T 34

PHÒNG GD & ĐT CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN Thời gan làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm: 01 trang Câu (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x  x    x    x    x    24 b)  2 Giải phương trình: x  30x  31x  30  a b c a2 b2 c2   1   Cho b  c c  a a  b Tính A = b  c c  a a  b Câu (2 điểm)   10  x   x A      : x   x 2   x  2 x x2  Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A < c Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên Câu (1 điểm) Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số ban đầu Câu (3 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương a+b+c = a2 b2 c2    Chứng minh rằng: b  c c  a a  b - Hết HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM HỌC SINH GIỎI TOÁN Câu Đáp án a) x + = x + 4x + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2+2)2 – (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) = (x2 + 2x + 2).(x2 - 2x + 2) b) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 2 x  30x  31x  30  x  x  1  x    x     (*) Vì x2 - x + = (x - )2 + > x nên (*) (x - 5)(x + 6) =  x  0  x 5   x  0  x    Câu (3 điểm) Vậy tập nghiệm phương trình S= {5;−6 } a b c   1 Nhân vế của: b  c c  a a  b với a + b + c; rút gọn  A =   10  x   x A    : x      x  2 x x2  x2   Biểu thức: Câu (2 điểm) A 1 x  với x≠±2 a Rút gọn kết quả: b A   x  1 AZ   Z  x   1;3 x c Gọi tử số phân số cần tìm x ( x∈Z ) Câu (1 điểm) Điểm Thì mẫu số phân số cần tìm x+11 0,5 điểm 0,5 điểm điểm điểm 1,0 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm x x +11 Phân số cần tìm (x số nguyên khác -11) Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số x−7 x +15 (x khác -15) x x +15 x +11 = x−7 Theo ta có phương trình Giải phương trình tìm x= -5 (thoả mãn) Từ tìm phân số − A F Câu (3 điểm) Câu (1 điểm) điểm E B 0,25 điểm M D C AE FM DF a Chứng minh:  AED DFC  đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC  đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF a không đổi  S AEMF ME.MF lớn  ME MF (AEMF hình vng)  M trung điểm BD điểm a b ( a  b)   x y x  y với x, y >0 Chứng minh toán 1: 0,25đ điểm 0,75 điểm Áp dụng toán 1: a2 b2 (a  b)   b  c c  a a  b  2c a2 b2 c2 ( a  b) c2      (1) b  c c  a c  a a  b  2c c  a 0,25đ Áp dụng toán 1: ( a  b) c2 (a  b  c)2 a  b  c    1 a  b  2c c  a 2(a  b  c ) (2) (vì a+b+c = 1) a2 b2 c2    Từ (1) (2) suy b  c c  a a  b 0,25đ 0,25đ Dấu "=" xảy a = b = c = 1/3