PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM GIÀNG ĐỀ ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) x x 12 x 45 Rút gọn biÓu thøc B = 3x 19 x 33 x a b 2c Cho abc = Tính giá trị biểu thức A = ab + a + bc + b + ac + 2c + Câu (2,0 điểm) 2 Giải phương trình sau: ( x x) x 12 x 0 2 Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2012 x 2013 y 2014 0 Câu (2,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 22, f(x) chia cho x thương 5x cịn dư Cho phương trình ( 2x – 3)2 = Tính giá trị biểu thức A 3x2 x4 x2 1 Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân b) Chứng minh : ME // BN c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG TOÁN Hướng dẫn giải Câu (2.0 điểm) a) phân tích mẫu = 3x3 – 19x2 + 33x – = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) = (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1) 0.5 ĐKXĐ: (x – 3) (3x – 1) x vaø x Phân tích tử: (1.0 điểm) 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15)= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5) với x x (1.0 điểm) 0.25 0.25 (x - 3) (2x + 5) 2x + x x 12 x 45 (x 3) (3x 1) 3x - x 19 x 33 x Thì B = = a ab 2c A ab + a + abc + ab + a ac + 2c + a ab 2c ab + a + 2 + ab + a ac + 2c + abc a ab 2c ab + a + 2 + ab + a c(a + + ab) a ab ab + a + 2 + ab + a a + + ab ab + a + 1 ab + a + 0.25 0.25 0.25 0.25 (2.0 điểm) Câu ( x x) x 12 x 0 ( x x) 6( x x) 0 0.25 đặt t = x2 – 2x ta có phương trình ẩn t : t2 – 6t + = (1.0 điểm) (t-2)(t-4) = t = t = 0.25 Với t = ta có : x2 – 2x = giải phương trình ta x = Với t = ta có : x – 2x = giải phương trình ta x = 1 0.25 Vậy phương trình có nghiệm 1 ; 1 ; 1 ; 1 0.25 x xy 2012 x 2013 y 2014 0 (1.0 điểm) x xy x 2013x 2013 y 2013 1 x ( x y 1) 2013( x y 1) 1 ( x 2013)( x y 1) 1 x 2013 1 x 2014 x y 1 y 2014 x 2013 x 2012 y 2014 x y 0.25 0.5 phương trình có nghiệm ( 2014;-2014) ( 2012 ; -2014) 0.25 (2.0 điểm) Câu Giả sử f(x) chia cho x thương 5x dư ax b (1.0 điểm) 0.25 Khi đó: f ( x) ( x 4).( x) ax+b Theo đề bài, ta có: f (2) 22 2a b 22 a 3 f ( 2) 10 2a b 10 b 16 Do đó: f ( x) ( x 4).( x) 3x+16 0.5 0.25 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) x 23 x 16 ta có ( 2x – 3)2 = 4x2 – 12x + = (1.0 điểm) 0.25 x2 – 3x + = (x2 + 1)2 = (3x)2 0.25 x4 + 2x2 +1 = 9x2 x4 + = 7x2 0.25 0.25 (3.0 điểm) thay x4 + = 7x2 vào A ta A = -3/2 Câu E A (3.0 điểm) B 0.25 Hình vẽ O M H' D C H N a) Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC Và B1 C1 45 BE = CM ( gt ) 0.25 Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) OE = OM O1 O3 Lại có O2 O3 BOC 90 tứ giác ABCD hình vuông O O EOM 900 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân O b) Từ (gt) tứ giác ABCD hình vuông AB = CD AB // CD AM BM + AB // CD AB // CN MN MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*) Mà BE = CM (gt) AB = CD AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : MN EB ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) 0.25 0.25 0.5 0.5 c) Gọi H’ giao điểm OM BN Từ ME // BN OME OH ' E ( cặp góc so le trong) Mà OME 45 ∆OEM vng cân O ' B 450 C MH ∆OMC ∆BMH’ (g.g) OM MH ' CMH ' ( hai góc đối đỉnh) OB MC ,kết hợp OMB ' C 450 MH ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) OBM 0.5 0.5 Vậy BH ' C BH ' M MH ' C 90 CH ' BN Mà CH BN ( H BN) H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) (1.0 điểm) Câu Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = (x + y)2 x y x y - Xét x y x y x y x y Dấu “=” xảy (1.0 điểm) 0.5 0.25 - Xét x y x y x y x y Dấu “=” xảy x y Vậy x + y đạt GTNN Lưu ý chấm bài: 0.25 - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com