Bài 8 bài toán về parabol và đường thẳng

BÀI BÀI TOÁN VỀ PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết trình bày điều kiện để đường thẳng d : y = mx + n parabol ( P ) : y = ax ( a ¹ 0) khơng cắt nhau; tiếp xúc nhau; cắt hai điểm phân biệt + Vận dụng định lí Vi-ét hệ định lí Vi-ét vào giải tập tìm giá trị tham số để đường thẳng tiếp xúc với parabol; đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn biểu thức đối xứng, biểu thức không đối xứng liên quan đến tung độ  Kĩ + Biết cách lập phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng parabol + Rèn luyện kỹ tính tốn xác, trình bày cẩn thận Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM  Cho đường thẳng d : y = mx + n parabol ( P ) : y = ax ( a ¹ 0) Khi số giao điểm d (P) số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm chúng  Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d parabol (P) ax = mx + n Û ax - mx - n = (1) Phương trình (1) có biệt thức D = m + 4an  Nếu D < đường thẳng d parabol (P) khơng có  giao điểm hay đường thẳng d khơng cắt parabol (P) Nếu D = đường thẳng d parabol (P) có giao điểm hay đường thẳng d tiếp xúc với parabol (P)  Nếu D > đường thẳng d parabol (P) có hai giao điểm hay đường thẳng d cắt parabol (P) hai điểm phân biệt II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc parabol, tìm tọa độ tiếp điểm Phương pháp giải Giả sử đường thẳng d : y = mx + n parabol Ví dụ: Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( P ) : y = ax ( a ¹ 0) d : y = x + m Tìm m để d (P) tiếp xúc Ta thực theo bước sau Khi tìm tọa độ tiếp điểm Bước Xét phương trình hoành độ giao điểm Hướng dẫn giải d (P) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d ax = mx + n Û ax - mx - n = (∗) (P) ta có Bước Lập luận để d tiếp xúc với (P) x = x + m Û x - x - m = (∗) Trang phương trình (∗) có nghiệm kép Có D = ( - 1) - 4.1.( - m) =1 + 4m Û D = (hoặc D ¢= ) tìm tham số d tiếp xúc với (P) phương trình (∗) Bước Thay giá trị tham số tìm vào phương có nghiệm kép trình (∗) ta tìm x, thay x vừa tìm vào y = ax y = mx + n tìm y kết luận Û D = Û + 4m = Û m =- Với m =- , thay vào (∗) ta 1 x2 - x + = Û x = Þ y = 4 Vậy với m =- d tiếp xúc với (P) tọa độ ỉ 1ư ; ÷ ÷ tip im l Aỗ ỗ ữ ỗ ố2 ứ Ví dụ mẫu Ví dụ Cho parabol ( P ) : y =- x đường thẳng d : y = mx - 2m - Tìm giá trị m cho d tiếp xúc với (P) Khi tìm tọa độ tiếp điểm (P) (d) Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có - x = mx - 2m - Û x + 4mx - 8m - = (∗) 2 Phương trình (∗) có D ¢= ( 2m) - 1.( - 8m - 4) = 4m +8m + = ( m +1) Để d tiếp xúc (P) phương trình (∗) có nghiệm kép Û D ¢= Û ( m +1) = Û m +1 = Û m =- Thay m =- vào (∗), ta x - x + = Û ( x - 2) = Û x = Þ y =- 2 =- Vậy với m =- d tiếp xúc với (P) tọa độ tiếp điểm A( 2; - 1) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = ( m + 3) x - m - Tìm m để d tiếp xúc với (P) Khi tìm tọa độ tiếp điểm Câu 2: Cho parabol đường thẳng ( d ) : y = x + 3m Tìm giá trị m để (d) (P) tiếp xúc Khi tìm tọa độ tiếp điểm Trang Dạng Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn biểu thức đối xứng Phương pháp giải Giả sử đường thẳng d : y = mx + n parabol Ví dụ: Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( P ) : y = ax ( a ¹ 