077 đề hsg toán 9 cam lộ 2008 2009

PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x +2009 x +2008 x +2009 Câu 2:(1 điểm) Giải phương trình sau: x  2 x  45 x  x  69 + 15 = 37 + 13 Câu 3: (2 điểm) a/ Chứng minh a  b4  ab  a 3b  a 2b 2 b/ Cho hai số dương a,b a=5-b 1 Tìm giá trị nhỏ tổng P= a  b Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a b hai số thực dương thõa mãn điều kiện : Hãy a 2006  b 2006  a 2007  b 2007  a 2008  b 2008 tính tổng: S= a 2009  b 2009 b/ Chứng minh :A= 3 5 6 13  48 số nguyên Câu 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 Câu 6: (3điểm) Cho tam giác ABC vng A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA.Đường vng góc với với BC D cắt AC E a)Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân c)Gọi M trung điểm BE vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh rằng: GB HD  BC AH  HC PHỊNG GD-ĐT CAM LỘ KÌ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TOÁN Câu 1: (1 điểm) x +2009 x +2008 x +2009 ( x + x +1) +2008( x + x +1) ( x + x +1)( x - x +1)+ 2008( x + x +1) ( x + x +1)( x - x +2009) = = = Câu 2: ( điểm) 0,25 đ 0.5 đ 0,25 đ x  2 x  45 x  x  69 + 15 = 37 + 13  ( x2 x  45 3x  x  69 +1)+( -1)=( +1)+( -1) 13 15 37 x  15 2( x  15)  13 15    = 3( x  15) 37 + 0,25đ 4( x  15) 0,25đ 0,25 đ ( x  15)(    ) 0 13 15 37 x=-15 0,25 đ Câu 3: (2 điểm) a/ (1 điểm) a  b4  ab  a 3b  a 2b 2 0,25 đ  a  b  2ab  2a 3b  2a 2b 0,25 đ  a  b  2ab  2a 3b  2a 2b 0 0,25 đ  (a  2a 3b  a 2b )  (b  2ab3  a 2b ) 0,25 đ  (a  ab)  (b  ab) 0 b/ (1 điểm) 1 P= a  b = 20 P= 4ab  a b = ab ab 20 ( a  b) =5 0,25 đ 0,5 đ Vậy giá trị nhỏ P Câu (2 điểm) a/ (1 điểm) 5 a=b= 0,25 đ Ta có: a 2008  b 2008 ( a 2007  b 2007 )(a  b)  ab(a 2006  b 2006 )  1= a  b  ab 0,25 đ  (1  a )(1  b) 0  0,25 đ 0,25 đ a 1, b 1 Vậy S=1+1=2 0,25 đ b/ (1 điểm) A= 3 A= 3 =2 3 = 5 13  6 48 (2  1) 5 6 (  1) 6 2 2 6 = (  )2 6 =1  Z 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu (1 điểm) xy-2x-3y+1=0  xy-3y=2x-1  y(x-3)=2x-1 0,25 đ Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x 3 y=2+ x  0,25 đ Để y nguyên x-3 phải ước 0,25 đ Suy ra: (x,y) (4,7) ;(8,3) 0,25 đ Câu (3 điểm) a) (1đ điểm) Tam giác ADC tam giác BEC: CD CA  ( hai tam giác CE CB CDE CAB đồng dạng) Góc C: chung Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) 0,75 đ 0,25 đ b)(1 điểm) Theo câu ta suy ra: BEC ADC có: ADC EDC  ADE 1350 Suy ra: BEC 1350 0,5 đ Suy ra: AEB  450 0,25 đ Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác vng có góc 45 ) 0,25 đ c)(1 điểm) Tam giác ABE cân E nên AM cịn phân giác góc BAC Suy ra: GB AB AB ED AH HD    ABC DEC    ED // AH   , mà GC AC AC DC HC HC Do đó: GB HD GB HD GB HD      GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC 0,5 đ 0,5 đ