TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG KỲ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX TỈNH QUẢNG NINH MƠN: TỐN – LỚP 10 THỜI GIAN: 180 PHÚT ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX Câu 1: (4 điểm) Giải hệ phương trình: x y 6 2 x y x 6 Câu 2: (4 điểm) Cho a; b; c số thực thuộc đoạn Chứng minh a b c abc bc ca ab Câu 3: (4 điểm) Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC D Chứng minh I trung điểm BC, AD thẳng hàng Câu 4: (4 điểm) Tìm số nguyên tố p; q cho biểu thức sau số nguyên (5 p p )(5q 2q ) M pq Câu 5: (4 điểm) Có số tự nhiên có chữ số, chia hết cho chứa chữ số ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM NỘI DUNG VÀ ĐÁP ÁN STT Giải hệ phương trình: x y 6 2 x y x 6 Trừ hai vế pt ( x y )[ x ( x y ) - 5] 0 ………………………………………………………………………………… Với x y , vào pt đầu x x 0 ( x x 3)( x x 2) 0 Từ nghiệm ( 2; 2);(1;1) Với x ( x y ) 0 , dễ thấy x 0 nên y x , vào pt đầu x x x x 25 0 25 1 13 169 31 1 x x3 x6 x x x x 0 2 16 16 2 13 31 ( x 5) x ( x 1) ( x ) 0 (VN) 2 16 Tóm lại hai nghiệm (x;y) ( 2; 2);(1;1) Cho a; b; c số thực thuộc đoạn Chứng minh a b c P abc bc ca ab BIỂU ĐIỂM …… 1.5 …… 1.5 Không tổng quát giả sử a b c nên ab ac bc ………………………………………………………………………………… …… bc 1 , Ta có (1 b)(1 c) 0 nên 1 bc ………………………………………………………………………………… …… b c b c 1 hay P bc 1 ca ab bc bc bc ………………………………………………………………………………… …… (2 bc 1)( bc 1) bc hay Ta cần chứng minh (luôn với bc b, c [0;1] ) BĐT cm, dấu “=” xảy a b c 1 Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc BC D Chứng minh I trung điểm BC, AD thẳng hàng A D' P Q N I B D M E C Gọi M, N trung điểm BC, AD Gọi D’ điểm đối xứng với D qua I Gọi E giao điểm AD’ BC Gọi P, Q giao điểm tiếp tuyến D’ (I) với AB AC CM tam giác D’QI tam giác DIC đồng dạng nên D ' Q.DC r Tương tự D ' P.DB r ………………………………………………………………………………… …… D ' P DB D ' P EC Từ ta mà PQ//BC nên , từ D ' Q DC D ' Q EB ………………………………………………………………………………… …… DB EC hay chứng minh DB EC DC EB ………………………………………………………………………………… …… Chỉ M trung điểm DE suy M, I, N thẳng hàng Tìm số nguyên tố p; q cho biểu thức sau số nguyên (5 p p )(5q 2q ) M pq Dễ thầy p, q số lẻ không chia hết cho Nếu p p p 5q 2q q Với p p p định lý Fermat nhỏ ta 3p hay p 3 Khi 5q 2q q p p q Tính cặp (p;q) thỏa mãn đề (3;3); (3;13); (13;3) ………………………………………………………………………………… …… Xét trường hợp lại p p q 5q 2q p , p, q khác Giả sử p>q, p, q số nguyên tố nên ( p; q 1) 1 , tồn số nguyên a, b cho ap b(q 1) 1 ………………………………………………………………………………… …… 5 Theo định lý Fermat nhỏ ta có 5q 2q (mod p) nên 5b ( q 1)1 5.2b ( q 1) (mod q) hay 5ap 5.2ap (mod q) (1) ………………………………………………………………………………… …… Mà p 2 p (mod q ) nên 5ap 2ap (mod q) (2) Từ (1) (2) dễ suy q=3 Vô lý Vậy cặp (p;q) thỏa mãn đề (3;3); (3;13); (13;3) Có số tự nhiên có chữ số, chia hết cho chứa chữ số Các số tự nhiên có chữ số chia hết cho 29999 số ………………………………………………………………………………… …… Ta đếm số khơng có chữ số Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn, chữ số hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị có cách chọn Chữ số hàng đơn vị trường hợp có cách chọn ………………………………………………………………………………… …… Số số 8.9.9.9.3=17496 (số) ………………………………………………………………………………… …… Vậy số số thỏa mãn đề 12503 số