052 đề thi hsg toán 9 2019 2020 tỉnh long an

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2019-2020 Bài 1) Không sử dụng máy tính, thực phép tính A 2   15  10 23  x 1 x 2  x  1 x 2) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định rút gọn B b) Tìm giá trị lớn B giá trị x tương ứng Bài 1) Tìm hệ số a  cho đường thẳng y ax  1; y 1 ; y 5 trục tung tạo thành hình thang có diện tích 8(dvdt ) 1   2  4 x , y , z  x y z xy z 2) Cho số thỏa mãn đồng thời Tính B 3x  x  x x  giá trị biểu thức P  x  y  z  2012 Bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  , đường cao AD, BE , CF  D  BC , E  AC , F  AB  cắt H cắt đường tròn  O  theo thứ tự M , N , K Chứng minh rằng: a) BH BE  CH CF BC b) AH AD  BH BE  CH CF  AB  BC  CA2 AM BN CK   4 AD BE CF Bài Cho đoạn thẳng CD 6cm, I điểm nằm C , D  IC  ID  Trên tia Ix vng góc với CD lấy hai điểm M , N cho IC IM , ID IN , CN cắt MD c) K  K  MD  , DN cắt MC L  L  MC  Tìm vị trí điểm I CD cho CN NK có giá trị lớn Bài Tìm cặp số  x; y  nguyên dương thỏa mãn xy  x 27  y ĐÁP ÁN Bài 2 1) A    15  10 23    2   15  10    15   46      23   31  3 5  51  1   5   1 51 51 2)a ) DKXD : x 0, x 1  B    3x  x  x x  x 1 x 2  x  1 x   x  1 x  2  3x  x  x  1 x 1  3x  x  x   x  x      x  1 x1  x1 x 2  x  2 x 3   x 2 x2 x    x1 MaxB   x 0 Vậy Bài a) x 2  x 3 x 2 x 3  x 0, x 1 , x  2  x 2  1  x 2 Dấu " " xảy x 0  x 0(tmdk ) b) B     x    x  1 x   x1 1  x 2    2 Ký hiệu hình thang ABCD cần tìm hình vẽ 6  2  C  ;5  , D  ;1  BC  , AD  a a Tính    a   2 S ABCD    : 8  a 2(tmdk a  0) a a Tính Vậy phương trình đường thẳng y 2 x  1 1 1   2      4 x y z x y z b) Ta có:  1 1  x  y  z   xy  z  Do đó:  1 2 2  2 2     0 x y z xy yz zx xy z  1  1            0 xz z   y yz z  x 2  1  1         0  x z  y z  1  1     0   x z   x z    x  y  z    1     y  z  0  y z   1 1   2 x  y  , z  2 Thay vào x y z ta 1 1  P     2 2 Bài 2012 12012 1 N A E F K H B D O C M a) Tứ giác DCEH có HDC  HEC 90  90 180 nên tứ giác DCEH nội tiếp HED HCD (cùng chắn cung HD ) BDE , BHC có HED HCD, EBC chung  BDE ∽ BHC ( g g ) BD BE    BH BE BC.BD  * BH BC Chứng minh tương tự đẳng thức (*) ta : CH CF CD.CB  ** Cộng  * ,  ** theo vế ta được: BH BE  CH CF BC BD  CD.CB  BC  CD  BC BC  1 b) Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được: BH BE  AH AD  AB   , AH AD  CH CF AC   Cộng  1 ,   ,   theo vế ta được:  AH AD  BH BE  CH CF  AB  AC  BC AB  BC  CA2  AH AD  BH BE  CH CF  c) Ta có: MBC MAC (cùng chắn cung MC ) MAC CBE (cùng phụ BCA) Nên MBC CBE  BC phân giác MBE MBH có BC đường cao đồng thời đường phân giác nên tam giác cân B  BC đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh MH Nên D trung điểm MH  DM DH AM AD  DM DM  1   * AD AD Ta có: AD S BHC DH DM    ** BHC ABC có chung đáy BC nên ta có: S ABC AD AD AM S 1  BHC  1 S ABC Từ (*) (**) suy : AD Chứng minh tương tự đẳng thức (1) ta được: BN S CK S 1  AHC   , 1  AHB  3 BE S ABC CF S ABC Cộng  1 ,   ,   theo vế ta được: AM BN CF S S S S   1  BHC   AHC   AHB 3  ABC 3  4 AD BE CK S ABC S ABC S ABC S ABC Bài x M K L C I D IND vng I có IN ID( gt )  IND vuông cân I  IND IDN 45 *Chứng minh tương tự ta IMC vuông cân I  ICM IMC 45 LCD có LCD LDC 450  LCD vng cân L  DL  MC Mà MI  CD  DL, MI hai đường cao CDM cắt N  N trực tâm CDM  CN  D  CK  MD CNI MNK có: CIN MNK 90 , INC KNM (đối đỉnh) CN NI   CN NK MN NI MN NK Ta có: MN NI  MI  NI  NI  CD  ID  ID  ID Đặt ID x, x  ta được: 3 9  MN NI   x  x 6 x  x   x     2 2  x  (tmdk x  0) Dấu " " xảy ID  cm Vậy CN NK có giá trị lớn Bài Ta có: xy  x 27  y CNI ∽ MNK ( g g )   xy  x  y 27  x  y     y   33   x  3  y   33   x  1   x  3  x   ( ktm )      y   33 y  31 y   11        x  33  x 30   x  11    (ktm)      y  1   y  3  y  Vậy  x; y   8;1  x 0 (ktm)   y 9  x 8 (tm)   y 1