Chuong 02c

Bài 34 Cho x,y l| hai số thực dương có tổng Chứng minh x2 y2   y 1 x 1 Bài 35 Cho x,y l| hai số thực dương Chứng minh 32  x  y  1    x y2 x  y2 x  y Bài 36 Cho x,y l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện  x  y  3  x  y   5xy  y  3x  y  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x y2   x  3y y x Bài 37 Cho a,b,x,y,z l| c{c số thực dương chứng minh x y z    ay  bz az  bx ax  by a  b Bài 38 Cho x,y,z l| c{c số thực dương chứng minh x2 y2 z2    (3x  y )(4 x  y ) (3 y  z )(4 y  3z ) (3z  x )(4 z  3x ) 49 Bài 39 Cho a,b,c c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức a  2b b  2c c  2a   2 4ab  3a 4bc  3b 4ca  3c Bài 40 Chứng minh với a,b,c dương ta có a b c   1 b  2c c  2a a  2b P A HƢỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Sử dụng bất đẳng thức C-S dạng ph}n thức ta có: P   x y2 1  y x 1  x2 x y2 1 2 x xy  x  y yx  y xy  x  y   x  y     xy Đẳng thức xảy v| x  y  Vậy gi{ trị nhỏ P  y2 y x 1 x  y  x y 1  y x 1  x  y  xy  x  yx  y  2  x  y       đạt x  y  Bài Sử dụng bất đẳng thức C-S ta được: 1  x 1  y    xy, 1  x 1  y    xy Suy P  xy xy xy xy  y    3x  y  2y  x  3x Nhận xét Vế phải bất đẳng thức bậc v| điều kiện bậc nên sử dụng kỹ thuật đồng y y y 3x  y 32 5 x  x x bậc: P  2x  3y  3y x Đặt t  y ,t  0 x  5 t 12 2t  1 5  2t   2t   P          3t   3t 6  3t  Đẳng thức xảy v| t   x  y  x  y  Vậy gi{ trị nhỏ P đạt x  y  Bình luận Dự đo{n điểm rơi x  y  ta đ{nh gi{ nhanh bất đẳng thức AM-GM sau:   1 y   y y   y y  x  y xy   P  3x  y  x  x  y  y  x  y      x   x x   x x  6 Bài Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có 1 1 1   ;   ;   y 1 z 1 y  z  z  x  z  x  x  y  x  y  Đẳng thức xảy v| x  y  z  x2  y2 z2  Suy P      y  z  z  x  x  y   Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có x  y  z  x2 y2 z2    y  z  z  x  x  y  2  x  y  z  Suy P  2x  y  z  x  y  z    x  y  z  x  y  z 3   x  y  z  3  18  12 x  y  z 3  2  x  y  z  3 18  12  24 x  y  z 3  x  y  z 1     x  y  z  Đẳng thức xảy v|  18   x  y  z  3   x  y  z 3    Vậy gi{ trị nhỏ P 24 đạt x  y  z  Bài tập tƣơng tự 1) Cho x , y, z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức    1      y   P  x     z    z 1 x 1  y 1 z 1  x 1 y 1 Bài Sử dụng bất đẳng thức C-S dạng ph}n thức ta có VT  x2 y2 z2   3x   y  z  x y   z  x  y 3z   x  y  z 2 x  y  z  x  y  z    2 2  x  y  z   14  xy  yz  zx   x  y  z    xy  yz  zx  x  y  z   17 3 x  y  z    x  y  z  Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta x  y  z   x yz  x Suy x2 y  z y y  2z z  2x x y y  2z z  2x x x Tương tự ta có y2 z  x  z z  2x x z x  y  x x 2y y  2y y z z  2x x 2z z x x 2y y Cộng theo vế bất đẳng thức ta P 2x x y y  2z z  2y y z z  2x x  2z z x x 2y y Đặt a  x x , b  y y , c  z z  abc  Ta có 2a 2b 2c   b  c c  a b  2b  a2 b2 c2        a b  2c  b c  2a  c a  2b  P  a  b  c  a b  2c   b c  2a   c a  2b   a  b  c  ab  bc  ca   ab  bc  ca  ab  bc  ca  2 Vậy gi{ trị nhỏ P đạt x  y  z  Bài Sử dụng bất đẳng thức AM –GM cho số dương ta bc b  c    2bc b  c   a b  c  bc b  c   2bc  b  c 2 2 2a b  c  b  c    2a b c b  c  2 Tương tự ta có b c  a  ca c  a 2   2b c a c a  b  2c  2 ab a  b  a  b Cộng theo vế bất đẳng thức v| gọi P l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức ta  a b c  P  2     2   b  c c  a a  b  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta  y  z  yz      x2 y  z yz  x2 y  z   y  z     4x yz Tương tự ta có y2 z  x  zx z x  y  y2 zx  4z xy xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta  x2 x  y  z  y2 z    P      2x  y  z   2x  y  z   y  z z  x x  y  Đẳng thức xảy v| x  y  z  Vậy gi{ trị nhỏ P Cách 2: Viết lại P dạng  x y2 z   x y2 z  P            y z x   