SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH HƯNG YÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI TỐN Thời gian làm 150 phút, khơng kể giao đề Câu Tính giá trị biểu thức A x 2 x 1 Câu a) Giải phương trình: x y x x 4 y x y x2 b) Giải hệ phương trình: d1 : y m 5m x 2m Oxy Câu 3.a) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (m tham số) đường thẳng d : y x m Tìm m để hai đường thẳng song song với b) Một robot chuyển động từ A đến B theo cách sau: 5m dừng giây, tiếp 10m dừng lại giây, tiếp 15m dừng lại giây, Cứ vậy, robot từ A đến B kể nghỉ hết 551 giây Tính quãng đường robot chuyển động từ A đến B Biết đi, robot chuyển độn với vận tốc 2,5m / giây Câu Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi ln qua B C Vẽ tiếp tuyến AD AE với đường tròn (O), D E tiếp điểm a) Chứng minh AD AB AC , từ suy D thuộc đường tròn cố định b) Gọi MN đường kính đường trịn (O) vng góc với BC Gọi K giao điểm AM với đường tròn (O) Chứng minh ba đường thẳng AB, DE , NK đồng quy Câu a) Cho tam giác ABC có A góc tù Chứng minh rằng: sin B C sin B.cos C cos B.sin C b) Trên mặt phẳng có 25 điểm phân biệt, biết điểm cho tìm điểm có khoảng cách chúng nhỏ 1.Chứng ming tồn hình trịn có bán kính khơng chứa 13 điểm 25 điểm nói a b2 c2 2 2019a b c 2018 Câu Cho a, b, c thỏa mãn a b c P a bc b ca c ab Tim giá trị lớn ĐÁP ÁN Câu Ta có: 2A 1 51 2 A 2 A 10 Câu a) ĐKXĐ: x Ta có: x x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x2 x2 Vì x 0 (vô lý) nên x 2 x 6 x x 6 x x 2 x 16 x 28 Vậy x 2 b) Điều kiện xác định x 0 2 x y x y 1 x x x x y 0 y x y x2 x2 4 2 1 0 2 x 2 y 1 x x x Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 2;1 Câu m 5m m m 3 0 m 2 m m d / / d m a) Để b) Gọi số lần robot từ A đến B x, đk: x * 10 15 5x 2 x x x 1 2,5 2,5 2,5 2,5 Thời gian robot là: (giây) Thời gian robot nghỉ là: x 1 x x 1 x 1 x (giây) 58 (ktm) x 19(tm) x x 1 x 551 x x 1102 0 Theo đề ta có: Vậy quãng đường robot chuyển động từ A đến B : 95m Câu M D K H O I A C B E N a) Xét ADC ABD có: A chung; ADB DCB (cùng chắn cung DB) AD AC ADC ABD( g g ) AD AB AC AD AB AC AB AD Nên Do A, B, C cố định nên D cố định b) Gọi J giao điểm MN AC Dây DE cắt AO H cắt AC I Ta có: AD AE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA OE R AO đường trung trực DE AO DE H 900 AHI AJO AH AI AH AO AI AJ IHO IJO AJ AO Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ADO có: AD AH AO AD AH AJ AK AD AKD ADM AD AK AM AK AM AD AM Ta lại có AK AI AK AM AI AJ AHI AJM AJ AM AKI AJM 900 hay MKI 900 Mặt khác MKN 90 K , I , N thẳng hàng hay AB, DE , NK đồng quy Câu B H K A C a) Kẻ BK AC K AC , Ke AH BC H BC Ta có: AH CH BH AH sin B.cos C cos B.sin C sin ABC cos C cos ABC sin C AB AC AB AC AH AH BC AC.BK BK sin B.cos C cos B.sin C CH BH AB AC AB AC AB AC AB BK sin B C sin KAB AB Mặt khác : Từ đó, ta có sin B C sin B.cos C cos B.sin C b) Gọi 25 điểm mặt phẳng A1; A2 ; A3 , , A25 phân biệt Giả sử A1 A2 độ dài lớn độ dài nối điểm 25 điểm cho, Nếu A1 A2 Vì điểm cho tìm điểm có khoảng cách chúng nhỏ nên với điểm Ak k 3, 4, ,25 ta ln có A1 A2 Xét đường trịn A1;1 chứa tồn 25 điểm cho, ta có điều phải chứng minh Nếu A1 A2 Xét điểm tùy ý Ak điểm cịn lại, giả sử A3 Vì điểm cho tìm điểm có khoảng cách chúng nhỏ nên A1 A2 A2 A3 có 12 đoạn thẳng xuất phát từ A1 có độ dài nhỏ 1, 12 đoạn thẳng xuất phát từ A2 có độ dài nhỏ Do đó, tồn đường trịn A1;1 A2 ;1 chứa 13 điểm 25 điểm cho Vậy tồn hình trịn có bán kính chứa khơng 13 điểm 25 điểm nói Câu Áp dụng bđt Cô si cho hai số dương a bc a, b, c , ta có: a bc 2a bc a a 1 1 1 a bc 2a bc b c 4 b c b 1 1 c 1 1 ; Tương tự: b ca c a c ab a b 1 ab bc ca a b c P 2 a b c 2abc 2abc a b2 c2 2 2019a b c 2018 Mà, a2 b2 c2 a2 b2 c2 abc 2019 1009 2019 2018 abc Do P 1009 2019 suy giá trị lớn P 1009 2019 đạt a b c 2018 2019