Phân tích ứng xử động của tấm fgm chịu tải trọng điều hòa di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

TRẦN THÁI CHƯƠNG

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA TẤM FGM CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HỊA DI ĐỘNG CĨ XÉT ẢNH HƯỞNG

NHIỆT ĐỘ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã ngành: 8580201

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trang 2

CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG – HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS TS Vũ Tân Văn

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Trần Minh Thi

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 11 tháng 07 năm 2023

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 PGS TS Hồ Đức Duy – Chủ tịch Hội đồng 2 TS Thái Sơn – Thư ký

3 PGS TS Vũ Tân Văn – Ủy viên (Phản biện 1) 4 TS Trần Minh Thi – Ủy viên (Phản biện 2) 5 TS Hà Minh Tuấn – Ủy viên

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Trang 3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRẦN THÁI CHƯƠNG MSHV: 2070510

Ngày, tháng, năm sinh: 17/04/1992 Nơi sinh: Tp HCM Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201

I TÊN ĐỀ TÀI:

Phân tích ứng xử động của tấm FGM chịu tải trọng điều hòa di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Dynamic analysis of FGM plate under moving harmonic loads considering effects of temperature using Moving Element Method II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Thiết lập phương trình chủ đạo ứng xử động kết cấu tấm FGM chịu tải di động 2 Lập trình qui trình tính tốn kết cấu bằng phần mềm Matlab, giải hệ phương trình chuyển động tổng thể của tấm, từ đó tính tốn các đại lượng có liên quan 3 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình đã lập trình bằng cách so sánh kết quả của

chương trình với kết quả các tài liệu tham khảo

4 Tiến hành khảo sát các ví dụ số nhằm xem xét ảnh hưởng của các yếu tố khác nhau đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra các kết luận và kiến nghị

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 06/02/2023 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 11/06/2023

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Lương Văn Hải

Tp HCM, ngày 11 tháng 06 năm 2023

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

PGS TS Lương Văn Hải TS Nguyễn Hồng Ân TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

(Họ tên và chữ ký)

Trang 4

i

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, học viên xin chân thành bày tỏ lời biết ơn chân thành đến thầy PGS TS Lương Văn Hải Thầy đã đồng hành cùng học viên trong suốt chặng đường nghiên cứu, ngoài vấn đề hỗ trợ về mặt chun mơn, cịn là người truyền cảm hứng cho học viên trong việc lựa chọn đề tài và nguồn động lực bền bỉ để học viên có thể hồn thành tốt luận văn này

Bên cạnh đó, học viên xin gửi lời cảm ơn đến Quý thầy cô công tác tại Bộ môn Sức bền - Kết cấu và Bộ môn Công trình, Khoa Kỹ thuật xây dựng trường Đại học Bách khoa Tp HCM, đã truyền thụ những kiến thức chuyên ngành quí giá về mặt lý thuyết lẫn thực tế trong quá trình học tập tại nơi này, giúp cho học viên vững vàng hơn trên con đường học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó, học viên cũng chân thành tri ân đến những tác giả của các tài liệu tham khảo đã giúp cho học viên có một hướng nhìn tổng quan hơn về ý nghĩa, giá trị và những định hướng phát triển tiềm năng của ngành kỹ thuật xây dựng nước nhà

Học viên cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến NCS Đỗ Ngọc Thuận đã giúp đỡ học viên rất nhiều trong công tác trình bày phần lý thuyết và nội dung của luận văn

Sau cùng, học viên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến đấng sinh thành là mẹ và cha đã cho học viên một hình hài hồn chỉnh để có thể tiếp thu kiến thức từ những người thầy và các đồng nghiệp một cách trọn vẹn, và chị hai đã luôn động viên, ủng hộ học viên về khía cạnh vật chất lẫn tinh thần trong suốt thời gian qua

Xin trân trọng cảm ơn

Tp HCM, ngày 11 tháng 06 năm 2023

Trang 5

ii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trang 6

iii

SUMMARY

Trang 7

iv

LỜI CAM ĐOAN

Học viên xin cam đoan nghiên cứu được trình bày ở đây do chính học viên thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS TS Lương Văn Hải

Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Học viên xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện nghiên cứu của mình