z x y  Chú ý sử dụng AM –GM ta có x y2 z   xyz y z x x y2 z   xyz z x y Cộng theo vế bất đẳng thức có kết tương tự Bài Gọi P l| biểu thức vế tr{i, với giả thiết xyz  suy P x4 y4 z4   x z  xz y x  xy z y  yz Sử dụng bất đẳng thức C – S dạng ph}n thức ta có P x  y2  z  x z  y x  z y  xy  yz  zx Ta cần chứng minh x  y2  z  x z  y x  z y  xy  yz  zx  2x  y  z 4   x 2 2 y y z z x   3 x 3  z  y x  z y  xy  yz  zx  3 Bất đẳng thức l| tổng c{c bất đẳng thức x y  y z  z x  xy  yz  zx (1) x  y  z  x z  y x  z y (2) x  y  z  x y  y z  y z   x z  y x  z y  (3) 4 2 2 2 3 Chứng minh (1) Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có x y  y z  z x   xy  yz  zx   2   xy  yz  zx    xy  yz  zx  3  xy  yz  zx    x y z 1  xy  yz  zx Chứng minh (2) Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta x  x  x  z  4x 3z y4  y4  y4  x  y3 x z  z  z  y4  4z y Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Chứng minh (3) Bất đẳng thức tương đương với 2 x x  z   y  y  x   z z  y   B|i to{n chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài 10 Gọi P l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức Viết lại P v| sử dụng bất đẳng thức C – S ta có   x2 y2 z2   x z y     2 z2  x2 x  y  y2  z x  y  y  z z  x P    yz zx xy x  y  z  4   x2 y2 z2       y  z z2  x2 x  y   Vậy ta cần chứng minh x2 y z  y2 z x  z2 x y  Gọi Q l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức viết lại Q v| sử dụng bất đẳng thức C-S ta có Q x4 x y2  z  y4 y2 z  x  z4 z x  y2  x  y2  z  x y2  z  y2 z  x  z x  y2 Chú ý x y2  z  y2 z  x  z x  y2   x x y2  z    x  y  z  x  y  z   y  z  x   z  x  y    x  y  z  x y  y z  z x   2  x  y  z  x  y  z  Suy x  y2  z  Q 2 x  y2  z   x yz x  y2  z     2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài 11 Viết lại bất đẳng thức dạng a b b c c a    3c  a  b 3a  b  c 3b  c  a Gọi P l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức ta có 2 a  b  b  c  c  a  P   a  b 3c  a  b  b  c 3a  b  c  c  a 3b  c  a   a  b  b  c  c  a  a  b 3c  a  b   b  c 3a  b  c   c  a 3b  c  a   a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c   2 a  b  c   a  b  c  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c Bài 12 Ta có:  a   b   c  P    1    1    1  14  b  c    c  a  a  b  a b c a b c a b c   14 b c c a a b    a  b  c     14  a  b b  c c  a   1   a  b   b  c   c  a      14  a  b b  c c  a    3   2 14  Đẳng thức xảy v| 21 a b b c c a   Bài 13 Phân tích tìm lời giải: Tương tự b|i to{n ta cần thêm v|o ph}n thức c{c số thích hợp để có ph}n thức có chung tử thức 10 Ta chọn x,y dương cho: a  3c  x a  b   c  3a  y b  c   M   x  1 a  xb  3c  3a  yb   y  1 c  M  x 1     x      M  3a  2b  3c x  y    y2       y 1  3a  3c  2b  4b 6  a c a c  a  3c   c  3a   4b  P    2    2    6 10  a  b   b  c   a  c  Vậy ta thêm v|o 3a  2b  3c 3a  2b  3c 3a  3c  2b    10 a b b c a c  1  Vậy ta có  3a  2b  3c    10  a  b b  c c  a   1   a  b   b  c   c  a     10  a  b b  c c  a        10 Bài 14 Ta có:  b  c    a  3c   12 b  c  P    2    1    8 11  2a   2a  3c   3b  1   4 a  3b  3c    11  2a 3b 2a  3c  1   2a  3b  2a  3c    11  2a 3b 2a  3c   1   2 11  2a  3c  2a  3b  3c Bài 15 Gọi P l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức đẳng thức xảy v| 2a  3b  Ta có  b  c   2a  c   a  b  P    2    1    4   a   b   a  c  1   2a  b  c    7  a b a  c  1   a  b  a  c      1   2    a b a  c  đẳng thức xảy v| a  b  a c ab c Bài 16 Ta có 11  3a   4b   5c  P    3    4    5 12  b  c    c  a  a  b      a  b  c    12  b  c c  a a  b     b  c   c  a   a  b      12  b  c c  a a  b    2  đẳng thức xảy v| 12 b c  c a a b  Bài 17 Ta có   64 4 a  9b    9b  16c   25 4 a  16c  P    4    9.25    64.16 1253    