0) Ta thực theo d : y = 2mx - 2m +1 Tìm m để d cắt (P) hai bước sau điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn Bước Xét phương trình hồnh độ giao điểm x12 + x2 = d (P) ax = mx + n Û ax - mx - n = (∗) Bước d (P) cắt hai điểm phân biệt A B phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D > (hoặc D ¢> ) Bước Biến đổi biểu thức đối xứng với x A , xB dạng tổng x A + xB ; tích x A xB sử dụng định lí Vi-ét với xA , xB hai nghiệm phương trình (∗) Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = 2mx - 2m +1 Û x - 2mx + 2m - = (∗) 2 D ¢= ( - m) - 1.( 2m - 1) = m - 2m +1 = ( m - 1) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢> Û ( m - 1) > Û m ¹ ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m a Theo định lí Vi-ét ta có ïí ïï c ïï x1 x2 = = 2m - a ïỵ Theo x12 + x22 = Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 = (∗∗) Thay x1 + x2 = 2m ; x1 x2 = 2m - vào (∗∗) ta ( 2m) - 2.( 2m - 1) = Û 4m - 4m + = ém = Û 4m ( m - 1) = Û ê ê ëm = Kết hợp với điều kiện m ¹ ta m = Vậy m = giá trị cần tìm Một số điều kiện phép biến đổi cần nhớ  Hai điểm A B nằm phía trục Oy x A , xB dấu  Hai điểm A B nằm bên phải trục Oy xA , xB dương  Hai điểm A B nằm bên trái trục Oy x A , xB âm  Hai điểm A B nằm hai phía trục Oy x A , xB trái dấu Trang Cơng thức tính y A theo x A tính yB theo xB 2 Cách Tính theo (P): A, B Ỵ ( P ) : y = ax nên y A = ax A ; yB = axB Cách Tính theo d: A, B Ỵ d : y = mx + n nên y A = mxA + n ; yB = mxB + n Giả sử: x A = x1 ; xB = x2  x12 + x2 = x12 + x1 x2 + x2 - x1 x2 = ( x1 + x2 ) - x1 x2  x1 - x2 xét x1 - x2 = ( x1 - x2 ) = x12 - x1 x2 + x2 = ( x1 + x2 ) - x1 x2  x1 + x2 xét ( x1 + x2 )  x1 , 2 2 2 = x1 + x2 + x1 x2 = x12 + x2 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) + x1 x2 - x1 x2 ìï b ïï x1 + x2 =- ³ a x2 cần thêm điều kiện phụ x1 ³ ; x2 ³ Û ïí ïï c x x = ³ ïï a ïỵ  ìï b ïï x1 + x2 =- > a x1 , x2 độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ x1 , x2 > Û ïí ïï c ïï x1 x2 = > a ỵï  Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ hai vế lớn Ví dụ mẫu Ví dụ Cho Parabol ( P ) : y = x d : y = ( 2m + 3) x + 2m + Tìm m để (P) d cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = ( 2m + 3) x + 2m + Û x - ( 2m + 3) x - 2m - = (∗) Phương trình (∗) có a - b + c = +( 2m + 3) - 2m - = nên phương trình có hai nghiệm x1 =- ; x2 = 2m + Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û x1 ¹ x2 Û - ¹ 2m + Û m ¹ - Theo x1 + x2 = Û + 2m + = Û 2m + = é2m + = Û ê Û ê ë2m + =- ém = ê m ¹ - ) (thỏa mãn ê ëm =- Vậy m Ỵ { - 4;0} giá trị cần tìm Trang Ví dụ Cho ( P ) : y = x d : y = ( m +1) x - 2m Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo 12 Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = ( m +1) x - 2m Û x - ( m +1) x + 2m = 2 ù D ¢= é ë- ( m +1) û - 1.2m = m + 2m +1- 2m = m +1 > , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m + ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = = 2m a ïỵ Do x1 , x2 độ dài hai cạnh hình chữ nhật nên x1 > , x2 > ìï x + x2 > Û ïí Û ïỵï x1 x2 > ïíìï 2m + > Û m > ïỵï 2m > Mặt khác hình chữ nhật có độ dài đường chéo 12 nên theo định lí Py-ta-go ta có x12 + x2 = 12 Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 12 Thay x1 + x2 = 2m + ; x1 x2 = 2m vào ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 12 ta ( 2m + 2) - 2.2m = 12 Û 4m2 + 8m + - 4m = 12 ém = Û 4m + m - = Û m + m - = Û ê ê ëm =- Kết hợp với điều kiện m > ta m = Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = 2mx - m +1 Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = 2mx - m +1 Û x - 2mx + m - = (∗) ỉ 1ư "m D ¢= ( - m) - 1.