003 đề hsg toán 9 bình định 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHOÁ NGÀY 18 – – 2017 Đề thức Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017 Bài (6,0 điểm) Cho biểu thức: P = 2m  16m   m2 m  m   m   m 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Bài (5,0 điểm) 1 a) Chứng minh rằng: với số thực x, y dương, ta ln có: x  y  x  y b) Cho phương trình: x  3mx   (m tham số) Có hai nghiệm x1 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M =  x1  x2    x12  x22     x2   x1 Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1         x  yz y  xz z  xy  xy yz zx  Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường trịn a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng thức: MH + MI + MK =  S + 2S'  3R Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M   đoạn FD, lấy N tia DE cho MAN = BAC Chứng minh MA tia phân  giác góc NMF Lbinhpn thcsphuochoa ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) 1a) Rút gọn P = m 1 (với m  0, m  1) m 1b) P= m 1 = 1+ m Ta có: P  N  m N  m  m  ước dương  m   4; 9 (TMĐK) Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm 2) a + b + c  (a, b, c  Z) Đặt a + b + c = 4k (k  Z)  a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc =  16k  4ak  ack  ac   4k  b   abc = 64 k  16bk  16ak  4abc  16ck  4bck  4ack  abc  abc 2 =  16k  4bk  4ak  abk  4ck  bck  ack   2abc (*) Giả sử a, b, c chia dư  a+ b + c chia dư (1) Mà: a + b + c   a + b + c  (theo giả thiết) (2)  Do (1) (2) mâu thuẫn Điều giả sử sai  Trong ba số a, b, c có số chia hết cho  2abc  (**) Từ (*) (**)  P  Bài (5,0 điểm) 1 ab 2 a) x  y  x  y  ab  a  b   a  b   4ab   a  b   (đúng) b) PT có a, c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Ta có: x1  x2  3m x1.x2  2 M =  x1  x2   x1   =     x12  x22     = = x2   x1 2    x1 x2    x1 x2     x2        x1  x2   x1 x2     2  x1 x2     x1x2     2   m   8   Dấu “=” xảy m = Vậy GTNN M  m = Bài (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho số dương x yz, ta có: 1 1  x + yz  x yz  x yz  x  yz  x yz x yz Lbinhpn thcsphuochoa 1 1 1 Tương tự, ta có: y  xz  z  xy  z xy y xz 1 1 1         x  yz y  xz z  xy  x yz y xz z xy  1 yz  xz  xy Ta có: x yz  y xz  z xy = (2) xyz Suy ra: (1) Ta có: yz  xz  xy  x + y + z (3) Thật vậy: (*)  yz  xz  xy  x  y  z   x  y   z  x   y  x   (BĐT đúng) Dấu “=” xảy x = y = z 1 xyz 1 Từ (2) (3) suy ra: x yz  y xz  z xy  xyz  yz  xz  xy (4) Từ (1) (4) suy ra: 1 1 1         x  yz y  xz z  xy  xy yz zx  Bài (7,0 điểm) 1.a) Cách 1: Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Ta có:  BEM tam giác  BE = BM = EM A  BMA =  BEC  MA = EC Do đó: MB + MC = MA O Cách 2: Trên AM lấy điểm E cho ME = MB E Ta có:  BEM tam giác B  BE = BM = EM  MBC =  EBA (c.g.c)  MC= AE M Do đó: MB + MC = MA 1.b) Kẻ AN vng góc với BC N Vì  ABC tam giác nên O trọng tâm tam giác  A, O, N thẳng hàng  AN = A O B C C M E A R AN 3  R: R sin ABN 2S 2S I N B Ta có: MH AB  S ABM  MH  ABM = ABM AB R H S 2S ACM ACM MK AC  S ACM  MK  = M AC R 2S BCM 2S ' 2S MI BC  S BCM  MI  BCM = = R BC R 2S ' 2S ' S ABMC  S ABM  S ACM  = Do đó: MH + MK + MI = + + R R R R 2S '  S  2S '  S  S '  = + R 3R R Ta có: AN = AB.sin ABN  AB  Lbinhpn thcsphuochoa O K C Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE K   Tứ giác AEDB nội tiếp  CDE  BAC   Mà: MKD  CDE (vì MK // BC)    Tứ giác AMKN nội tiếp Do đó: MKD  MAN  AMN  AKN  D  (= BAC  D   Ta có: D ) D  DMK có DA phân giác vừa đường cao nên cân D  DM = DK  AMD =  AKD (c.g.c)  AMD  AKD F  Nên: AMF  AKN Ta có: AMF  AMN  AKN A N  E H Vậy: MA phân giác góc NMF K M B Lbinhpn thcsphuochoa D C