098 đề HSG toán 9 bến tre 2016 2017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SIN GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 Mơn: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể phát đề) Câu (7 điểm) a) Chứng minh A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với n số nguyên b) Cho biểu thức B = (x ) − + 12x2 x + ( x + 2) − 8x Rút gọn biểu thức B tìm giá trị nguyên x để B có giá trị ngun c) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 2y2x + x + y + 1= x2 + 2y2 + xy Câu (3 điểm) Cho hàm số y = x2 − 6x + − x − có đồ thị (D) a) Vẽ đồ thị (D) hàm số b) Với giá trị m phương trình x2 − 6x + − x − = m vơ nghiệm c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm bất phương trình: x2 − 6x + ≥ x Câu (2 điểm)  y2 x + xy + = 2017 (1)    y2 Cho x, y, z số thực thỏa: z + = 1009 (2) (x ≠ 0,z ≠ 0,x ≠ −z)  x + xz + z2 = 1008 (3)   2z y + z Chứng minh = x x+ z Câu (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB điểm E nằm điểm A điểm B cho AE < BE Vẽ đường trịn ( O1 ) đường kính AE đường trịn ( O2 ) đường kính BE Vẽ tiếp tuyến chung ngồi MN hai đường trịn với M tiếp điểm thuộc ( O1 ) N tiếp điểm thuộc ( O2 ) a) Gọi F giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh đường thẳng EF vng góc với đường thẳng AB b) Với AB = 18 cm AE = cm, Vẽ đường trịn (O) đường kính AB Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) C D cho điểm C thuộc cung nhỏ AD Tính độ dài đoạn thẳng CD Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc A nhỏ 900 Từ B kẻ BM vng góc AM  AB  + 1= 2 với AC M (điểm M thuộc AC) Chứng minh ÷ MC  BC  ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN BẾN TRE 2016-2017 Câu a) A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 = n4.( n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1) = [ n(n + 1)] Vì n(n+1) tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n + 1)M2 ⇒  n( n + 1)  M24 = 16 Do A M16 với n thuộc Z b) B = (x ) − + 12x2 x2 + ( x + 2) (x 2 − 8x = ) +3 x2 + ( x − 2) = x2 + + x−2 x −x2 − −2x2 + 2x − 3 − x+ 2= = −2x + 2− x x x x = −1  x B có giá trị ngun ∈ ¢ ⇔ x ∈ U(3) x < ⇔   x = −3 +) Nếu x < 0: B = x2 + 2x + 3 − x+ 2= = 2+ +) Nếu 2 ⇔ x = x Kết luận  −2x2 + 2x − x <  x   2x + B=  < x ≤  x  2x2 − 2x + x >  x  B có giá trị nguyên x ∈ { ±1;±3} 2 2 c) 2y x + x + y + = x + 2y + xy ⇔ ( x − 1) ( x − 2y + y) =  x − =  x =  x =     x − 2y + y =  2y − y − 1=   y = ⇔ ⇔ ⇔  x = x − 1= −1 x=0       x − 2y2 + y = −1  2y2 − y − 1=   y = Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (2;1) (0;1) Câu x − 8nÕux ≥  −3x + 4nÕux < a) y = x − 6x + − x − = x − − x − =  Học sinh tự vẽ đồ thị b) Phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị sau: (D) y = x2 − 6x + − x − (1) (D’): y=m đường thẳng song song với trục Ox cắt trục Oy điểm có tung độ m Căn vào đồ thị , ta có phương trình (*) vơ nghiệm (D) (D’) khơng giao ⇔ m < −5 Vậy m < −5thì pt (*) vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị vẽ câu a, ta có : nghiệm (1) tập hợp hoành độ x ≥ điểm (D) có tung độ y ≥ −2 , nên  x ≤ Vậy tập nghiệm (1) x ≥ x ≤ Câu  y2 x + xy + = 2017 (1)   y = 1009 (2) (x ≠ 0,z ≠ 0,x ≠ − z) z +  x2 + xz + z2 = 1008 (3)   Trừ (1) (2) vế theo vế, ta có: x2 + xy − z2 = 1008(4) Trừ (3) (4) vế theo vế ta có: xz − xy + 2z2 = ⇔ xz + 2z2 = xy ⇔ 2xz + 2z2 = xy + xz ⇔ 2z(x + z) = x(y + z) ⇔ 2z y + z = x x+ z Điều phải chứng minh Câu a) MN tiếp tuyến chung ( O1 ) ( O2 ) nên MN ⊥ O1M;MN ⊥ O2N ⇒ O1M / /O2N · E + NO · E = 1800 ⇒ MO · E = 2O · AM ∆O1AM cân O1 suy MO 1 · E = 2O · BN ∆O2BN cân O2 nên NO ( ) · E + NO · E=2 O · AM + O · BN ⇒ O · AM + O · BN = 900 ⇒ MFN · ⇒ MO = 900 2 · · Mặt khác AME = BNE = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · · · ⇒ EMF = ENF = 900 suy MENF hình chữ nhật ⇒ MEF = NME · EM = O · ME ( ∆O1ME cân O1) NME · · ME = 900 (MN tiếp tuyến) +O Mà O 1 · · EM = 900 hay EF ⊥ AB E ⇒ MEF +O b) Ta có AB = 18 cm, AE = cm ⇒ EB = 12cm,OF = 9cm ∆AFB vuông F có đường cao EF nên EF = AE.EB = 6.12 = 72 ⇒ EF = 2(cm) ⇒ MN = EF = 2(cm) Gọi K, I giao điểm EF, OF với MN · · Tứ giác MENF hình chữ nhật nên có NMF mà NEF=ABF (cùng phụ góc = NEF · · BEM) ⇒ NMF = ABF (1) ⇒ ∆FNM : ∆FAB Ta lại có ∆OAF cân O suy OAF = OFA (2) · · Và OAF + ABF = 900 (3) · · · Từ (1) (2) (3) ⇒ NMF + OFA = 900 ⇒ MIF = 900 ∆FNM đồng dạng tam giác FAB có FI, FE hai đường cao tương ứng nên FI MN FI = ⇒ = ⇒ FI = 4cm⇒ OI = OF − FI = 9− = 5cm EF AB 18 ∆OID vng I có ID2 = OD2 − OI = 92 − 52 = 56 ⇒ ID = 14(cm) Vì OF ⊥ CD I nên CD = 2.ID = 14(cm) Câu ∆ABC cân A nên AB = AC AM AM + MC AC2 AC AC2  AB  + 1= 2. ⇔ = ⇔ = ⇔ BC2 = 2.AC.MC Ta có ÷ 2 MC BC MC BC MC BC   Ta cần chứng minh: BC2 = 2AC.MC Thật vậy, BC2 = BM + MC2 = AB2 − AM + ( AC − AM ) = AC2 − AM + AC2 − 2AC.AM + AM = 2AC2 − 2.AC.AM = 2AC.(AC − AM) = 2.AC.MC