Chuong 2 chu de 6

Chủ đề ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ Trong việc chứng minh bất đẳng thức hay tìm cực trị biểu thức, vận dụng phương pháp dồn biến để khảo sát hàm số chủ đề nhiều bạn học sinh tham gia kỳ thi chọn HSG kỳ thi TSĐH, THPT – Quốc Gia quan tâm Để dồn biểu thức nhiều biến biến có nhiều kỹ thuật, nhiên nội dung chủ đề giới thiệu số kỹ thuật quan trọng, thường gặp xếp theo phổ biến kỹ thuật gồm: - Vận dụng bất đẳng thức kinh điển - Kết hợp kỹ thuật đổi biến số - Kết hợp kỹ thuật thứ tự biến - Phương pháp tiếp tuyến - Khảo sát hàm nhiều biến - Kết hợp với việc sử dụng bổ đề - Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức kinh điển  Bài toán Cho a, b, c   0;1 : abc  1  a1  b1  c Chứng a2  b2  c2  số minh thực Phân tích Khai triển đẳng thức giả thiết cho ta: a2  b2  c2   a  b  c  1   abc ab c  Từ ta quy việc giải tốn bất đẳng thức    Để ý : abc AMGM  toán khảo sát hàm số theo biến t  a  b  c, t   0;3 Lời giải Ta có abc    a  b  c  ab  bc  ca  abc    a  b  c  ab  bc  ca  2abc    a  b  c   a  b  c   a2  b2  c2   2abc  a2  b2  c2   a  b  c  1   abc   a  b  c  1   2 Đặt t  a  b  c  t   0;3 Xét hàm số F  t      a  b  c 27 t  t  2t  27  t  Ta có F '  t    t2  2t      t 3 Lập bảng biến thiên ta có: Min F  t   F    2 4 Vậy a2  b2  c2  Dấu "  " xảy a  b  c   Bài toán Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xz  2xy  yz  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2  x y 3 z P     y  z 2x  z  x  y  z  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 1/41 Lời giải Ta có z   x  y  z  xy  x  y  AM  GM 2 x y  x y  x y   2 8   2   z  z   z  Lại có :  x y       x  y  3 z  z   3 P        x  y    x  y  z  x  y  z   x  y    x  y    z   z  Đặt x y  t, t  z Khảo sát hàm số f  t   Ta tìm f  t   f  2  2;   Hay P   t  , t  2;   t   t  12  x  y  z  Bài tốn Cho số thực khơng âm thỏa mãn a  b  c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức b  32c  a P    a  c b  c  27  c  1 Lời giải   c a  b  c2  ab  c  2 a b c Ta có    0 a  c b c c 1  a  c b  c c  1  a b c   a  c b  c c 1      Do P      Xét hàm số f  t   t  27 t, t  có:  c   27  c   c f '  t   t3  32 c 32 32  f ' t   t  27 Lập bảng biến thiên ta có f  t    Do P   16 27 16  a  0, b  4, c  27 b  0, a  4, c   Bài toán Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  32  abc   27  2a  2b2  c   Lời giải Ta có P AM GM 32  abc   27  4ab  c  1 Đặt t  abc, t  Xét hàm số f  t   f ' t   AM  GM 32  abc   abc 1  , t   0;    4t 32t có : 4t  1  f 't   t  16t 1 Lập bảng biến thiên ta có f  t   f        Hay P     ab  c  1 BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 2/41  Bài toán (HSG Tỉnh Nghệ An – 2012) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a  ab  abc  ab c Lời giải a  4b a  4b  16c    a  b  c 2 3 Ta có a  ab  abc AMGM a  3   a  b  c ab c Suy P  Đặt t  a  b  c, t  3 3   với t  ta có f '  t   2t 2t t 2t t 3 f ' t      t 1 2t t 2t Xét hàm số f  t   Lập bảng biến thiên ta có f  t   f 1   t 0 16   a  21  a  b  c    b  Vậy giá trị nhỏ P   21 a  b  16 c     c  21   16    a, b, c    , ,   21 21 21   Bài toán Cho số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x  y  2z  Tìm giá trị lớn biểu thức P  2 x2  y2  z  z2 xy  Lời giải  x2  y2  x2  y2    6   xy  xy    Ta có   x  3y   Lại P 6 4  1 x  y   2z , 3  2z   x  3y  2  x  y 6 xy  4  Do xy   nên :   z  z2 Đặt t  z2  z, t     15 f t  f     Khảo sát hàm số f  t   4t  11  t ta tìm max  4    ;      x  y  2z   15  Hay max P    xy   z2  z     ,z    x  0, y     x  2, y  0, z     2  Bài toán (Khối B năm 2014) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện ( a  b)c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c   b c a  c 2( a  b) Lời giải BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 3/41 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có Vậy P  1 Đặt t  c ab  c , t  ab a b 2( a  b)    b c a c ab