SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Thời gian làm 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài A x y 2x x y y xy y x y x xy y a) Cho biểu thức với x, y 0, x y Chứng minh giá trị biểu thức A không phu thuộc vào giá trị biến 3 b) Chứng minh x0 nghiệm phương trình sau x 3x 17 2019 0 Bài a) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x 2mx 2m 0 (1) với m tham x1 x2 B x1 x22 x1 x2 1 số Tìm giá trị lớn biểu thức 3 x y 19 x 2 b) Giải hệ phương trình: xy y x Bài a) Cho biểu thức P a1 a2 a3 a2019 , với a1; a2 ; , a2019 số nguyên 5 5 Q a a a a P 30 2019 dương Chứng minh chia hết cho 30 a , b , c b) Cho thỏa mãn abc 8 Chứng minh rằng: 1 1 b3 c3 Bài Cho hai đường tròn O1 O2 tiếp xúc điểm I Vẽ đường tròn a3 (O) tiếp xúc với O1 O2 B C Từ điểm I vẽ đường thẳng d vng góc với O1O2 , d cắt cung lớn cung BC (O) điểm A, Q Cho AB cắt O1 điểm thứ hai E, AC cắt O2 điểm thứ hai D a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh OA vng góc với DE c) Vẽ đường kính MN O vng góc với AI (điểm M nằm AB không chứa điểm C) Chứng minh ba đường thẳng AQ, BM , CN đồng quy Bài Bên đường trịn có đường kính AB 19 cho 38 đoạn thẳng, đoạn thẳng có độ dài Chứng minh tồn đường thẳng vng góc song song với AB giao đoạn 38 đoạn cho ĐÁP ÁN Bài a) A x y 2x x y y x xy y xy y x, y 0, x y x y x x 3x y y x y y x x y y x xy y x x xy y y x y x xy y x y 3 x y y x 3 x y x y x y y x x y y x y x y Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào gía trị biến với x, y 0 x y b) Ta có: x03 94 9 x03 9 3 x0 x03 3x0 18 x03 x0 17 2019 12019 x03 x0 17 2019 0 x3 3x 17 x Vậy nghiệm phương trình Bài 2 a) Xét phương trình x 2mx 2m 0 2 Ta thấy ' m 2m m 1 0m x1 x2 2m x x 2m Áp dụng hệ thức Viet ta có: (1) 2019 0 B Khi m 4m x1 x2 x12 x22 x1 x2 4m 4m 2 2m 1 2m 1 4m 4m 4m B Do m 4m 4m m B 1 m Vậy giá trị lớn biểu thức x y 19 x3 I 2 xy y x b) Xét hệ phương trình Ta thấy x 0 khơng thỏa mãn hệ phương trình nên x 0 y 1 1 y y 19 y 19 x3 x x x I y y y y x x x x u 3uv 19 u 1 u 1 y y u, v, v x uv Đặt x ta có: uv 1 x y 1 6 x x 0 x 1 x 1 0 y y x y x Suy x x y 3 x 1 y 1 ;3 ; ; Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm Bài a) Xét x số nguyên dương, ta thấy: x5 x x x 1 x 1 x 1 6 1 x 5q q x x5 x 5q 1 q x x5 x 5q 2 q x x5 Suy x x5 mà 5,6 1 Từ 1 , , 3 x x30 3 Q P a15 a1 a25 a2 a2019 a2019 Xét hiệu Vì x x30 Q P30 mà theo đề P30 Q30 b) Ta có: 1 2 2 a3 a a a2 a a a a Tương tự ta có: 2 ; 2 b3 b c3 c 1 1 a b c 12 2 2b 2c Bài toán trở về: a 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a , b , c có: a b c 3 a 2b 2c 12 Dấu " " xảy a b c Bài ABI AIE g g AI AB AI AE AB AE AI a) Chứng minh Tương tự AI AD AC Suy AE AB AD AC AED ACB (c.g c) AED ACB BCDE tứ giác nội tiếp b) Vì tứ giác BCDE nội tiếp suy ADE ABC ABC AOC ADE AOC 2 Mà 1800 AOC OAC Vì AOC cân O ADE OAC 900 OA DE c) Gọi P giao điểm BM CN Vì O1O2 / / MN BO1 I BON (hai góc đồng vị) O BI 180 BO1I Do O1BI cân O1 suy OBN 180 BON O BI OBN Tương tự: Suy ba điểm B, I , N thẳng hàng BN BM Chứng minh tương tự ba điểm C , I , M thẳng hàng CN CM Do I trực tâm PMN PI MN Mà AI MN nên ba điểm A, I , P thẳng hàng Vậy ba đường thẳng AQ, BM , CN đồng quy Bài D E y1 F A x1 C B Gọi độ dài hình chiếu EF AB, CD x1 , y1 ta có x1 y1 1 Gọi độ dài hình chiếu 37 đoạn thẳng cịn lại AB x2 , , x38 CD y2 , , y38 Khi ta có x1 x2 x38 y1 y2 y38 38 Do tồn hai tổng lớn 19, giả sử x1 x2 x38 19 Do AB tồn điểm M thuộc hai hình chiếu AB Đường thẳng qua M vng góc với AB đường thẳng cần tìm