a b c     25 64   4 a  9b  16c     1253  2  3.5  4.8 1253  1148  a b c  Đẳng thức xảy v| a  4b  16c Bài 18 Gọi P l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức Ta viết lại P v| sử dụng bất đẳng thức C –S ta có  y  z z  x x  y  P  a  b  c     2x  y  z   b  c c  a a  b   y  z z  x x  y   b  c   c  a   a  b      2x  y  z   b  c c  a a  b    yz  zx  x y   2x  y  z  Vậy ta chứng minh  yz  zx  xy   x  y  z     xy  yz  zx  x yz    x  y  z  x  y  z   x  xy  yz  zx   x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z   x  xy  yz  zx   x  y  z    xy  yz  zx  Ta có   x  xy  yz  zx   x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z    xy  yz  zx  Vậy ta chứng minh 2  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z   3 xy  yz  zx  2   x  y  z   xy  yz  zx    xy  yz  zx    x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z    xy  yz  zx  2  x  y   y  z   z  x   Bất đẳng thức Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c ; x  y  z Bài 19 Gọi P l| biểu thức vế tr{i, viết lại P v| sử dụng bất đẳng thức C – S ta có 12 x2 P  x x  kyz y2 y y  kzx  z2 z z  kxy  x  y  z  x x  kyz  y y  kzx  z z  kxy  x  y  z   x  y  z  x  x  kyz   y  y  kzx   z  z  kxy  Vậy ta chứng minh k  1 x  y  z    x  x  kyz   y  y  kzx   z z  kxy   k  8 x  y  z   3k  1 x  y  y  z  z  x   27kxyz Bất đẳng thức cuối luon dựa vào AM – GM Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z Bài 20 Gọi P l| biểu thức vế tr{i, viết lại P v| sử dụng bất đẳng thức C – S ta 1 2 P a  b  c a b  c  b c  a  c a  b   1       a b c  ab  bc  ca    a b  c   b c  a   c a  b  ab  bc  ca   ab  bc  ca 3 a b c   2 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  1 Bài 21 Đặt x  , y  , z  bất đẳng thức trở th|nh a b c x z 3x  y  y  x 3 y  z  z  y 3z  x   Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có x z 3 x  y  y x 3 y  z  z y 3 z  x   5x 5z  3x  y  5y 5x  y  z  5z y  3z  x Cộng theo vế bất đẳng kết hợp sử dụng C – S ta có P x  y  z  3 x  y  z    xy  yz  zx   Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c Bài tập tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực dương chứng minh a a b  b b c  c c a  2abc Bài 22 Gọi P l| biểu thức vế tr{i bất đẳng thức v| sử dụng AM – GM ta có 13 a3 6a 2 6a   2 a  5b 6a a  5b  a  5b  6a b3 6b  2 b  5c b  5c  6b c3 6c  2 c  5a c  5a  6c Cộng theo vế bất đẳng thức ta P 6a 2 6b 2 6c   2 a  5b  6a b  5c  6b c  5a  6c Vậy ta cần chứng minh Q a2 b2 c2    2 a  5b  6a b  5c  6b c  5a  6c Sử dụng bất đẳng thức C –S ta có Q a4 a a  5b  6a   b4 b b  5c  6b   c4 c c  5a  6c   a  b  c  a  b  c  a b  b c  c a   a  b  c  Vậy ta chứng minh a  b  c  a  b  c   a b  b c  c a   a  b  c 4 2  a  b  c 2 2 2 3     a  b  c  5a b  b c  c a   a  b  c   a  b  c   a b  b c  c a  a  b  c  2 4 2 2  a  b  c   a b  b c  c a  a  b  c a  b  c  4  a  b   b  c   c  a   Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài tập tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tổng Chứng minh a3 b3 c3   1 a  8b b  8c c  8a Bài 23 Gọi P l| biểu thức vế tr{i sử dụng bất đẳng thức C –S ta có P a  b  c  a b  bc  c  b c  ca  a  c a  ab  b 2  a  b  c  a  b  c a b  bc  c   b c  ca  a   c a  ab  b  Ta cần chứng minh a  b  c   a  b  c a b  bc  c   b c  ca  a   c a  ab  b   a  b  c  abc a  b  c   ab a  b   bc b  c   ca c  a  14 Chứng minh a3 b3 c3    b c a c a b Lời giải Do a,b,c đối xứng, khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c   a2  b2  c     a b c tức l| hai dãy đơn điệu chiều       b  c a  c a  b Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có : a2 a b c a  b  c  a b c   b2  c         b  c a  c a  b  2 b c a c a b Bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy a=b=c= Chú ý Ta chứng minh C –S a  b  c  a3 b3 c3    b  c a  c a  b a b  c   b c  a   c a  b  1    ab  bc  ca  a  b  c  Bài Chứng minh với số thực dương x,y,z ta có 1 x  yz     x  y y  z z  x xy  yz  x  x  y  z  Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với:   xy  yz  zx  1    x  y  z     x  y  z  x  y y  z z  x   xy  yz  zx    xy  yz  zx  xy yz zx    x  y yz z x x  y  z       1    x  y    y  z    z  x        xy  yz  zx  1 1 1 1      y z z x   x y Khơng tính tổng qu{t giả sử x  y  z  x  y  x  z  y  z; 1   1 1 1    x y x z z y Sử dụng bất đẳng thức cho hai dãy đơn điệu chiều ta có điều phải chứng minh Bất đẳng thức xảy v| x  y  z Bài Cho x,y,z l| c{c số thực có tổng chứng minh x y z    x  y  z  10 Lời giải Trước hết chuyển b|i to{n đ{nh gi{ với c{c số dương 41 x y z x y z      x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 Nên ta cần chứng minh bất đẳng thức trường hợp ba số khơng âm Vì bất đẳng thức đối xứng với ba biến nên không tính tổng qu{t giả sử x  y  z x   y   z  1; x y z   x 1 y 1 z 1 Thật ta cần chứng minh x y   xy  x  x y  y   x  y 1 xy   x 1 y 1 2  x  y  Bất đẳng thức x  y  0;1  xy  1  1     4 Vậy ta có hai dãy đơn điệu chiều  x y z   x 1; y 1; z 1; x 1 ; y 1 ; z 1 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có  x y z   x   y   z  1 x   y   z  1  x y z     x  1   y  1   z  1  x 1 y 1 z  1  3 x  y  z  x y z    x 1 y 1 z 1 x  y  z  Vậy ta chứng minh 3 x  y  z  2 x  y  z 3   x  y2  z  10 1 Bất đẳng thức x  y  z   x  y  z   3 1 Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện a  b  c    a b c B|i to{n chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Chứng minh a  b  c   a   b   c  Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với 2 a    3a 1     a   2b  b   c  c   2a  a  3 b 1  2b  b  3 c 1  2c  c  0 1 a 1 b 1 c 1   0 Chú ý điều kiện a  b  c     a b c a b c Nên ta biến đổi bất đẳng thức dạng a 1 b 1 c 1 a b c   0 3  1 2  1 2  1 a b c Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c 42   1 1  3  1 2  1 a2 b c a 1 b 1 c 1   a b c Khi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có a 1 a  1 a  b 1 b  1 b c 1 c   1 c2   2  a 1 b 1 c 1 1           3 a b c  3    2   2    a b c        Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài tập tƣơng tự Cho n số thực dương thoả mãn điều kiện a1  a2   an  1    a1 a2 an Chứng minh a1  a2   an   a12   a22    an2  Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương chứng minh x  y  z  xy yz z x    z x y xy  yz  zx Lời giải Ta có xy yz z x xy x z yz      z x y z x  y y x  z  x y  z Khơng tính tổng qu{t giả sử x  y  z  x  y  x  z  z  y xy z x  y  x z y x  z   yz x y  z z x  y  y z  x   x  y  z  Khi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu ngược chiều ta có    x  y x z y  z      y x  z  x  y  z    z  x  y   z x  y   y z  x   x  y  z    3 x  y  x  z  y  z    x  y  z  Kết hợp sử dụng bất đẳng thức C –S ta có xy z x  y  x z y x  z   yz x y  z   6x  y  z  z x  y   y z  x   x  y  z  6x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z Bài tập tƣơng tự Chứng minh với x,y,z dương ta có 43 2 8x  y  z   x  y yz z  x        z x y   x  y  y  z  z  x  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m chứng minh 3a  b  c   a  8bc  b  8ca  c  8ab Lời giải + Nếu tồn số bất đẳng thức có dạng  x  y   2 xy + Ta xét ba số dương viết lại bất đẳng thức dạng 3a      a  bc  b  ca    3a  a  8bc   a  8bc  3b  b  8ca  3c  c  8ab   3b  b  8ca a  bc b  c   3a  a  8bc b  c    c  ab   3c  c  8ab b  ca c  a   3b  b  8ca c  a  0   c  ab a  b   3c  c  8ab a  b  0 Chú ý a  bc b  c   b  ca c  a   c  ab a  b   Do sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta cần chứng minh