c 1 c ab c , 2( a  b)  t 1 t P Xét hàm số g( t )  Khảo sát hàm số ta GTNN với t  , đạt a  0, b  c, b   Bài toán Cho số thực a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a2  bc  b2  c2 Tìm giá trị lớn biểu thức P b c 3a3   a2  c2 a2  b2  b  c 6 Lời giải  a2  b2  c2  bc  a2  b  c   b3  c2 Từ giả thiết ta có  b c 2  a  b  c  bc   b  c   3bc   2 3 2a  b  c  2a  b  c  3a 3a    Nên P  2 2  6 a c a b  b  c  ab  ac  b  c     3a3    b  c  b  c 6 b  c  b  c 3  t, t  Khảo sát hàm số f  t   2t  t3 , t  b c   16 f t  f    Ta tìm Max  0;   3 Đặt Hay max P  16 abc  Bài toán Cho số thực x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x2  y2  z  xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y x3  y3   y z x z 16 z Lời giải Ta có xy  x2  y2  z  2xy  z  xy  z Suy Do  x y ( x  y)2 ( x  y)2       y  z x  z xy  z( x  y ) xy(2  x  y )  x  y  x3  y3 xy( x  y ) x  y     16 z 16 z 16  x y P   x  y   16 Đặt t  x  y, t  Khảo sát hàm số f  t   t  , t   0;    t  16 x  y  P    z  f  t   f 6   Ta 0;   Hay  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 4/41  Bài toán 10 Cho số thực x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x2  z2  y2  xy  yz  zx Tìm giá trị lớn biểu thức P x 2 y  z  xy  y  z  Lời giải Ta có x2  z2  y2  xy  yz  zx   x  z    x  y y  z   x  y  3z  x  y  3z  x  z  y  z  x  x  y  y  3z         x  Do Lại có : 2 y z 2 y  z 2 xy  y  z   Nên P  1  y  y  2z  1 x 3 y  y  z   x    x 2 y  z   2 y  z  3    y  z  y  z 3 t , t   0;    t3 x  2 f  t   f 3   Hay max P    Ta tìm max  0;   9 y  z  Đặt y  z  t, t  Khảo sát hàm số f  t     Bài toán 11 Cho số thực x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x2  y2  z2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức y2 x3  xy2  x2 y  2 y  xz y  z  2 P Lời giải Ta có :  y   x  z  x  y2 2 y  xz   3 x3  xy2  x2 y  x( x2  y2 )  x( x2  y2 )  x(4  z2 )  x(2  z)2  y2 x x  Từ suy P  2   y  x y x y  y  1   x  t, t  Đặt t  , t  Khảo sát hàm số f  t   y t 1   f  t   f 1  Hay P   x  y  z  Suy  0;    Bài toán Cho số thực 12  x  y      x  y    10 z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x, y, z thỏa mãn xy  x  y  z  1 z4 Lời giải Từ giả thiết suy z  Lại có  x  y 2  xy  Từ giả thiết  x  y  x  y z2  xy z2   10 z   x  y    10 z2 2 x y  x y   10    10   z z z  z  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 5/41 xy x  y  1 1   1 Do P    z    10     z  z z z       Đặt  t  Xét hàm số f  t    t  2 10  t2 10  t2 , t  z   Ta có f '  t     2t2  3t   10  t2  f '  t    t  Lập bảng biến thiên ta có Max f  t   81  t   0;   Hay MaxP  z  81    x  y   Bài toán 13 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2 Tìm giá trị lớn biểu thức 2 P a c2  a2  2bc   a  b   a  b2 Lời giải Từ giả thiết ta có a2   b  c   bc  1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2  bc  1  a2   b  c  2a  b  c  bc   ab  ac  2bc   ab  bc  ca  a2  2bc   a  b   a2  ab  bc  ca  2a  2b  a2  2bc   a  b    a  c  2 a  b  a c2  a b a  2bc   a  b  Từ suy P  Đặt  t  0, ab  a  b  a  b  a  b 2 đồng thời 2  a2  b2   c2   a  b   t  Xét hàm số f  t   t  1  t , t   ;     f '  t    3t 4    Lập bảng biến thiên suy f  t   f     3 Hay MaxP   1    a, b, c    ; ;   3 3  Bài toán 14 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  2b  3c  18abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1   a  2b  3c   3  2b    a  3c  Lời giải a  2b  3c      Ta có a  2b  3c  18abc  3.a  2b3c  AMGM    a  2b  3c    a  2b  3c  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 6/41   3 2 24  2b  AM  GM 2b  3 3  Lại có :  2b  a  c a  2b  3c  3   AM  GM a  3c   a  3c 48 Do P   a  2b  3c  a  2b  3c  48 Đặt a  2b  3c  t, t  Khảo sát hàm số f  t   t  , t 3;    t9 Ta f  t   f 3   3;   Hay P   a  2b  3c   Bài tốn 15 Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn  x2  y2  z2    xy  yz  zx  Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  y  z    