Bài 7 vị trí tương đối của hai đường tròn

CHUYÊN ĐỀ BÀI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết vị trí tương đối hai đường trịn + Nắm tính chất đường nối tâm + Biết hệ thức đoạn nối tâm bán kính + Biết tính chất tiếp tuyến chung hai đường tròn  Kĩ + Vẽ vị trí tương đối hai đường trịn + Vẽ tiếp tuyến chung hai đường tròn + Xác định vị trí tương đối hai đường trịn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ba vị trí tương đối hai đường trịn a) Hai đường trịn có hai điểm chung A, B gọi giao điểm, AB gọi dây chung b) Hai đường trịn có điểm chung Hai đường trịn có điểm chung gọi hai đường tròn tiếp xúc Điểm chung gọi tiếp điểm c) Hai đường trịn khơng có điểm chung Tính chất đường nối tâm Định lý: Nếu hai đường trịn cắt hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm, tức đường nối tâm đường trung trực dây chung Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Hệ thức đoạn nối tâm bán kính a) Hai đường trịn cắt R  r  OO  R  r b) Hai đường tròn tiếp xúc Nếu hai đường tròn  O   O tiếp xúc ngồi Trang OO R  r Nếu hai đường tròn  O   O tiếp xúc OO R  r c) Hai đường trịn khơng giao Nếu hai đường trịn  O  O ngồi OO  R  r Nếu đường tròn  O  chứa đường trịn  O OO  R  r Tiếp tuyến chung hai đường tròn Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn Trang Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Cắt Tiếp xúc Khơng cắt Ba vị trí tương đối hai đường trịn VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Hệ thức đoạn nối tâm bán kính Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các toán có hai đường trịn tiếp xúc Phương pháp giải - Vẽ đường nối tâm ý tiếp điểm nằm Ví dụ: Cho hai đường trịn  O   O tiếp xúc đường nối tâm, dùng hệ thức d R  r điểm A Đường thẳng d ( d không trùng d R  r với OO ) qua điểm A cắt hai đường tròn  O  - Nếu cần, vẽ tiếp tuyến chung tiếp  O lần điểm lượt C D Chứng minh OC //OD Hướng dẫn giải Tam giác OAC có OA OC nên tam giác cân   O  CAO OCA (1) Tam giác OAD có OA OD nên tam giác cân  AD O  DA O  O (2)   AD (đối đỉnh) (3) Mặt khác OAC O   DA (so le trong) Từ (1), (2) (3) suy OCA O  OC //OD Vậy OC //OD Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai đường trịn  O   O tiếp xúc A Kẻ đường kính AOB AOC Gọi DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ( D thuộc  O  , E thuộc  O ) Gọi M giao điểm BD CE a) Tính số đo góc DAE ? b) Tứ giác ADME hình gì? c) Chứng mính MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Hướng dẫn giải Trang a) Xét hai tam giác cân OAD OCE có OD OA  ; OE OC   C (góc đồng vị); DOA EO  OAD OCE (c.g.c)  EC OAD  O  AE O  EA Tam giác OAE cân O nên O  EC 90  O  AE OAD  Ta có AEO O 90      AE 90 180  OAD O Suy DAE  Vậy DAE 90 b) Vì đường trịn  O  đường kính AB qua điểm A, B, D nên AD  BD Vì đường trịn  O đường kính AC qua điểm A, C , E nên AE  CE  Xét tứ giác ADME có DAE  AEM ADM 90 nên tứ giác ADME hình chữ nhật  c) Vì ADME hình chữ nhật nên DAM  ADE   Tam giác OAD cân O nên DAO ODA    Ta có ADE  ODA 90 DAM  OAD Suy MA  AB hay MA  BC Vì MA  AB A nên MA tiếp tuyến đường tròn  O  Vì MA  AC A nên MA tiếp tuyến đường tròn  O Vậy MA tiếp tuyến chung hai đường tròn  O   O Bài tập tự luyện dạng Bài tập Trang Câu 1: Cho đường tròn  O   O tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung ngồi BC , B nằm đường trịn  O  , C nằm đường tròn  O Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I  a) Chứng minh BAC 90 b) Tính số đo góc OIO c) Tính độ dài BC biết OA 4 