hai dãy sau đơn điệu ngược chiều a  bc b  c ,b  cac  a ,c  ab a  b  3a       a  8bc b  c , 3b  b  8ca c  a , 3c  c  8ab a  b  Không tính tổng quát giả sử a  b  c ta có a  bc b  c b  ca c  a   a  b c  ab  bc  ca   b  cac  a c  ab a  b   b  c a  ab  bc  ca       Và 3a  a  8bc b  c   3b  b  8ca c  a   3c a  b   b  c  a  8bc  c  a  b  8ca  b  c  a  8bc   c  a  b  8ca   3c a  b   b  c  a  8bc  c  a  b  8ca 0  a  b  c   6ab  15c a  b    3c a  b  1   0  b  c  a  8bc  c  a  b  8ca    Bất đẳng thức cuối a  8bc  a  b  c ; b  8ca  a  b  c  b  c  a  8bc  c  a  b  8ca  a  b  c a  b  2c   a  b  c   6ab  15c a  b  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện a  b  c  3abc Chứng minh 1   1  2bc  2ca  2ab 44 Bài Cho c{c số thực a, b, c  thoả mãn điều kiện Chứng minh 1   1 a 1 b 1 c 1 1   1 a 1 b 1 c 1 Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương có tổng chứng minh x y z 27    2 xyz  x  xyz  y  xyz  z  31 Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh 1    2  a b  c   b c  a   c a  b   2abc Bài Cho x,y,z l| c{c số thực dương chứng minh 1 16 x 16 y 16 z  1  1 9 yz z x xy D HƢỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN Bài Bất đẳng thức cho tương đương với a b c   1 a  2abc b  2abc c  2abc Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b  c ta có a  2abc  b  2abc  c  2abc 1 a b c       2bc  2ca  2ab a  2abc b  2abc c  2abc Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu chiều   a b c ; ; a  2abc ; b  2abc ; c  2abc ;   a  2abc b  2abc c  2abc  ta có  a b c  3a  b  c   a  b  c  6abc     a  2abc b  2abc c  2abc  a  b  c  a b c     1 a  2abc b  2abc c  2abc a  b  c  6abc Bởi a  b  c  3abc Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài tập tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện 1   1  2bc  2ca  2ab Chứng minh a  b  c  3abc Bài Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1 1 a 2 b 2 c 2      0    0 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Chú ý điều kiện viết lại th|nh 45 1 1 1      0 a 1 b 1 c 1  a2  b2  c    0 a 1 b 1 c 1 a 2 a  b 2 b  c 2 c     0 a  a 1 b  b 1 c  c 1  a 2 b 2 c 2       a 1 b 1 c 1  Khơng tính tổng qu{t a  b  c    a 2 b 2 c 2       a 1 b 1 c 1  Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu ngược chiều ta có đpcm Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Tổng qu{t cho n số thực a1 , a2 , , an  thoả mãn điều kiện 1     a 1 a2 1 an 1 Chứng minh 1     n  1 a1  a1  an  Bài Khơng tính tổng qu{t giả sử   xyz  x   xyz  y   xyz  z     x  y  z  x y z     2    xyz  x  xyz  y  xyz  z  Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu chiều ta 3 x  y  z  x y z    2 xyz  x  xyz  y  xyz  z  xyz   x  y  z  xyz   x  y  z Do ta cần chứng minh 27   3xyz  x  y  z  2 31 3xyz   x  y  z Chú ý theo bất đẳng thức Schur bậc ba ta có xyz   xy  yz  zx    x  y  z  xyz  xyz   xy  yz  zx   3 2  xyz  x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z 3  x  y  z    xy  yz  zx  1  1    3 Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài Bất đẳng thức cho tương đương với 46 1 1 1      0 2  2abc  a b  c   2abc  b c  a   2abc  c a  b     a ab  ac  2bc   a b  c  a 1  bc   a 3  bc    b bc  ab  2ca   b c  a  b 1  ca   b 3  ca    c ca  bc  2ab   c a  b  c 1  ab   c 3  ab  0 0  bc  ca  ab   0 bc  abc 3  bc  ca  abc 3  ca  ab  abc 3  ab    bc  ca  ab       Giả sử a  b  c   bc  abc 3  bc  ca  abc 3  ca  ab  abc 3  ab      bc  abc 3  bc   ca  abc 3  ca   ab  abc 3  ab  Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu ngược chiều ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài Bất đẳng thức cho tương đương với:         16 x  3    16 y  3    16 z  3        yz zx xy        2x   2z   2y   