( m - 1) = m - m +1 = ỗ m- ữ + ữ ç ÷ >0, ç è 2ø 2 Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m Trang ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = = m - a ïỵ x1 ; Để tồn x2 cần có x1 ³ ; x2 ³ ìï x + x2 ³ ïìï 2m ³ Û ïí Û í Û m ³ ïỵï x1 x2 ³ ïỵï m - ³ x1 + x2 = Û x1 + x2 + x1 x2 = Khi Û 2m + m - = Û m- = 2- m ïì - m ³ Û ïí Û ïỵï m - = m2 - 4m + ïìï £ m £ í ïỵï m - 5m + = ïìï £ m £ ïï ïï é êm = + 5- Û ïí ê Û m= ïï ê ïï ê 5- m= ïï ê ê ïỵ ë Vậy m = 5- giá trị cần tìm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = mx + Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân 2 biệt có hồnh độ x1 , x2 cho x1 + x2 - x1 x2 = 14 Câu 2: Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = ( m - 2) x - 4m +13 Tìm m để d cắt (P) hai 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức A = x1 + x2 + x1 x2 + 2018 đạt giá trị nhỏ Câu 3: Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = ( m - 1) x - 2m + Tìm m để d cắt (P) hai 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị lớn Bài tập nâng cao Câu 4: Cho Parabol ( P ) : y =- x d : y = mx + 2m - Tìm m để (P) d cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 - x2 = Câu 5: Cho Parabol ( P ) : y = x d : y = ( 2m +1) x - 2m Tìm m để (P) d cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 - x2 = Trang Câu 6: Cho ( P ) : y = x d : y = ( m - 1) x + - 2m Tìm m để d (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền 10 Dạng Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt, hồnh độ thỏa mãn biểu thức khơng đối xứng Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng Bước Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) d : y = 2mx - m + Tìm m để d cắt (P) hai Bước Tìm điều kiện để d cắt (P) hai điểm phân biệt điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Bước Áp dụng định lí Vi-ét tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm sau thực hai cách sau Hướng dẫn giải Cách Kết hợp điều kiện toán với x = 2mx - m2 + Û x - 2mx + m2 - = (∗) x1 + x2 =- b để giải x1 , x2 theo tham số a c thay x1 , x2 vừa giải vào x1 x2 = a Cách Nếu tính D D ¢ mà biểu thức bình phương ta tìm hai nghiệm phải xét hai trường hợp:  Trường hợp 1: Xét x1 = - b+ D - b- D ; x2 = 2a 2a  Trường hợp 2: Xét x1 = - b- D - b+ D ; x2 = 2a 2a Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có Û D ¢= ( - m) - 1.( m2 - 4) = m2 - m2 + = > , "m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = = m - a ïỵ Kết hợp với điều kiện x1 + x2 = ta ìïï x1 + x2 = 2m Û í ïỵï x1 + x2 = ìïï x2 = - 2m Û í ïỵï x1 + x2 = 2m ìïï x2 = - 2m í ïỵï x1 = 4m - Thay x1 = 4m - ; x2 = - 2m vào x1 x2 = m - ta ( 4m - 3) ( - 2m) = m2 - Û 18m - 8m - = m - é êm = ê Û 9m - 18m + = Û ê (thỏa mãn) ê êm = ê ë ìï ü ï Vậy m Ỵ í ; ý giỏ tr cn tỡm ùùợ 3ùùỵ Vớ d mu Trang Ví dụ Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x - m - Tìm m để d (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x1 x2 + 3x2 = Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = x - m - Û x - x + m +1 = (∗) D = ( - 1) - 4.1.