y2  z2  Lời giải Từ  x2  y2  z2    xy  yz  zx    y2  z2   yz   y  z  y z  x  y z Suy  y  z y z  Do P  2 t4 Đặt y  z  t, t  Khảo sát hàm số f  t   2t  , t  x  3 Ta Max f  t   f 1  Hay MaxP    0;   2  y  z   Bài toán 16 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P  xy  yz  xz     x  y  z 1 y z 1 z x 1 x y Lời giải Ta có  xy  yz  xz    1 y z 1 z x 1 x  y  x  y   z2  xy 1 y z  x  y  z   1  y  z   y  z   x2  yz 1 z x  y  z  x 2  1  z  x   z  x   y2  zx 1 x y  z  x   y2 2  1  x  y  2  x  y  z   x  y  z   x  y  z      x  y  z    x  y  z   x  y  z    Suy P   x  y  z 2  x  y  z    x  y  z Đặt x  y  z  t,  t  Khảo sát hàm số f  t   Ta tìm f  t   f     12 0;  4t2  2t, t  0;   2t  3  Hay P   12  x  y  z  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 7/41  Bài toán Cho số thực x, y, z  1 thỏa mãn 17 x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức x2 y2   x  y   xy  1 z  x  P 2 Lời giải Ta có x  y  z  Đồng thời, x, y  1   x  1 y  1   xy    x  y  Do x2  y2   xy     x  y  2xy    x  y   x  y   2  3  z   3  z    z2  z  Lại có x2  y2   x  y  2xy   x  y   x  y   z2  18 z  17 2 z2  z  16 z2  z  z2  z  16 Khảo sát hàm số f  z   , z  1;    z  4z  3 f  z  f    Ta tìm max  1;   2 Từ kết suy P   3 5  Hay max P    x; y; z    1; ;  ,  ; 1;    2 2   Bài toán Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 18 x  y z 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P x 1  xy  z   y2  z2  z2  1  z   z2 Lời giải Từ điều kiện giả thiết ta có 1  2xy z  z   2xyz  x2  y2  2xyz Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: x x2  y2  xyz    y2  xyz   x  y   x y  1  z    x  y  2 Từ : P  2 1  z2 Xét hàm số f ( z)  Ta có : f ( z)  z  2  z2 z2 1  z   z2 z2  1  z   z 5  z  1  z   z2 2  z2 ,z0 2 Nên : f ( z)    z   z  16 Lập bảng biến thiên cho ta có giá trị lớn P  x   2 xy  x  y  z    Dấu xảy  x  y2  z   y    z    z   BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 125 2 2 Trang 8/41  Bài tốn 19 Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn 2  x  y   y  z    z  x   Tìm giá trị lớn biểu thức  x  y  z P z6   xy  yz  zx  24 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: 2  x  y   y  z   z  x    2    x  y    y  z    z  x      1  x  y  2z    x  y  z   z    z  x  y  z Từ điều kiện ban đầu, khai triển ta lại có:  x  y  z    xy  yz  zx Từ cho ta P  x y z    x  y  z   3  24  x  y  z xy  yz  zx  Lại có 3 0  x y z   x  y  z 3    x  y  z  2    Đặt t  x  y  z, t  0;   t2   2 t , t  0; Khảo sát hàm số f  t     24   Ta max f  t   f     2 0;    x  y  5 Hay max P    8  z   Bài toán Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 20 x  y 1  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x y z2    x  yz y  zx z  xy Lời giải Ta có: x  y   z  z  xy   x  1 y  1 nên P     x y z2     z  y  1  yz  z  x  1  zx  x  1 y  1 x  y x  y  y  1 z  1  x  1 z  1   y  1 x  y   x  1 x  y  z2    x  1 y  1  z2    x  1 y  1 x  y x y z 2    x  y  x  1 y  1  x  1 y  1 2   x  y  z 2  z   z  2 Khảo sát hàm số f  z   f  z   f     0:   x  y 13 14  x y  x  y  2  z2   x  y  2  z2  2  , z  cho ta z   z  2 Hay P  x  y  13  14 z  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỪ LỚP – 12 Trang 9/41  Bài toán Cho số thực 21 a, b, c thỏa mãn a  b  c    ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Pa  a  2b a  2c  c  c  2a c  2b  4b a c Lời giải Ta có  a  2b a  2c  a2  2ab  2ac  4bc  a2  2bc  1  a  b a  c   a2  ab  ac  bc   a2  2bc  ab  bc  ca  2 Từ (1), (2) suy  a  2b a  2c  , tương tự  c  2a c  2b    ac  4 12   a  c  12 4b a  c   Do P   a  c     a  c    a  c  1   a  c  2 a c ac  a  c  a  c 12  1, t  t2 P   a  b  c  Đặt a  c  t, t  Khảo sát hàm số f  t   3t  f  t   f  2  Hay  0;    Bài toán 22 ta Cho x, y, z  1;3 : x  y  2z  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x3  y3  z3 Lời giải Từ giả thiết ta có : xy  3  z   x  y  3  z  xy  3  z Ta lại có :  x  1 y  1   xy  x  y    