cm, OA 9 cm Câu 2: Hai đường tròn  O;3cm   O;1cm  tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC ( B C tiếp điểm) Tính độ dài cạnh tam giác ABC Bài tập nâng cao Câu 3: Cho hai đường tròn  O; R   O; r  tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC ( B   O  , C   O ) a) Tính góc BAC b) Tính BC theo bán kính R, r c) Gọi D giao điểm CA với đường tròn tâm O ( D khác A ) Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng Câu 4: Hai đường tròn  O;   O;9  tiếp xúc A Gọi BC , DE tiếp tuyến chung hai đường tròn ( B D thuộc đường tròn tâm O ) Tính diện tích tứ giác BDEC theo R, r Câu 5: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB , AC 4 cm, CB 8 cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính thứ tự AC , AB Tính bán kính đường tròn  I  tiếp xúc với nửa đường tròn tiếp xúc với đoạn thẳng AB Dạng 2: Các tốn cho hai đường trịn cắt Phương pháp giải Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau: Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp Dùng hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng Ví dụ: Cho hai đường tròn  O   O cắt A B Tính độ dài đoạn OO , biết OA 15cm, OA 13cm, AB 24cm Hướng dẫn giải Vì OA OB OA OB nên OO đường trung trực đoạn thẳng AB Trang Gọi H giao điểm AB OO Khi H trung điểm AB OO  AB H , suy AH  AB 12 cm Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AHO có OA2  AH  HO  152 122  OH  OH 9 (cm) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng AHO có OA2 OH  HA2  132 OH  122  OH 5 (cm) Vậy OO = HO  OH 14 (cm) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn  O  đường kính AB 25 cm Vẽ đường trịn tâm B bán kính R 15 cm, cắt đường tròn  O  C D a) Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn  B  b) Tính độ dài AC c) Gọi H giao điểm AB CD Tính độ dài AH HB Hướng dẫn giải a) Ta có OA OB OC Xét tam giác ABC có OA OB OC nên tam giác vuông C Tức AC  BC Vì AC cắt đường trịn  B  C AC  BC nên AC tiếp tuyến đường tròn  B  b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC có AB  AC  CB  252  AC  152  AC 20 (cm) c) Chứng minh tương tự phần a) ta có AD tiếp tuyến đường tròn  B  Vì tiếp tuyến C D đường trịn  B  cắt A nên AC  AD (1) Và BC BD R (2) Trang Từ (1) (2) suy AB đường trung trực đoạn thẳng CD Suy CD  AB H Xét tam giác vuông ABC với CH đường cao có AC  AH AB  202  AH 25  AH 16 (cm) BC BH BA  152 BH 25  BH 9 (cm) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hai đường tròn  O   O cắt A B Gọi M trung điểm OO Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM , cắt đường tròn  O   O C D Chứng minh AC  AD Câu 2: Cho hai đường tròn tâm O O cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn  O  điểm C , đường thẳng AO cắt đường tròn  O điểm D a) Chứng minh C , B, D thẳng hàng b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng OO CD c) Kẻ CE vuông góc với DA DF vng góc với CA Chứng minh E , F nằm đường tròn  O  O d) Chứng minh ba đường thẳng CE , DF AB đồng quy Bài tập nâng cao Câu 3: Cho đường tròn  O  điểm A nằm đường tròn Trên đoạn OA lấy điểm B cho OB  OA Vẽ đường trịn đường kính AB a) Chứng minh đường trịn đường kính AB tiếp xúc với đường tròn  O  cho trước b) Vẽ đường tròn đồng tâm  O  với đường tròn  O  cho trước, cắt đường tròn đường kính AB C Tia AC cắt hai đường tròn đồng tâm D E ( D nằm C E ) Chứng minh AC CD DE Câu 4: Cho đường tròn  O  , đường kính AB , điểm C nằm A O Vẽ đường trịn  I  có đường kính CB a) Xét vị trí tương đối hai đường tròn  O   I  b) Kẻ dây DE đường tròn  O  vng góc với AC trung điểm H AC Tứ giác ADCE hình gì? Vì sao? c) Gọi K giao điểm DB đường tròn  I  Chứng minh E , C , K thẳng hàng d) Chứng minh HK tiếp tuyến đường tròn  I  Dạng 3: Xác định vị trí tương đối hai đường tròn biết hệ thức d với R, r ngược lại Phương pháp giải Trang 10 Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường Sử dụng kiến thức: a) Hai đường tròn cắt nhau: trịn tâm I  1;  , bán kính R 3 đường tròn R  r  OO  R  r tâm J   2;  1 , bán kính r 2 cm b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau:  Nếu hai đường tròn  O  O tiếp xúc Xác định vị trí tương đối hai đường trịn cho  O  O tiếp xúc ngồi OO R  r  Nếu hai đường tròn Hướng dẫn giải OO R  r c) Hai đường trịn khơng giao nhau:  Nếu hai đường trịn  O  O ngồi OO  R  r  Nếu đường tròn  O  chứa đường trịn  O OO  R  r Gọi H   1;1 thuộc đường tròn  I   90 , IH 3, JH 3 Xét tam giác IHJ có H Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông IHJ có IJ IH  HJ 32  32 18  IJ 3 Ta có IJ 3   R  r Vậy hai đường tròn  I   J  cắt hai điểm phân biệt Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn  O  có đường kính AB Gọi M , N theo thứ tự trung điểm OA, OB Dựng đường trịn tâm M đường kính OA Qua N dựng đường thẳng vng góc với AB cắt  O  điểm C Dựng đường tròn  I  đường kính NC Xét vị trí tương đối đường tròn  O  ,  M  , I Hướng dẫn giải Trang 11 Đặt bán kính đường trịn tâm O Ro x x Khi bán kính đường trịn tâm M RM  Xét tam giác ABC có AB đường kính đường trịn qua ba điểm A, B, C nên ABC tam giác vuông C Xét tam giác vuông ABC với đường cao CN có CN  AN BN  3x x 3x x   CN  2 x Khi bán kính đường tròn  I  RI  CN   Xét vị trí tương đối hai đường tròn  O   M  Ta có OM OA  MA RO  RM Vậy đường tròn  O   M  tiếp xúc A  Xét vị trí tương đối hai đường trịn  O   I  Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng OIN có 2 x2 x  x  x 3 OI ON  IN      OI    16  2   2 Ta có RO  RI  x  x 4  x 4 Ta có OI  RO  RI nên hai đường tròn  O   I  cắt hai điểm phân biệt  Xét vị trí tương đối hai đường tròn  M   I  Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông MIN có MI MN  IN x  x 19 x x 19   MI  16 16 Trang 12 x x 2 Ta có RM  RI    x  MI 4 Vậy hai đường tròn  M   I  không cắt Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Cho góc vng xOy Các điểm A B theo thứ tự di chuyển tia Ox, Oy cho OA  OB k (hằng số) Vẽ đường tròn  A; OB   B; OA  Chứng minh hai đường trịn  A   B ln cắt Bài tập nâng cao Câu Cho hai đường trịn tâm O O có bán kính, cắt A B Đoạn nối tâm OO cắt đường tròn  O   O thứ tự C D Tính bán kính đường trịn biết AB 24 cm, CD 12 cm Câu Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB , đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn điểm C Gọi D E theo thứ tự hình chiếu vng góc A B d a) Các đường tròn  A; AD   B; BE  có vị trí nhau? b) Chứng minh rẳng AB tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE Câu Cho điểm A thuộc đoạn OI cho OA  AI Dựng đường tròn  O; OA   I ; IA  Tiếp tuyến chung ngồi BC hai đường trịn ( B  O  C  I  ) giao với tiếp tuyến chung điểm M a)  O   I  tiếp xúc ngồi A b) Tam giác ABC vng A tam giác OMI vuông M c) Tia AO giao với  O  D , tia OA giao với  I  E , tia DB EC giao K Chứng minh điểm K , M , A thẳng hàng d) Tính diện tích tứ giác OBCI biết OA 16 cm, IA 9 cm Trang 13 ĐÁP ÁN Dạng 1: Các tốn có hai đường trịn tiếp xúc Câu   a) Vì tiếp tuyến A B đường tròn  O  cắt I nên IA IB BIO (1) OIA  IC (2) Vì tiếp tuyến A C