1  1  1  y  z    z  x   x  y     0 16 x 16 y 16 z 1 3 1 3 1 3 yz zx xy Không tính tổng qu{t giả sử  2x 2y 2z   1  1  1   y  z z  x x y   1 x  y  z        16 x 16 y 16 z  1 3 1 3 1 3   y  z z  x x y   Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu chiều v| đưa chứng minh 2x 2y 2z x y z 1  1  1      yz z x xy yz z x x  y Bất đẳng thức cuối B|i to{n chứng minh Đẳng thức xảy v| xyz Bài tập tƣơng tự Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện xy  yz  zx  Chứng minh 1 48 x 48 y 48 z  1  1  15 yz z x xy CHỦ ĐỀ 9: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG A NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP  Với số thực a 1,   ta có 1  a    .a (1) Chứng minh + Với   bất đẳng thức trở th|nh đẳng thức 47  + Với   Xét h|m số f (a)  1  a  1 .a với a  1 ta có 1 f '(a)   a 1 1 ; f '(a)   a    Ta có f’(a) đổi dấu từ }m sang dương qua a  nên f(a) đạt cực tiểu a   Vì f (a)  f (0)  1  a    .a Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a    Chú ý Với    bất đẳng thức đổi chiều Một dạng ph{t biểu kh{c bất đẳng thức Bernoulli hay sử dụng a a x a  x b  1 với x  0, a  b  b b Chứng minh a x a  1   x b 1b   a b a a x 1  x b  1  b b b Áp dụng ta chứng minh bất đẳng thức AM – GM dạng luỹ thừa m a1m  a2m   anm  a1  a2   an      n n Chứng minh Viết lại bất đẳng thức dạng m m m       nan na1 na2        a  a   a    a  a   a     a  a   a   n n n n Chú ý m m  nak    a  a   a  n n n    n 1 a   n 1 ak     k   1i  k 1i  k    m  1  , k  1, n Lấy tổng  a1  a2   an  a1  a2   an     tất n bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy v| a1  a2   an Xét hai bất đẳng thức AM – GM a1  a2   an n  a1a2 an n Chứng minh Đặt An  a1  a2   an ;Gn  n a1a2 an n Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có  An   A n n     A  nA n 1 An1 A a   1  n 1  n  n  n 1  n  n    An1 An1 An1    An1  n 1   Ann  an Ann11 Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức ta Ann  an Ann11  an an1 Ann22   an an1 a2 A1  a1a2 an  Gnn  An  Gn Vậy bất đẳng thức chứng minh Ta có dạng suy rộng Bernoulli hay sử dụng sau Với n số thực dấu v| lớn -1 ta có 48 1  a1 1  a2  1  an    a1  a2   an (1) Chú ý (1) dễ chứng minh quy nạp to{n học B BÀI TẬP MẪU Bài Cho a,b l| c{c số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện  a, b  Chứng minh a b  b a  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có b  1 a  1 a a  b  ab a  1    ab     b b   a  a a a  b  ab a a   b   b a  b  ab b  1    ba     a b  b b a  b  ab b a  Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta a b  b a  a b a b   a  b  ab a  b Bất đẳng thức chứng minh Chú ý Bất đẳng thức với a,b dương Bài Cho a,b l| c{c số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện a  b  ab Chứng minh ab  b a  Lời giải Từ giả thiết ta có: 1 a    a  1, b  b  a b a 1 a a  a  Ta cần chứng minh a a1   6  a 1 a a   a  a a1  1  a 1a1   a 1  1 a   a 1  Ta có:  a a   a    a               a 1 a 1    a 1 a a  a  a 1  2a    a 1    a 1 6 Suy ra: a a1    a 1 a 1 a 1 a 1 Dấu đẳng thức không xảy nên ab  b a  Bài Cho hai số thực a,b thoả mãn điều kiện  a, b  Chứng minh a ba  b ab  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có b a   a 1b  a  a b   b 1a  b  a ba  1  a 1 b ab  1  b 1 Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta a ba  b ab   b 1a  b   a 1b  a   a  b   Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b Bài tập tƣơng tự Cho a,b,c l| c{c số thực dương có tổng chứng minh a1a b1b c 1c  49 Bài Chứng minh với số thực a, b, c thuộc đoạn 0;1 ta ln có a 2b  b c  c a  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: y   x   x x  y  xy x  1    xy     y x  x x x  y  xy x y  Áp dụng bất đẳng thức suy ra: 2  a b c        