2z   2z  xy  3  z Mặt khác ta có : 2z   x  y   z 1;2 2 2 Ta có : P   x  y  x  y   xy  z3  3  z  4 3  z   xy  z3 2 Vì  2z  xy  3  z   3  z   z3  P  3  z  4 3  z   z  15   z3 ,  z  1;2    3  z   z3  P  3 z3  60 z2  150 z  126,  z 1;2 Đặt f  z   3  z   z3 , g  z   3 z3  60 z2  150 z  126 Xét hàm số f  z  , g  z  miền z 1;2 Đạo hàm lập bảng biến thiên hàm số f  z  , g  z  ta có : Min f  z   210  60 10 z  2  10  x  y   10 Max g  z   42 z   x  y  Vậy Min P  210  60 10 x  y   10, z  2  10 Max P  42 x  y  1, z   Bài toán 23 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a2   b2  c2   4ab  3ac Tìm giá trị nhỏ biểu thức a P   c2  b2  25bc  2b2  c2 ab  2ac Từ giả thiết ta có 4ab  3ac  2a2   b2  c2    a2  4b2    a2  4c2    b2  c2     ab  4ac  b2  c2  b2  c2  ac 1 Lại có  a  b  c   2ab  2ac  a2  2b  b  c  c2  b2 BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 10/41 a a a  b Đặt  x  x   khảo sát hàm số    b  a b   a b  b  1     x f  x   x  , x  ta tìm Min f  x   x x 1 Vậy Min P  đạt a  b, c  hốn vị 1 Ta có P  ab  2   a b a b  Bài toán 51 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức   P  a2  ab  b2 b2  bc  c2 Lời giải  c  ca  a2   a  a  b   a2  ab  b2  b2  2   a  ca  c  c  a  a  c  Khơng tính tổng quát ta giả sử  a  b  c       P  b2 c2 b2  bc  c2  b2 c2  b  c   3bc   Mặt khác ta có : b  c  a  b  c   bc  b  c    bc  Do P  b2 c2   3bc  3b3 c3  9b2 c2 x   9 Xét hàm số F  x   3 x3  x2 , x  0;   F '  x   9 x2  18 x     4 x  Lập bảng biến thiên ta có : MaxF  x  F  2  12  MaxP  12  a; b; c   0;1;2 Bài toán 52 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn ( a  b)(b  c)( c  a)  Tìm GTNN P a b c ab  bc  ca   3 b c ca ab a2  b2  c2 Lời giải Giả sử a  max{b, c} Ta có Khi P  Đặt t  ab  bc  ca  a2  b2  c2 a b c  3 b c a a b c  b c a a(b  c)  a2  ( b  c)2 a b c  b c a a b c   t  b c a Khảo sát hàm số g( t )  t  3 với t  , ta tìm GTNN P t2   Bài toán 53 (ĐH Vinh MO TST 2011-2012) Cho số thực a,b,c không âm đơi khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức  1   P  a2  b2  c2    2   a  b  b  c   c  a    Lời giải Giả sử c  Mina, b, c Ta có : BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 27/41  a  b   b  c    c  a  A  a2  b2  c2    ab  bc  ca  2  a  b   b  c  a  c    ab  bc  ca   2 Mà : ab  bc  ca   b  c a  c  c 2b  2a  c   (đúng ) Suy : A   a  b   b  c a  c (1) Lại có : B  1     a  b  b  c   a  c   a  b (2)    2 a  c  b  c  a  b  b  c   a  c   Đặt :  a  b  u;  b  c a  c  v Từ (1) (2) suy : v u  u  u  2v u  u  2v  u  2v u P   u  2v                Đặt u 2 v v u v v t hàm số : f  t   t2  4t   , ta có : f '  t   2t   u v v   u  t, t  v Xét 2  t  1 1   t  t   f ' t   t  t2 t2    11  5     Lập bảng biến thiên cho ta : f  t   f  c0   11  5 1    a  b  ab ( Hoặc hoán vị ) Vậy MinP  2   a, b   Lời giải Giả sử c  Mina, b, c Suy : b  c  b; a  c  a Do :  1  a2  b2 a2  b2 a2  b2  P  a2  b2       a2 b2   a  b2 a2 b2   a  b  a b  a b  a b      b a Đặt :   t, t  a b b a  b a  2 b a t 3 , f '  t   2t  0t Xét hàm số : f  t   t2  t2  t  2      11  5     Lập bảng biến thiên cho ta : f  t   f   Bài toán 54 Cho a, b, c số thực khơng âm có tổng Chứng minh a   b  c   b   c  a   c   a  b  2 Lời giải Do a, b, c có vai trị nên khơng tính tổng qt ta giả sử 1   1 a  b  c  a   ;1 , c  0;     3 Ta có: a   b  c  b   a  c    a  b   a  b  2c   9c2  8c  2  VT  9c2  8c   c   Xét hàm số F  c   9c2  8c   c   c    Ta có : F '  c  18c   c  9c  c  2 c 9c  c   4    9c2  c   c   18 c  c   1 9  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 28/41 Giải phương trình (1) so sánh điều kiện ta c  , c   33 24 Lập bảng biến thiên ta có : 1 Min F  c   F    F     VT   đpcm 3 1  1 1 Dấu „=‟ xảy  a, b, c  ; ;0  ,  ; ;  hoán vị 2  3 3  Bài toán 55 Cho a, b số thực thuộc 0;2 Tìm giá trị nhỏ biểu P   a  b  b  c  thức  c  a Lời giải Khơng tính tổng qt ta giả sử  a  b  c  Từ  c  a    c  a  Tiếp tục ta có:  c  