đường tròn  O cắt I nên IA IC AIO O Từ (1) (2) suy IA IB IC Xét tam giác ABC có IA IB IC I nằm BC nên tam giác ABC vuông A  Vậy BAC 90   AIC 180  2OIA   AIO 180 b) Ta có BIA   AIO 90 hay OIO   90  OIA c) Xét tam giác vuông OIO với IA đường cao ta có IA2 OA.OA 4.9 36  IA 6 (cm) Ta có BC IB  IC 2 IA 12 cm Câu Ta có OB 1cm, OC 3cm OO 4 cm Dựng OD  OC Suy tứ giác OBCD hình chữ nhật (có góc vng) Do OB CD 1 cm, OD BC  OD OC  CD 2 cm Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng OOD có OO2 OD  DO  42 OD  22  OD 2 (cm)  BC 2 (cm) Dựng tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp điểm chung A , cắt BC M suy MA  OO Và theo tính chất hai tiếp tuyến cắt đường trịn MA MB MC  MA  BC  (cm) Ta lại có OA OC nên OM đường trung trực đoạn thẳng AC Hay MO  AC H HA HC Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng OAM có OM OA2  MA2 32   3  OM 2 (cm) Xét tam giác vuông OAM với đường cao AH có AM AO  AH MO  3.3  AH  AH  (cm)  AC 2 AH 3 (cm) Trang 14 Tương tự ta tính AB  cm Vậy AB  cm, AC 3 cm, BC 2 cm Câu a) Dựng tiếp tuyến chung A hai đường trịn, tiếp tuyến cắt BC M Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt MA MB MC Xét tam giác ABC có MA MB MC M nằm BC ABC vng A  Vậy BAC 90 b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt MO, MO tia phân giác hai góc AMB CMA  Vì AMB CMA hai góc kề bù nên MO  MO Xét tam giác vuông OMO , với MA đường cao có MA2 OA.OA R.r  MA  R.r Mặt khác BC MB  MC 2MA 2 R.r  AC OAD  c) Xét hai tam giác cân OAC OAC có O (góc đáy) nên AOC  AOD Suy OC //OD (1) Mặt khác OB //OC (cùng vuông góc với BC ) (2) Từ (1) (2) suy B, O, D thẳng hàng Câu Do tính chất đối xứng nên BD  OO, CE  OO  BD //CE Do tứ giác BDEC hình thang Kẻ tiếp tuyến chung A đường tròn  O   O , tiếp tuyến cắt BC , DE theo thứ tự M , N Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt MO MO tia phân giác hai góc BMA AMC Mặt khác hai góc BMA AMC kề bù nên MO  MO Xét tam giác vuông OMO với MA đường cao có MA2 OA.OA 36  MA 6  MN 2 MA 12 BC 2 MA 12 Vì M trung điểm BC , N trung điểm DE nên MN đường trung bình hình thang BCED  MN  BD  CE Qua B dựng đường vng góc với CE cắt CE H , cắt OC K Xét tứ giác OBKO có BO //KO (cùng vng góc với BC ); BK //OO (cùng vng góc với CE ) Do tứ giác OBKO hình bình hành, suy BK OO 13 Xét tam giác vuông BCK với đường cao CH có Trang 15 144 BC BH BK  122 BH 13  BH  13 Vậy diện tích tứ giác BCED S BD  CE 144 1728 BH MN BH 12  13 13 Câu Gọi K trung điểm AC , O trung điểm AB Kẻ IH  AB Ta có OK OA  AK 4 cm Gọi x bán kính đường tròn  I  nên OI 6  x Đặt OH a Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng IOH có IH OI  OH  x   x   a (1) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vng IKH có 2 IH IK  KH  x  x     a  (2) 2 Từ (1) (2) ta có   x   a  x     a   a 2  x   a 6  x Với a 2  x thay vào (1) không thỏa mãn Với a 6  x thay vào (1) ta  x 0 2 x   x     x   x  x  3 0    x 3 Với x 0 (loại), x 3  a 0 , H phải trùng với O Vậy bán kính đường trịn  I  cm Dạng 2: Các toán cho hai đường tròn cắt Câu Dựng OI  AC OJ  AD Suy I trung điểm AC J trung điểm AD nên AC 2 AI , AD 2 AJ Xét tứ giác OIJO có OI //OJ (cùng vng góc với IJ ) Suy tứ giác OIJO hình thang I  J 90 nên tứ giác OIJO hình thang vng Có MA  IJ nên MA//OI //OJ Trang 16 Vì M trung điểm OO nên A trung điểm IJ Hay AI  AJ  AI 2 AJ  AC  AD Vậy AC  AD Câu a) Xét tam giác ABC có cạnh AC đường kính đường trịn qua điểm A, B, C nên tam giác vuông B , tức BC  AB (1) Xét tam giác ABD có AD