a b  b c  c a    a  b  ab   b  c  bc   c  a  ac  2  a   b   c             a  b   b  c   c  a  B|i to{n chứng minh n  1 Bài Chứng minh với số nguyên dương n ta có 1      n  n 2 Lời giải Ta chứng minh b|i to{n quy nạp kết hợp sử dụng bất đẳng thức Bernoulli + Với n  bất đẳng thức trở th|nh đẳng thức k  1 + Giả sử bất đẳng thức với n  k tức 1      k k 2 k 1   + Ta cần chứng minh 1    k  1  3 k    Chú ý k 1   1    k  1 k   1    k  k k   k  k  k 2     k   k   k  k  1 k 1   1    k  k  k  2 k 2   k k 1  k  1k  3 k  2k Suy k 1   1    k  1 2 k   k  2 1  k  2  1    3   3   k  k  1k  3  k   k  1k  3 k  1  Điều chứng tỏ bất đẳng thức với n  k 1 Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy v| n  1, n  Bài tập tƣơng tự n 1   Chứng minh với số nguyên dương n ta có 1    n  1 n  1  1    n  Ta xét c{c b|i to{n đề cập Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  chứng minh với số nguyên dương n  ta có 50 n a b c n n 2 b c c a a b Lời giải + Nếu tồn số giả sử l| sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có điều phải chứng minh + Xét số dương sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có n  a 1 n      1 n 1b  c  n 1b  c   n 1 b  c n  n  n  b  c  a          1     a a    (1) a  1 n 1b  c   a 1 n Tương tự ta có b n n 1c  a  n n 1a  b  c  na n   a  b  c  a   nb n 1a  b  c  nc n 1a  b  c  Gọi P l| biểu thức vế tr{i v| cộng theo vế ba bất đẳng thức ta P n n n 1  n 1 B|i to{n chứng minh Chú ý (1) ta dùng phép nghịch đảo trước sử dụng Bernoulli với số mũ nhỏ đ{nh gi{ có chiều bất đẳng thức ngược lại Vì cần nghịch đảo để có chiều bất đẳng thức cần chứng minh Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương chứng minh a b c 3 3 1 2b  25c 2c  25a 2a  25b Lời giải Áp dụng BĐT Bernoulli ta có 27a 1 81a     2b  25c  2b  25c  54a 2b  25c    1  1  2b  25c    27a  27a  Tương tự ta có 27b 81b 27c 81c  ;3  2c  25a 2c  25a  54b 2a  25b 2a  25b  54 c Cộng theo vế ba bất đẳng thức v| kết hợp sử dụng bất đẳng thức C – S ta a b c (a  b  c ) 3 3  27 1 2b  25c 2c  25a 2a  25b 81(ab  bc  ac ) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c Bài Cho a,b,c l| c{c số thực dương chứng minh 51 7  2a   2b   2c       3  a  b   b  c   c  a  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli dạng x a   a b  x 1 ta có b 7   2a   2a 3  2a              a  b   a  b   b  c   7   2b   2b 3  2b           1        b  c  b  c   b  c   7  2c   2c 3  2c               c  a   c  a    c  a  Cộng theo vế ba bất đẳng thức v| gọi P l| biểu thức vế tr{i ta 2  2a   2b   2c   P       3            a  b   b  c   c  a  Chú ý 2  a   b   c   1 b c a    , x  , y  , z           2    a  b   b  c   c  a   a b c 1  x  1  y  1  z   1 z      xy 1  z 2 z   z  12 Vì P  Đẳng thức xảy v| a  b  c Chú ý C}u hỏi đặt l| không sử dụng trực tiếp Bernoulli dạng suy rộng ban đầu ta có 7  2a   3  2a  2a  1    1   1   a  b   a b   a  b  Khi đưa chứng minh a b c    a b b c c a Tuy nhiên bất đẳng thức n|y với a,b,c dương chẳng hạn a  1, b  2, c  Bài tập tƣơng tự 1) Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh a b c 3 3 2 b c c a a b 2) Cho bốn số thực dương a,b,c,d chứng minh 7 7  2a   2b   2c   2d             4     a  b   b  c   c  d   d  a  Bài Cho a,b,c số thực dương chứng minh ab c  b c a  c a b  Lời giải Ta cần so s{nh c{c số (b  c ),(c  a),(a  b ) với số + Nếu tồn ba số lớn rõ r|ng bất đẳng thức ln + Ta cần xét a,b,c thuộc nửa khoảng 0;1 , khơng tính tổng qu{t 52 ta giả sử a  b  c suy (a  b),(b  c ),(c  a)  b  c Đến đ}y ta lại chia trường hợp để xử lý - Nếu b  c  sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có b c   a 1b  c  c a   b 1c  a  a b   c 1a  b  a b c  1  a 1 b c a  1  b 1 c a b  1  c 1 Cộng