( m +1) = 1- 4m - =- 4m - Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D > Û - 4m - > Û m Û 13 - 4m > Û m < 13 Trang 10 ìï b ïï x1 + x2 =- = ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = = m - a ïỵ 2 Vì A, B Ỵ ( P ) : y = ax nên y1 = x1 ; y2 = x2 2 Do y1 + y2 = 3( x1 + x2 ) Û x1 + x2 = 3( x1 + x2 ) Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 - 3( x1 + x2 ) = (∗∗) Thay x1 + x2 = ; x1 x2 = m - vào (∗∗), ta 12 - ( m - 3) - 3.1 = Û - 2m + = Û 2m = Û m = (thỏa mãn) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ Cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = mx + Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 + y2 - x1 x2 > 25 Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = mx + Û x - mx - = D = ( - m) - 4.1.( - 3) = m2 +12 > , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m ìï b ïï x1 + x2 =- = m ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = =- a ïỵ 2 Vì A, B Î ( P ) : y = x nên y1 = x1 ; y2 = x2 Do đó, y1 + y2 - x1 x2 > 25 Û x12 + x2 - x1 x2 > 25 Û ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 > 25 (∗) Thay x1 + x2 = m ; x1 x2 =- vào (∗), ta ém > m - 3.( - 3) > 25 Û m2 + > 25 Û m >16 Û ê (thỏa mãn) ê ëm Vậy ê giá trị cần tìm ê ëm Câu Cho parabol ( P ) : y =- x đường thẳng d : y = x + m - Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1 y1 - x2 y2 - x1 x2 =- Dạng Bài toán liên quan đến độ dài, diện tích Ghi nhớ số cơng thức khoảng cách  Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm  Nếu A( a;0) Ỵ Ox OA = x A = a  Nếu B ( 0; b) Ỵ Oy OB = yB = b  Khoảng cách hai điểm trục Ox Oy  Nếu A, B Î Ox (hoặc AB//Ox) AB = x A - xB  Nếu M , N Ỵ Oy (hoặc MN//Oy) MN = yM - y N  Khoảng cách hai điểm A( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) (công thức cần chứng minh sử dụng) AH = x A - xB BH = y A - yB 2 AB = AH + BH = ( x A - xB ) +( y A - yB ) Ví dụ mẫu x2 Ví dụ Cho parabol ( P ) : y = đường thẳng d : y = mx - m +1 Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) nằm hai phía trục tung cho SDKOA = (K giao điểm d SDKOB với Oy) Hướng dẫn giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x2 = mx - m +1 Û x - 2mx + 2m - = (∗) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung phương trình (∗) có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu Û ac < Û 2m - < Û m , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m ìï b ïï x1 + x2 =- = m a Theo định lí Vi-ét ta có ïí ïï c ïï x1 x2 = =- a ïỵ Theo x12 + x2 - 3x1 x2 = 14 Û ( x1 + x2 ) - 5x1 x2 = 14 (∗∗) Trang 14 Thay x1 + x2 = m ; x1 x2 =- vào (∗∗) ta m2 - 5( - 2) =14 Û m2 +10 =14 Û m2 = Û m = ±2 (thỏa mãn) Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Câu Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = ( m - 2) x - 4m +13 Û x - ( m - 2) x + 4m - 13 = 2 2 ù D ¢= é ë- ( m - 2) û - 1.