TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX – NĂM 2013 MƠN THI: TỐN 10 Thời gian: 150’ không kể thời gian giao đề Đề đề nghị Đề thi có 01 trang Câu (5,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 x y xy x y x y 3 x y x y Câu (5,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có cặp cạnh đối AB, CD cắt M AD, BC cắt N Gọi P, Q, S , T theo thứ tự giao điểm đường phân giác cặp góc: MAN với MBN ; MBN với MCN ; MCN với MDN MDN với MAN Chứng minh bốn điểm P, Q, S , T nằm đường tròn 2 Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a b b c c a 12 Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 a b a c b a bc c a c b a2 b2 c2 Câu (4,0 điểm) Chứng minh với p số nguyên tố lớn p p chia hết cho 42 p Câu (2,0 điểm) Tại buổi gặp mặt học sinh hai trường Chuyên Vĩnh Phúc Chuyên Hùng Vương người ta thấy học sinh Chuyên Vĩnh Phúc quen với số bạn học sinh Chun Hùng Vương, khơng có bạn Chuyên Vĩnh Phúc quen với tất bạn học sinh Chuyên Hùng Vương đồng thời học sinh Chuyên Hùng Vương quen với bạn Chun Vĩnh Phúc khơng có bạn Chuyên Hùng Vương quen với tất bạn Chuyên Vĩnh Phúc Chứng minh chọn học sinh Chuyên Hùng Vương học sinh Chuyên Vĩnh Phúc cho học sinh Chuyên Hùng Vương số bạn học sinh chọn quen với bạn học sinh Chuyên Vĩnh Phúc chọn Hết Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX 2013 Mơn: Tốn 10 Câu (5,0 điểm) Giải hệ phương trình x y xy x y x y 3 x y x y (1) (2) 2 Lời giải Ta có, phương trình 1 tương đương với x y x xy y 1 0 Do hệ x xy y 1 x 2 y ( I ) ( II ) cho tương đương với hai hệ sau 3 x y x y x y x y 2 5 2 5 ; ; , Hệ II giải sau Giải hệ I nghiệm x; y 0;0 , 3 2 x xy y 1 x 1 x xy y 1 x xy y 1 3 2 y x x y 0 x y x y y 0 x y x y x xy y 2 5 2 5 ; ; , ■ 3 Câu (5,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có cặp cạnh đối AB, CD cắt M AD, BC cắt N Gọi P, Q, S , T theo thứ tự giao điểm đường phân giác cặp góc: MAN với MBN ; MBN với MCN ; MCN với MDN MDN với MAN Chứng minh bốn điểm P, Q, S , T nằm đường tròn Kết luận: Nghiệm hệ cho x; y 0;0 , 1;0 , 1;0 , Lời giải A D B C N T Q M P S 2 Ta có QPT BPA MBP MAP MBN MAN BNA Tương tự có 1 MCN MDN CND 2 Vì góc BNA góc CND nên QPT QST Vậy bốn điểm P, Q, S , T nằm QST CSD MCS MDS đường tròn.■ Câu (4,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: (a b)2 (b c)2 (c a) 12 Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 a b a c b a bc c a c b a2 b2 c2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có 8(a b c) 2 2( a b) 2(b c) 2(c a ) 2 12 (a b) (b c) (c a ) 2 12 24 a b c 3 Với a b c 3 , áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có 1 a b a c 2(a b a c) 2(a 3) 1 1 1 Do a b a c b a b c c a c b 2(a 3) 2(b 3) 2(c 3) 1 2(a 3) a (a 1) 0 Bất đẳng thức cuối Ta chứng minh 2(a 3) a 7 Vậy bất đẳng thức cho Dấu xảy a b c 1 ■ Câu (4,0 điểm) ) Chứng minh với p số nguyên tố lớn p p chia hết cho 42 p p p p p Lời giải Đặt A 3 p p Ta có A 1 2; A 3 1 3 Theo định lý Fermat p 3p; p 2p A p p p Ta cịn phải chứng minh A7 Ta có A 3.3 p 7 k p 3.9 p 1 2 p p p 3 p p 7 k 3.2 p p 7 k 1 p 2p 1 2p p p 1 p 1 3 phải chia hết cho Giả sử 2 p p p 1 p21 p m p 2 m 3 2 8 17 Ngoài 2 1 7 Do A7 Trường hợp lập luận tương tự có A7 Vậy A42 p ■ Vì p,3 1 nên hai số Câu (2,0 điểm) Với học sinh X Chuyên Hùng Vương, kí hiệu S X tập học sinh Chuyên Vĩnh Phúc mà X quen Xét học sinh A Chuyên Hùng Vương mà S A lớn ( S A số phần tử tập S A ) Vì khơng có học sinh Chuyên Hùng Vương quen với tất học sinh Chuyên Vĩnh Phúc nên có học sinh B Chuyên Vĩnh Phúc mà B S A Vì học sinh Chuyên Vĩnh Phúc quen học sinh Chuyên Hùng Vương nên có học sinh C Chuyên Hùng Vương (khác A ) mà C quen B Vì số phần tử S A lớn nên có học sinh D Chuyên Vĩnh Phúc mà D SC , D S A Vậy ta có A, B, C , D bốn học sinh thoả mãn đề bài.■