theo vế ba bất đẳng thức đưa chứng minh  ab  bc  ca  a  b  c   1 a 1 b 1 c   abc  Bất đẳng thức - Nếu b  c  ta lại chia th|nh c{c trường hợp sau đ}y: Khả 1: b  c  c  a  a  b  sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có a b c  a 1b c  1  a 1  a a a    a 11 b  c  a  b  c  a b  c  a  b  c Tương tự cho bất đẳng thức lại cộng lại theo vế ta có điều phải chứng minh Khả 2: b  c  c  a   a  b ta có a b  c  a ; b c  a  b  a b  c  b c  a  c a  b  a  b  c a b  a  b   c 1a  b   c a  b    Ta có điều phải chứng minh Khả 3: b  c   a  c  a  b ta có a b c  a b c a   b 1c  a  c a b   c 1a  b  Cộng theo vế ba bất đẳng thức v| đưa chứng minh  bc ab  bc  bc  a  b  c    1 a 1 b 1 c   abc  bc  Bất đẳng thức Vậy với số thực dương a,b,c ta ln có ab c  b c a  c a b  Bài tập tƣơng tự c a b Cho a,b,c l| c{c số thực dương chứng minh a  b   b  c   c  a   Bài 10 Cho a,b l| c{c số thực khơng }m có tổng chứng minh  a  b  a b  b a   2   Lời giải Khơng tính tổng qu{t giả sử a  b   a 1  1;0  b  sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có b a b  1  a 1   a 1b  b  b  a 1 b a  b.1  b 1  b 1  a 1b 1  b 2  b  Vậy ta cần chứng minh 53 a b  b  b  1  b 2  b 2     2  b  b  1  b 2  b   b 1   b b 1 b  2  2 2 Bất đẳng thức cuối ta có đpcm Đẳng thức xảy v| a  b  Bài tập tƣơng tự Cho a,b l| c{c số thực khơng }m có tổng chứng minh  a  b  a 3b  b 3a   2   C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Cho n số thực thoả mãn điều kiện  x1 , x , , x n  chứng minh 1 1  x1 x 1  x x 1  x n x  2n Bài Chứng minh với số thực  x  cot x cos2 x  Bài Chứng minh với số thực  x  tan x 2  sin x   ta có  sin x  ta có 1sin x  3  tan x  Bài Cho a,b l| c{c số thực thuộc khoảng (0;1) chứng minh a b  a   b         b   a  Bài Cho a,b l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện b  , a  b  chứng minh a b b a   3ab Bài Cho x,y l| hai số thực dương chứng minh x y  y x  Bài Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện ab  bc  ca  Chứng minh a b c 3 3 2 b c c a a b D HƢỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Chú ý 1  x k x k1   xk xk 2 , k  1, n; x n 1  x1 x k 1 x k 1 Nh}n theo vế n bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy v| x1  x   x n  Bài Chú ý với  x  cot x cos2 x   ta có cot x  sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có cot x  1  sin x  cot x 1  sin x   1  sin x cot x 1  sin x cot x   1  cos x 1  cos x   1 cos x  sin x 54 Đẳng thức không xảy nên b|i to{n chứng minh Bài Đặt a   sin x, b   tan x   a  b ta cần chứng minh b b a 1  a   1  b   1  a a   b Bất đẳng thức cuối theo Bernoulli Bài Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: a a a  b         1  b  a    a b  a  b   a   a       a      a a b b 1 a b b  Tương tự ta có:     a  a  1 b Cộng theo vế hai bất đẳng thức v| ý 1   2 b   a a   b b   a  a  1 b Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b Bài Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có b a b b a  1  a 1 Vậy ta chứng minh a   1  1  b    b a 1 1   a  1  b   b a 1  b 1  b    3ab  b   3b 2  b     b 2  b   a  1  b   b 13b  4  Bất đẳng thức chứng minh Bài Ta xét ba trường hợp sau: + Nếu x  1, y   x y  y x  x  y  bất đẳng thức + Nếu x  1, y   x y  y x   y x  bất đẳng thức + Nếu x , y  {p dụng b|i tập mẫu ta có đpcm Bài Nếu số sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có điều phải chứng minh Ta xét ba số dương sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có a 1 2a 2/3 2a 2/3     2/3 2/3 2/3 b c  a  b 2/3  c 2/3 b  c  a   3    b  c   b  c      a   a  Tương tự ta có b 2b 2/3 c 2c 2/3  2/3 ;3  2/3 2/3 2/3 c a a b c a  b a  b 2/3  c 2/3 Cộng lại theo vế ba bất đẳng thức ta có đpcm Đẳng thức xảy v| có số v| hai số 55