ABCD hình vng) OBN = OCM = 450 ∆OBN = ∆OCM ON = OM (1) Và BON = COM BON + BOM = COM + BOM NOM =COB = 900 (2) Từ (1) (2) ∆NOM vuông cân O AM BM = AB // CE ME MC (Theo Ta-Let) Có BM = AN NB = MC AM AN = Thay được: ME NB MN // BE (Theo Ta-Let đảo) MN // BE BHM = NMO = 450 (1) BMH = OMC (đối đỉnh) BMH đồng dạng với OMC MH/MC = MB/MO Và có HMC = OMB (đối đỉnh) MHC đồng dạng với MBO MHC = MBO = 450 (2) 0 Từ (1) (2) BMC = BHM + MHC = 45 + 45 =90 Hay CH BE ====HẾT==== 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 0,25 0,75 0,50 0,75 0,50 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25