b   b  Suy P   b  c    b  b  a  b   a  b  b2 1   , b   0;2  2 b   b Xét hàm số F  b  Ta có : F '  b   1   , b   0;2  b2   b2 2    b 1 b3   b3 Lập bảng biến thiên ta có : MinF  b  F 1  9  MinP  4 Dấu "  " xảy  a; b; c   0;1;2 Phƣơng pháp tiếp tuyến Chú ý Nếu đường thẳng y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm A  x0 ; y0  (A khơng điểm uốn) tồn khoảng  ;   chứa điểm x0 cho f  x   ax  b, x   ;   f  x   ax  b, x   ;   Đẳng thức xảy x  x0  Bài toán 56 Cho a, b, c dương thỏa mãn : a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức Lời giải Ta có a   bc a 1  b  c  a b c     bc  ca  ab 10 4a  1  a  Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh 4a 4b 4c    10 a  2a  b  2b  c  2c  4x 4 x2  20  f '  x  Xét hàm số f  x   x  2x  x2  x    Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0  y  99 x  100 4x 99 x   x  1 15  11x     0, x   0;1 100 x2  x  100 x2  x  Lúc   BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 29/41 Từ kết thay x a, b, c ta được: 99  a  b  c   9 4a 4b 4c (đpcm)     100 10 a  2a  b  2b  c  2c   Bài toán 57 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức 1 1       4   a b c ab c a  b b  c c  a   Lời giải Chuẩn hóa a  b  c  Khi bất đẳng thức cần chứng minh là: 1  1  1    a  a     b  b     b  b   *       5x  Xét hàm số f  x   , phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x  x2 y  18 x  x0  1  a  b  c  2a Do a, b, c ba cạnh tam giác nên 1  a  b  c  2b  x  1  a  b  c  2c  Suy f  x   18 x   Từ ta có: 3 x  1  x  1  0, x   0;    2   VT  *  f  a  f  b  f  c  18  a  b  c   x  x2 (đpcm)  Bài toán 58 Cho a, b, c   minh bất đẳng thức thỏa mãn a  b  c  Chứng a b c    * a  b  c  10 Lời giải x x 1 36 x  y 50 Xét hàm số f  x   x0  Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ 3 x  1  x    0, x   36 x   Xét hiệu f  x   50 50 x2    Do VT  *   f  a  f  b  f  c  36 9  a  b  c   50 50 10 (đpcm)  Bài toán 59 (Japan MO 2002) Chứng minh với số thực a, b, c khơng âm ta có bất đẳng thức  b  c  a    c  a  b   a  b  c  2  b  c  a2  c  a  b2  a  b  c2 2  Lời giải Chuẩn hóa a  b  c  , bất đẳng thức cho trở thành: 1  2a 1  2a 1  2a * 2a  2a  2a  2a  x2  x  Xét hàm số f  x   , phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ 2x  2x  1 54 x  23 x0  y  25 2a  2a     BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 30/41 Do f  x     2  x  1  x  1 54 x  23 54 x  27 x    0 25 25 x2  x  25 x2  x   VT  *   f  a  f  b  f  c       54 23  x  y  z    25 25 (đpcm)  Bài toán 60 (USA MO 2003) Chứng minh với số thực a, b, c khơng âm ta có bất đẳng thức  b  c  2a   c  a  2b   a  b  2c  2  b  c  2a2  c  a  2b2  a  b  2c2 2 8 Lời giải Chuẩn hóa a  b  c  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1  a 1  b 1  c 2   * 3b2  2b  3c2  2c  x2  x  Xét hàm số f  x   , phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x  2x  1 12 x  y  x0  3 3a2  2a   12 x   3 x  1  x  1   0, x   0;1 Khi f  x   3 x2  x    Nên VT  *   f  a  f  b  f  c  12  a  b  c   3 (đpcm)  Bài toán 61 (Russia MO 2002) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh bất đẳng thức a  b  c  ab  bc  ca Lời giải Ta có   a  b  c  a2  b2  c2   ab  bc  ca Do bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a2  b2  c2  a  b  c   *  Xét hàm số f  x   x2  x , tiếp tuyến hàm số điểm có hồnh độ x0  y  x Khi f  x   x  x2  x  x   x  1  x  x   0, x   0;3  Nên VT *  f  a  f  b  f  c   a  b  c  (đpcm)  Bài toán 62 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức a  b  c  b  c  a  c  a  b   a  b  c Lời giải Chuẩn hóa a  b  c  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a 1  a  b 1  b  c 1  c Xét hàm số f  x   x0  y   x 1  x  18 x  * , tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ Khi ta có BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 31/41 f  x  18 x  18 x3  39 x2  20 x   x  1  2 x      0, x   0;1 2 4 1  x  1  x  Nên VT  *   f  a  f  b  f  