đường kính đường trịn qua điểm A, B, D nên tam giác vuông B , tức BD  AB (2) Từ (1) (2) suy B, C , D thẳng hàng b) Xét tam giác ACD có O trung điểm AC ; O trung điểm AD Suy OO đường trung bình tam giác ACD Vậy OO // CD OO  CD c) Vì tam giác ACE vng E nên OA OC OE Khi E nằm đường trịn tâm O đường kính AC Vì tam giác ADF vng F nên OA OD OF Khi F nằm đường trịn tâm O đường kính AD d) Gọi I giao điểm CE DF Xét tam giác ICD có đường cao DE CF cắt A nên A trực tâm tam giác ICD Suy IA  CD Mặt khác, ta có AB  CD Do A, B, I thẳng hàng Vậy AB, CE , DF đồng quy điểm I Câu a) Gọi O tâm đường trịn đường kính AB Ta có đường trịn  O   O cắt A Và OO OA  OA (với OA bán kính đường trịn  O  OA bán kính đường tròn  O ) Trang 17 Vậy đường tròn  O   O tiếp xúc với điểm A b) Dựng OI  CD Suy I trung điểm CD hay IC ID (1) Xét tam giác OAE có OA OE nên tam giác cân O Khi OI vừa đường cao, vừa trung tuyến Hay IA IE  AC  CI DE  ID (2) Từ (1) (2) suy AC DE (*) Tam giác ABC có AB đường kính đường trịn qua điểm A, B, C nên tam giác vuông C hay AC  BC Xét tam giác AIO có BC //OI (cùng vng góc với AI ) nên ta có AC AB  2  AC 2 IC  AC CD IC OB (**) Từ (*) (**) ta có AC CD DE Câu a) Ta có B nằm hai đường tròn  O   I  Đường trịn  O  có bán kính R OB , đường trịn  I  có bán kính r IB Khi R  r OB  IB OI Vậy hai đường tròn  O   I  tiếp xúc với B b) Xét đường trịn  O  có OA  CD H nên H trung điểm DE Theo giả thiết H trung điểm AC Xét tứ giác ADCE có hai đường chéo AC DE cắt trung điểm đường nên tứ giác ADCE hình bình hành Mặt khác AC  DE nên tứ giác ADCE hình thoi c) Xét tam giác ABD có AB đường kính đường tròn  O  qua điểm A, B, D nên tam giác ABD vuông D Xét tam giác vng ABD với DH đường cao có ADH  ABD (cùng phụ góc BAD ) (1)  Vì ADCE hình thoi nên ADH HEC (2) Trang 18  Từ (1) (2) suy HEC  ABD Xét tam giác EKD BHD có  góc chung; BDE  HEC  ABD (chứng minh trên) Suy EKD BHD    EKD BHD 90 hay EK  BD (3) Xét tam giác BCK có BC đường kính đường trịn qua điểm B, C , K nên tam giác BCK vuông K , hay CK  BD (4) Từ (3) (4) suy E , C , K thẳng hàng d) Xét tam giác EKD vuông K có KH đường trung tuyến nên HK HD HE   Do tam giác HKE cân H nên HEC HKE (*)   Lại có tam giác IBK cân I nên IKB IBK (**)  Mặt khác HEC  ABD (chứng minh trên) (***)   Do từ (*), (**) (***) ta có HKC IKB      Ta có HKI HKC  CKI IKB  CKI 90 Hay HK  IK Vậy HK tiếp tuyến đường tròn  I  Dạng 3: Xác định vị trí tương đối hai đường trịn biết hệ thức d với R, r ngược lại Câu Xét tam giác OAB , theo bất đẳng thức tam giác có OA  OB  AB  OA  OB Vậy hai đường tròn  A   B  cắt hai điểm phân biệt Câu Gọi H giao điểm AH HB  AB CD , suy AB 12 (cm) Xét tam giác vuông OHB , áp dụng định lý Py-ta-go ta có OB OH  HB  R  R    122  R 15 (cm) Trang 19 Vậy R 15 (cm) Câu a) Vì AD  DE , BE  DE nên ABED hình thang vng Vì DE tiếp tuyến đường trịn  C  C nên OC  DE  AD //OC //BE Mặt khác O trung điểm AB nên OC đường trung bình hình thang ABED Suy AD  BE 2OC  AB Vậy đường tròn  A; AD   B; BE  tiếp xúc với b) Dựng CH  AB  Ta có tam giác OBC cân O nên ABC OCB (1)   Vì OC //BE nên OCB (so le trong) CBE (2)   Từ (1) (2) suy OBC CBE Xét tam giác CBH CBE có   CHB CEB 90 ; BC cạnh chung;   (chứng minh trên) OBC CBE Suy CBH CBE (cạnh huyền – góc nhọn)  CH CE Vì C tâm đường trịn đường kính DE CH  AB, CH  DE nên AB tiếp tuyến đường trịn đường kính DE , với tiếp điểm H Câu a) Ta có OI OA  AI Khoảng cách hai tâm tổng bán kính Suy  O   I  tiếp xúc A b) Xét tam giác ABC ta có: Trang 20