( 4m - 13) = m - 4m + - 4m +13 = m - 8m +17 = ( m - 4) +1 > , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m - a Theo định lí Vi-ét ta có ïí ïï c ïï x1 x2 = = 4m - 13 a ỵï Theo A = x12 + x2 + x1 x2 + 2018 = ( x1 + x2 ) + x1 x2 + 2018 Thay x1 + x2 = 2m - ; x1 x2 = 4m - 13 vào biểu thức A ta A = ( 2m - 4) + ( 4m - 13) + 2018 = 4m - 16m +16 +8m - 26 + 2018 = 4m2 - 8m + 2008 = ( m - 1) + 2004 ³ 2004 , " m Vậy Amin = 2004 m - = Û m = Câu Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = ( m - 1) x - 2m + Û x - ( m - 1) x + 2m - = 2 2 ù D ¢= é ë- ( m - 1) û - 1.( 2m - 5) = m - 2m +1- 2m + = m - 4m + = ( m - 2) + > , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m - ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = = 2m - a ïỵ 2 2 = x1 x2 - ( x1 + x2 ) ( x + x2 ) - x1 x2 ù Theo A = x1 x2 - x1 - x2 = x1 x2 - é ê ú ë1 û Thay x1 + x2 = 2m - ; x1 x2 = 2m - vào biểu thức A ta A = ( 2m - 5) - ( 2m - 2) = 12m - 30 - 4m + 8m - =- 4m + 20m - 34 éỉ ư2 ù ỉ2 17 ờỗm - ữ ỳ ữ ỗ =- ỗm - 5m + ữ ữ ỗ ữ=- ờố ữ + ỳ=ỗ ỗ ố ứ 2ứ ỳ ỷ ổ 5ử 4ỗ m- ữ ữ ỗ ữ- Ê - , " m ỗ ố 2ø Trang 15 Vậy Amax =- m - 5 =0 Û m = 2 Bài tập nâng cao Câu Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có - x = mx + 2m - Û x + 2mx + 4m - = (∗) 2 D ¢= m - 1.( 4m - 4) = m - 4m + = ( m - 2) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢> Û ( m - 2) > Û m ¹ ìï b ïï x1 + x2 =- =- 2m ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = = 4m - a ïỵ Theo x1 - x2 =1 Û ( x1 - x2 ) =1 Û x12 - x1 x2 + x2 =1 Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 - = (∗∗) Thay x1 + x2 =- 2m ; x1 x2 = 4m - vào (∗∗) ta é êm = ê ( - 2m) - ( 4m - 4) - = Û 4m - 16m +15 = Û ê (thỏa mãn) ê êm = ê ë ìï ü ï Vậy m Ỵ í ; ý l giỏ tr cn tỡm ùùợ 2 ùùỵ Cõu Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = ( 2m +1) x - 2m Û x - ( 2m +1) x + 2m = (∗) 2 D = ( 2m +1) - 4.2m = 4m2 + 4m +1- 8m = 4m - 4m +1 = ( 2m - 1) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D > Û ( 2m - 1) > Û m ¹ ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m +1 a Theo định lí Vi-ét ta có ïí ïï c ïï x1 x2 = = 2m a ỵï Theo x1 - x2 = Û ( x1 - x2 ) = Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 - x1 x2 = (∗∗) Trang 16 Thay x1 + x2 = 2m +1 ; x1 x2 = 2m vào (∗∗) ta ( 2m +1) - 2.2m - 2m = Û 4m + 4m +1- 4m - m - = Û 4m - m - = (1) é êm =ê 2 Trường hợp 1: Nếu m ³ ( 1) Û 4m - 4m - = Û ê ê êm = ê ë ìï ïï m ¹ ta m = Kết hợp điều kiện í ïï ïỵ m ³ é êm =ê 2 Trường hợp 2: Nếu m < ( 1) Û 4m + 4m - = Û ê ê êm = ê ë Kết hợp điều kiện m < ta m =- ïì 3 ïü Vậy m Ỵ í - ; ý giá trị cần tỡm ùợù 2 ùùỵ Cõu Phng trỡnh honh độ giao điểm d (P) x = ( m - 1) x + - 2m Û x - ( m - 1) x + 2m - = (∗) 2 2 ù D ¢= é ë- ( m - 1) û - 1.( 2m - 3) = ( m - 1) - 2m + = m - 4m + = ( m - 2) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢> Û ( m - 2) > Û m ¹ ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m - ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = = 2m - a ïỵ Do x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông nên x1 > , x2 > ïì x + x2 > Û ïí Û ïỵï x1 x2 > ïíïì 2m - > Û m > ïỵï 2m - > Do x1 ¹ x2 tam giác vng có độ dài cạnh huyền 10 nên theo định lí Py-ta-go ta có x12 + x2 = 10 Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 10 Thay x1 + x2 = 2m - , x1 x2 = 2m - vào ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 10 ta ém = ëm = ( 2m - 2) - ( 2m - 3) =10 Û 4m - 12m +10 =10 Û 4m ( m - 3) = Û ê ê Trang 17 Kết hợp với điều kiện m > ta m = Vậy m = giá trị cần tìm Dạng Tìm tham số để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt, hoành độ thỏa mãn biểu thức khơng đối xứng Câu Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có - x =- mx - Û x - mx - = (∗) D = ( - m) - 4.1.