c  18 9  a  b  c   4 (đpcm) Khảo sát hàm nhiều biến số  Bài toán 63 Cho a, b, c dương thỏa mãn : a2  b2  c2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1   2a 2b 2c Lời giải Ta xét hàm số f  x    1   x2 , x  0; 2 x   3  0; x    x    x   0; Ta có: f '  x    2  x   x    0;  1 1 Lập bảng biến thiên ta có f  x   f 1      x2 2 x 2 1 Thay x a, b, c vào ta : P       a2  b2  c2   2a 2b 2c 2 Vậy MinP  a  b  c         Bài toán 64 Cho số thực a, b, c 0; 2 , thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  a2  2b2  3c2  2a  24c  2060 Lời giải : Từ a  b  c   a    b  c Suy : P  3   b  c   2b2  3c2  3   b  c   24c  2060  3b2  2b  c    c2  28c  2063 2c 2c Ta có : P 'b  6b  2c  4, P 'b   b  Do  c     3 Ta có bảng biến thiên : Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy : MaxP  Max  P   ; P    P   0;2  Do P 2  P 0  4c     24 c  2067  c2  28 c  2063  c    Lại có : P  2  f  c  4c2  24c  2067 f '  c  8c  24  0, c 0;2  f  c  f  0  2067 Hay MaxP  2067  a  1; b  2; c  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 32/41   c  13 86 MinPb  P  c  c  2063  0;2   13 86 Xét g  c  c2  c  2063, c  0;2 , 3 26 86 ta có g '  c  c    g  c  g  2  2023 3 Hay MinP  2023  c  2; b  0; a   Bài toán 65 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  3z xz y2   x  2z y  yz xz  yz Lời giải x  2  3 xz y z       x x y2  yz xz  yz y 1 1 2 z y z x y Ta có y z  a  b  a  b  x y x Đặt  a;  b  ab     ab  y z z 2  ab    a  b   a  b  2ab 2ab  a b     b 1 a 1 ab  ab   a  b  ab  2 Khi đó: P   ab  u  v2  1  u   4 a  b  v  Đặt  Xét hàm số f  u, v  f 'u  u, v   v 2u  v2  v 2u   u  v 1 u2  3v   u  v  1   u  2  v2  có  0, u, v  2v2  24 2v  : g  v Do f  u, v  f    v 8   v2 Lại có g '  v   v4  4v3  16v  64  v  2  v2   2   g' v  v4      v    v3  16     v  2 g  v  g    g    Lập bảng biến thiên ta thấy 2;    11 a  b   ab a  b   Dấu “=” xảy    a  b  a  b     a  b 11 Hay P   x  y  z x  y  z  Bài toán 66 ( Khối A - 2011) Cho x,y,z ba số thực thuộc đoạn 1;4  x  y; x  z Tìm nhỏ biểu thức P x y z   2x  y y  z z  x Lời giải  x z Nếu x  y , P  z      xz xz BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 33/41  Nếu x  y , ta có : P '  z   y  y  z   x  z  z   y  x 2  z  x  y  z  x  z  P '  z     x  z  y  x  y  z   z  xy  x 2 Lập bảng biến thiên ta thấy : P  z   P  xy   Khảo sát biến thiên cho ta : Dấu “=” xảy x  2x  y y y x   ,t 2t2   t x , t  1;2 y 34 f  t   f  2  33 x  4; y  1; z   Bài toán 67 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn 2 a2  b2  c2  a   b    c  a, c  b Chứng minh    ab  bc  ca b c  c a Lời giải 0  b  c  b a2 b2  a   b      1 Ta có    b a 0  a  c  a  b  c   c  a  Xét hàm số f  c   f '  c   c2  a2  b2 , c  c  a  b  ab có:  2c  c  a  b  ab   a  b c2  a2  b2   ab  bc  ca 2abc   a  b  c2  a2  b2   a  b c   a  b  c2  a2  b2    2  ab  bc  ca   ab  bc  ca  a  b  ac  bc  2c2  2a2  2b2   2  ab  bc  ca   a  b  a  c  a  b  c  b   c2  b2    c2  a2  c  b     ab  bc  ca  c  a Suy f  c  f    a2  b2 a b   ab b a Lại có a2 b2  a b  a b        2 b a b a b a  2 3  Từ (1), (2), (3) suy bất đẳng thức chứng minh a  b c  Dấu “=” xảy    Bài toán 68 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2   a 1 b 1 c 1 Lời giải Ta có a  c  b 1  ac  a c Dễ thấy ac    a  nên b   ac c 2 2(1  ac)  P=   a  ( a  c)2  (1  ac)2 c2   2( a  c)2  2 2 2 a  ( a  1)( c  1) c 1 Xét f  x   2( x  c)2   2 x  ( x  1)( c2  1) c2  BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 34/41 f ( x)   2( x2  2cx  2c2  1)   víi < x < 2 c ( x  1)( c  1) c 1 f ' ( x)  4 c( x2  2cx  1) ( x2  1)2 ( c2  1)  1 khoảng  0;  , f ' ( x)   x0  c  c2  f '  x  đổi dấu từ  c dương sang âm x qua x0 , suy f  x  đạt cực đại x  x0  1  Víi x   0;  : f  x    2  2  c c 1  c c 1 c 1 2c  víi c>0 Xét g( c)  c 1 c 1 g ' ( c)  2(1  c2 ) ( c  1) ( c   3c) 2  g ' ( c)   c  2 2c c 1  c 1 ( v× c >0)   24 10  c > 0: g  c   g     2   a   10  P DÊu "=" xÈy