PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ VANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4 điểm): a Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 b Cho phương trình: x2 x 1 x m x Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm Bài 2: (2 điểm): Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 2 a + b + c = abc ta có 2 a b c a b c Bài 3: (2 điểm): Cho S = 101 + 102 + 103 +…+ 200 Chứng minh S > 12 Bài 4: (4 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vần số phương Bài 5: (6 điểm): Câu 1: Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngồi hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC tam giác Câu 2: Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b Gọi CD đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân c Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Câu :( 2điểm): Cho a, b số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5 Chứng minh rằng: a2 + b2 + ab (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Phòng GD- ĐT PHÚ VANG ========== HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Câu Nội dung giải a/ x 4x 2 2. x 43 x 4x Điểm x x 43; Đặt x2-4x = t Đk: t -4 Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0 (t + 7)(t – 5) = t = -7 ( loại) t = Với t = Khi đó: x2 - 4x - 5=0 (x +1)(x – 5) = x=5 x=-1 Vậy S = { 5; -1} b/ ĐK PT Câu (5 đ) x+2 x+1 x-m x-1 0,5 0,5 0,5 (*) x – m 0 x m x – 0 x Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = – m (**) - Với m = PT (**) có dạng : 0x = Trường hợp PT (**) vô nghiệm (1) 2-m - Với m PT (*) có nghiệm: x = m 2-m Nghiệm x = nghiệm PT (*) phải thỏa mãn điều kiện: x m m x 1 2-m 1 2-m m m 1 Tức : m 2-m m m + m - 0 m - 1 m + 0 m m , m -2 Như PT (*) vô nghiệm với giá trị m {-2 ; ; 1} Theo gt: 0,5 1 2 nên a 0 , b 0, c 0 a b c 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: Câu (2đ) 1 1 1 1 1 1 2 4 4 a b c a b c a b c ab bc ca 1 a b c 2 4 a b c abc Vì a + b + c = abc (gt) nên a b c 1 abc 0,5 0,5 0,25 1 1 1 4 2 ( đpcm) a b c a b c 1 1 0,5 1 Ta có: A = 150 151 152 153 200 101 102 103 Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta được: Bài 3: (2đ) 1 1 101 102 103 150 150 50 1 1 151 152 153 200 200 50 1 1 1 1 A= > + = 150 151 152 153 200 12 101 102 103 1 1 101 102 103 200 12 A= Gọi abcd Ta có: số phải tìm a, b, c, d N, abcd k ( a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m a , b, c, d 9, a 0 với k, m N, 31 k m 100 m k m k 123 11 m k m k (thỏa mãn) m 67 k 57 Vậy số cần tìm là: abcd 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 Do đó: m2 – k2 = 1353 (m + k)(m – k) = 123.11= 41 33 ( k + m < 200 ) 0,5 0,25 abcd k abcd 1353 m Bài 4: ( 3đ) 0,25 41 33 m 37 k 0,5 (loại) = 3136 Câu 1: 0,5 0,5 0,25 A E 1 F P B C Ta có: AEPF hình bình hành nên Bài 4: Xét EPB FPC, ta có: AEˆ P AFˆ P EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) ˆP ) AF EPB = FPC ( c.g c ) ˆ B = PFˆ C PE ( 600 - ˆ P =600 AE Suy ra: PB = PC (1) Ta có: EAˆ F AEˆ P 180 Aˆ Eˆ1 60 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do Â3 = Ê2 Xét EPB ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) Â3 = Ê2 EPB = ABC ( cgc ) - 0,5 Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) (2) PB = PC = BC Vậy PBC 0,5 Câu 2: C (6 đ) B H D A a Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được: Ta có: SABC = 1 AC.BC = AB.CH 2 CH ABC AC.BC 20.15 = 12 cm AB 25 b Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = cm CD tia phân giác ACH nên suy AD = 10 cm ; HD = cm Do BC = BD ( = 15 cm ) Vậy BDC cân B c Xét vng : CBH, CAH Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ suy BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 Bài : ( 2đ ) vuông C 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Với số a, b dương: Xét: a b2 1 ab a2 + b2 – ab 0,25 (a + b)(a2 + b2 – ab) (a + b) ( a + b > 0) a3 + b3 a + b 0,5 (a3 + b3)(a3 + b3) (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5 ) 0,5 a6 + 2a3b3 + b6 a6 + ab5 + a5b + b6 2a3b3 ab5 + a5b 0,25 ab(a4 – 2a2b2 + b4) 0 ab a b2 0 a, b > Vậy: a b 1 ab với a, b dương a3 + b3 = a5 + b5 * Lưu ý: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm tối đa 0,5