( - 2) = m + > , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m ìï b ïï x1 + x2 =- = m a Theo định lí Vi-ét ta có ïí ïï c ïï x1 x2 = =- a ïỵ ïì x1 + x2 = m Û Kết hợp với điều kiện đề bài, ta có hệ ïí ïỵï x1 + x2 = ïìï x2 = - m Û í ïỵï x1 + x2 = m ïìï x2 = - m í ïỵï x1 = 2m - Thay x1 = 2m - ; x2 = - m vào x1 x2 =- ta ém = ê ( 2m - 3) ( - m) =- Û - 2m + 9m - =- Û 2m - 9m + = Û ê (thỏa mãn) êm = ê ë 2 ì 7ü Vậy m Ỵ ïí 1; ïý l giỏ tr cn tỡm ùợù ùỵ ù Cõu Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = x - m +1 Û x - x + m - = (∗) D ¢= ( - 3) - 1.( m - 1) = - m +1 =10 - m Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û D ¢> Û 10 - m > Û m , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với m ìï b ïï x1 + x2 =- = 2m + ï a Theo định lí Vi-ét ta có í ïï c ïï x1 x2 = =- a ïỵ Vì a.c =- < nên phương trình có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu Trường hợp 1: x1 < < x2 Þ x1 =- x1 , x2 = x2 Ta có x1 + x2 = Û - x1 + x2 = ìï - x1 + x2 = Û Ta có hệ phương trình ïí ïỵï x1 + x2 = 2m + Thay x1 = ìïï x1 = 2m - Û í ïỵï x1 + x2 = 2m + 2m - ïìï ïï x1 = í ïï 4m + ïï x2 = ïỵ 2m - 4m + ; x2 = vào x1 x2 =- ta 3 2m - 4m + =- Û ( 2m - 3) ( 4m + 9) =- 27 Û 8m + 6m - 27 =- 27 3 ém = ê Û 8m + 6m = Û m ( 8m + 6) = Û ê (thỏa mãn) êm =ê ë Trường hợp 2: x2 < < x1 Þ x1 = x1 ; x2 =- x2 Ta có x1 + x2 = Û x1 - x2 = ìï x1 - x2 = Û Ta có hệ phương trình ïí ïỵï x1 + x2 = 2m + Thay x1 = ìïï x1 = 2m + Û í ïỵï x1 + x2 = 2m + 2m + ïìï ïï x1 = í ïï 4m - ïï x2 = ïỵ 2m + 4m - ; x2 = vào x1 x2 =- ta 3 2m + 4m - =- Û ( 2m + 7) ( 4m - 1) =- 27 Û 8m + 26m - =- 27 3 Trang 19 ém =- ê Û 8m + 26m + 20 = Û ê (thỏa mãn) êm =ê ë ì ü Vậy m Î ïí - 2; - ; - ;0ïý giá tr cn tỡm ùợù 4 ùùỵ Cõu Xột phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = ( m - 1) x - m + 2m + Û x - ( m - 1) x + m - 2m - = (∗) 2 ù D ¢= é ë- ( m - 1) û - 1.( m - 2m - 3) = m - 2m +1- m + 2m + = > , " m Do d ln cắt (P) hai điểm phân biệt Vì D ¢= nên hai nghiệm phương trình (∗) x = éx = m +1 m - 1± Û ê ê ëx = m - Trường hợp 1: Xét x1 = m +1 , x2 = m - 3( m ³ 3) thay vào x1 +1 = x2 ta ïì m + ³ m + = m - Û ïí Û ïï ( m + 2) = m - ỵ ìï m ³ - Û ïí Û ïỵï m + 3m + = ìï m ³ - íï ïïỵ m + 4m + = m - ïìï m ³ - 2 ïíï ỉ (loại) 3ư 19 ÷ ïï ç m + + = ÷ ç ÷ ùùợ ỗ ố 2ứ Trng hp 2: Xột x1 = m - , x2 = m +1( m ³ - 1) thay vào x1 +1 = x2 ta ïì m - ³ m - = m +1 Û ïí Û ïï ( m - 2) = m +1 ỵ ìï m ³ íï ïïỵ m - 4m + = m +1 ïìï m ³ ïï ïï ìïï + 13 ìï m ³ + 13 m= ï ï Û í Û í ïïï Û m= (thỏa mãn m ³ - ) ïỵï m - 5m + = ïï í ïï ïï - 13 ïï ïï m = ïỵ ïỵ Vậy m = + 13 giá trị cần tìm Câu Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P) ta có x = ( m - 3) x - m + Û x - ( m - 3) x + m - = (∗) Phương trình (∗) có a + b + c = 1- m + + m - = nên phương trình có hai nghiệm x = ; x = m - Để d cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt Û x1 ¹ x2 Û ¹ m - Û m ¹ Trang 20