b   c   2 10 Vậy giá trị lớn P Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề  Bài toán 69 Cho x, y, z  thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x  y  x3  y3  16 z3  x  y  z 3 Bổ đề Trước hết ta có: x  y 3 (chứng minh cách biến đổi tương đương)  x  y Lời giải Đặt x  y  z  a Khi P  (với t   64 z3 a3  a  z   64 z3 a3  1  t   64t3 z ,  t  ); a Xét hàm số f  t   1 – t   64t3 với t  0;1 có f '( t )  64t2  1  t   , f '( t )   t   0;1 64 Lập bảng biến thiên  Minf  t    81 t0;1 GTNN P 16 81 đạt x  y  z   Bài toán 70 (Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005) Cho a,b,c >0 Chứng minh Lời giải : Đặt a3 b3 c3    3 ( a  b) ( b  c) ( c  a) b c a  x,  y,  z  xyz  a b c BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỪ LỚP – 12 Trang 35/41 1    (1  x )3 (1  y)3 (1  z)3 Bất đẳng thức cho trở thành : Áp dụng AM-GM ta có : 1  x  Ta cần CM bất đẳng thức : Bổ đề: 1  x   1  y   1  x   1  33  8(1  x )6 1  x 2 1    2 (1  x ) (1  y) (1  z)  x, y    xy Bổ đề CM cách biến đổi tương đương đưa BĐT hiển nhiên : xy( x  y)2  (1  xy)2  Do : VT  1 z z( z  1)  z2  z       2 2  xy (1  z) z  (1  z) (1  z) z  2z  Giả sử: z  Max x, y, z   xyz  z3  z  z2  z  z2  ; f '( z)   0, z  z  2z  ( z  1)4 Suy : f ( z)  f (1)  Xét hàm số : f ( z)   Bài toán 71 Cho a, b, c  Chứng minh 2a 2b 2c   3 ab b c ca Bổ đề : Với x, y  thoả mãn xy  Ta có bất đẳng thức 1    x2  y2  xy Chứng minh : Ta có 1 x2  y2  2     2 2 2  xy 1 x 1 y x y  x  y  1  xy  xy( x2  y2 )  2xy  x2  y2   2x2 y2  2( x2  y2 )   xy( x2  y2  2xy)  ( x2  y2  2xy)   ( x  y)2 ( xy  1)  (luôn đúng) Đẳng thức xảy xy  x  y  Lời giải b c a ;y  ;z   xyz  a b c Do x, y, z  0; xyz  nên giả sử z   xy  Đặt x  Áp dụng Bất đăng thức Cauchy-Shwarz ta có VT  2a 2b 2c 2b  2c  2a    2    ab b c ca ca ab b c   1  Chứng minh    3   ca 3   x2  y2  z2  ab b c 2a 2b 2c  1 2 z   2   2  2 2  z 1  xy 1 x 1 y 1 z 1 z  z   ,z 1 Đặt f ( z)  z 1 z 1 z 1 z   z   f ( z)  f (1)  2 2 z  z ( z  1) ( z  1) z  Ta chứng minh f '( z)    z   z  z 1 Đẳng thức xảy x  y  z  hay a  b  c BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 36/41  Bài toán 72 Cho a, b, c  a b c    1 ab b c ca Chứng minh : 1    x2  y2  xy Bổ đề : Với x, y  thoả mãn xy  Ta có bất đẳng thức Chứng minh : Ta có 1 x2  y2  2    2  2 2  xy  xy 1 x 1 y x y  x  y 1  xy( x2  y2 )  2xy  x2  y2   2x2 y2  2( x2  y2 )   xy( x2  y2  2xy)  ( x2  y2  2xy)   ( x  y)2 ( xy  1)  (luôn đúng) Đẳng thức xảy xy  x  y   x, y, z  Lời giải Đặt x  b , y  c , z  a   a  VT 1  b  xyz  c 1    x2  y2  z2 Giả sử xy   z   1 Vì xy      y2  1 x    1  4z       2    x  y   xy  z  1 z  2 1 z  x2  y2   z2  z Mặt khác ta lại có: Như ta có : VT 1  Xét hàm số F  z   Ta có : F '  z   z  1 z 1 z z  , z 1 1 z 1 z  z  2z z 1  z     z  z   z  Lập bảng biến thiên ta có : MaxF  F 1  Dấu "  " xảy x  y  z   a  b  c  VT 1   đpcm  Bài toán 73 Cho a, b, c   ;3  Tìm giá trị lớn 3  biểu thức P Bổ đề Với  xy  ta có bất đẳng thức Chứng minh 1    x  y  xy    xy  x y 1 2     Ta có  x  y  xy ( x  1)( y  1) xy  1  xy b a c b Lời giải Đặt x  , y  , z  Khi P  a b c   ab b c c a   a 1   x, y, z   ,9  xyz  c 9  1   1 x 1 y 1 z Không tính tổng quát, giả sử  x y z9 BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 37/41 Do xyz  nên z  1; xy  Khi áp dụng bổ đề ta có P  z  z 1 2t Đặt z  t, t  Khảo sát hàm số f  t    , t  1;   t  1  t2  a  9c 8 Ta tìm Max f  t    t  hay Max P    1;   5 b  3c 1 z  Bài toán 74 Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a2  b2  c2  Tìm giá trị lớn biểu thức  ab bc   a4 b4  b4 c4       22 c  a2  64  a4 c4  P Bổ đề Ta có với x, y  x2  y2   x  y Dấu đẳng xảy x  y Chứng minh Thật , bất đẳng thức cho biến đổi tương đương trở thành :   x2  y2  x2  2xy  y2   x  y   Lời giải Áp dụng bổ đề ta có : x  y 4 x   y2  2   x  y 2    2       x  y a b b c 1b b  a4 b4  b4 c4  1b b  b  b                  4 4 c a c a 64 64 8 c a ac a c         ab bc ab bc    Từ giả thiết ta có :  c2  a2 a  c2  b2  c2 a  b2  a2  c2 Do : 4        1  Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có : a  ab    c2  b2  c2   a bc    b2  a2  c2    2  a a2 b2   c2 b2  c2 1b b  a2 b2 b2 c2    b2 b2                    2 2 2  8 c a  bc ab   4a c b c a b a c  4 Từ ta có đánh giá : b b Đặt t   , t  Xét hàm số f  t   a Ta có : f '  t   32 a b2 c2  b2  a  c2      2  ab bc   1  b b         2  22 c   c a   2 a  11 b b  1 b b Do ta có : P               c a   64  c a  c   1  t 16  11  1  t   t , t0   64 t3 128 t3  128 1  t3  t   t7  2t6  32  1 32  t 16   t  2 t6  4t5  8t4  16t3  32t2  64t  16    t  f 't     Lập bảng biến thiên ta thấy GTLN P  15 32 đạt t  dấu đánh BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 38/41 giá 1 ,  2 xảy Do ta có b b c  a   : a  b  c abc  a2  b2  c2     Bài toán 75 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn ( a  b)(b  c)( c  a)  a  max{b, c} Chứng minh a 11  b c  a  7(b  c) 15     2 b  c  c  a a  b  a Lời giải Bổ đề: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn ( a  b)(b  c)( c  a)  a  max{b, c} Chứng minh b c   a c ab b c (1) a Chứng minh bổ đề: Ta có (1)  ab ac   ; mặt khác , ta lại có ( b  c)( a  c) ( b  c)( a  b) ab 2ab 2ab   ; tương tự ( b  c)( a  c) a( b  c)b( a  c) bc  ac  2ab Suy ac 2ac  ( a  b)( b  c) bc  ba  2ac ab ac 2( ab  ac)   1 ( b  c)( a  c) ( b  c)( a  b) bc  ba  2ac b c a Dấu xảy a  b  c b  0, a  c c  0, a  b  b c   a c ab Quay lại toán 11   với t  Ta có 2t t t t  t2  t2   2t2  t2   21 11 t  g '( t )     2t t2 2t2 t2  Xét hàm số g( t )  t     Vậy g '( t)   t  t  Lập bảng biến thiên, ta GTNN g( t ) f (3)   a  f   b  c    15 Từ ta a 11 b  c 7( b  c)  2 1 b c a a a 11  b c  a  7( b  c)    2 b  c  c  a a  b  a  Vậy ta a 11  b c  a  7(b  c) 15     Do dấu khơng xảy nên ta có 2  b c  c a a  b  a điều phải chứng minh Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển  Bài toán 76 (Nghệ An MO TST – 2010 ) Xét số thực dương a, b,c thỏa mãn abc  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a3 b3  b3 c3  c3 a3   a  b  c Lời giải : BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 39/41 Ta chứng minh : P  a, b, c  P  a, bc, bc  Thật :    bc   12 bc  a  b    c     b  c       b  c   a  b  bc  c   6   b  c  9a bc  6      b  c   9a    ( Với giả sử a  Max a, b, c  a  ) P  a, b, c   P a, bc, bc  a3 b3  a3 c3   b  c   2a3 3 2 2 3 Lại có :    1  12 P a, bc, bc  P  a, ,   2a a   a  a a a a  12 Đặt a  t,  t  1 Ta có : f  t   2t3   6t2  t t 12 Ta chứng minh : 2t3   6t2   15, t   *  t t Thật :  *  2t9  6t8  15t6  12t5   Xét hàm số : g  t   2t9  6t8  15t6  12t5  , ta có :   g '  t   18t8  48t7  90t5  60t4  6t4 3t4  8t3  15t  10  6t4 h  t  Xét : h  t   3t  8t  15t  10, t  , có : t  h '  t   12t3  24t2  15; h ''  t   36t2  48t    t   4 Lập bảng biến thiên ta thấy : h '  t   h '     3 Do : h  t   h 1   g '  t   nên : g  t   g 1   Bài toán 77 (MOSP 2001) Xét số thực dương a, b,c thỏa mãn abc  Chứng minh bất đẳng thức  a  b b  c c  a   a  b  c  1 Lời giải : Đặt : P  a, b, c   a  b b  c c  a   a  b  c  1   ab  a  b  bc  c  b  ca  c  a   a  b  c   Ta CM : P  a, b, c  P  a, bc, bc  , :   P  a, b, c   P a, bc, bc       ab  a  b  bc  b  c   ca  c  a    b  c   2a bc a  bc  bc bc  bc           bc b  c  bc  b  c  bc  a2 b  bc  c  a b2  2bc  b2      b c bc  a2    a  b  c   bc  a  a  b  c  a  4 c   a  b a  c   a     b c b  2 b c  bc  a2  a    b c      Giả sử : a  Max a, b, c  a  , :  a  b a  c  a2 bc  a  Vậy :    1  8 P  a, b, c   P a, bc, bc  P  a, ,  4a   2t3   4t2    f  t  , Với   2a a   t t a a a a a  a  t  ) BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 40/41 Ta có : f '  t    t3  t   3t   4t2 , lại có : g  t   3t3  4t2  , có : g '  t   9t2  8t  t  9t    0, t   g  t   g 1   Do : f '  t   0, t  Hay : f  t   f 1  BĐT CM BÁN FILE WORD CHƢƠNG TRÌNH TỐN TỪ LỚP – 12 Trang 41/41