Tp HCM, ngày 11 tháng 06 năm 2023

Trang 8

v

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN… i

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ ii

LỜI CAM ĐOAN iv

MỤC LỤC……… v

DANH MỤC HÌNH ẢNH viii

DANH MỤC BẢNG BIỂU ix

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT x

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.1.1 Vật liệu chức năng 1

1.1.2 Bài toán tấm chịu tải trọng di động 2

1.2 Tính cấp thiết của đề tài 2

1.3 Tình hình nghiên cứu 5

1.3.1 Các cơng trình nghiên cứu của tác giả ngoài nước 5

1.3.2 Các cơng trình nghiên cứu của tác giả trong nước 10

1.3.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 12

1.4 Phạm vi nghiên cứu 13

1.5 Cấu trúc luận văn 13

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 15

2.1 Bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 15

2.2 Tải trọng điều hòa 16

2.3 Lý thuyết tấm vật liệu chức năng FGM 17

2.3.1 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng 19

2.3.2 Mơ hình nền đàn nhớt Pasternak 23

2.3.3 Thiết lập phương trình chuyển động của tấm 24

2.4 Phương pháp MEM cho bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 26

2.4.1 Phần tử đẳng tham số 26

Trang 9

vi

2.5 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng xử động tấm FGM trên nền Pasternak

chịu tải trọng di chuyển 37

2.6 Phương pháp Newmark 42

2.6.1 Xác định nghiệm dạng gia tốc 43

2.6.2 Xác định nghiệm dạng chuyển vị 43

2.7 Thơng số đầu vào và thuật tốn sử dụng 45

2.7.1 Thông số đầu vào 45

2.7.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị 46

2.7.3 Độ ổn định và hội tụ của phương pháp Newmark 46

2.8 Lưu đồ tính tốn 47

CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 48

3.1 Kiểm chứng chương trình Matlab 50

3.1.1 Bài tốn 1: Phân tích ứng xử động bài toán tấm đồng nhất chịu tải trọng điều hịa di động với vận tốc khơng đổi, khơng xét ảnh hưởng nhiệt độ…… 50

3.1.2 Bài toán 2: Phân tích ứng xử động cho bài tốn tấm chịu tải trọng là hằng số, di động với vận tốc khơng đổi, có xét ảnh hưởng nhiệt độ 52

3.2 Phân tích động lực học tấm FGM trên nền Pasternak chịu tác dụng tải trọng di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ 54

3.2.1 Bài toán 3: Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị tấm chịu tải trọng điều hòa di động theo bước lặp thời gian và kích thước lưới , có xét ảnh hưởng nhiệt độ 54

3.2.2 Bài toán 4: Khảo sát ảnh hưởng bậc tự do nút (DOF) trong hai trường hợp DOF=3 và DOF=5 đối với chuyển vị tấm chịu tải trọng hằng số, di động với vận tốc khơng đổi, có xét ảnh hưởng nhiệt độ 55

Trang 10

vii

3.2.4 Bài toán 6: Khảo sát ảnh hưởng của vận tốc di chuyển V đến ứng

xử động lực học tấm trên nền Pasternak, chịu tác dụng của tải điều hịa di

động, có xét ảnh hưởng của nhiệt độ 61

3.2.5 Bài toán 7: Khảo sát mối tương quan giữa tần số tải điều hòa di động ωo và chỉ số tỉ lệ thể tích n đến ứng xử động lực học tấm trên nền Pasternak, có xét ảnh hưởng của nhiệt độ 63

3.2.6 Bài toán 8: Khảo sát mối tương quan giữa tần số tải điều hòa di động ωo và hệ số cản nền cf đến ứng xử động lực học tấm trên nền Pasternak, có xét ảnh hưởng của nhiệt độ 65

3.2.7 Bài toán 9: Khảo sát ảnh hưởng của độ lệch pha φ giữa hai tải trọng điều hòa di động đến ứng xử động lực học của tấm trên nền Pasternak, có xét ảnh hưởng nhiệt độ 67

3.2.8 Bài toán 10: Khảo sát ảnh hưởng của khoảng cách a giữa hai tải trọng điều hòa di động đến ứng xử động lực học của tấm trên nền Pasternak, có xét ảnh hưởng nhiệt độ 70

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 73

4.1 Kết luận 73

4.2 Kiến nghị 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

PHỤ LỤC……… 82

Trang 11

viii

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Mơ hình vật liệu FGM 1

Hình 1.2 Mơ hình phương pháp FEM 4

Hình 1.3 Mơ hình phương pháp MEM 4

Hình 2.1 Kết cấu tấm trong đường sân bay 15

Hình 2.2 Mơ hình tính tốn tải trọng, nền và kết cấu đường sân bay 16

Hình 2.3 Quan hệ giữa V với tỉ số z/h và chỉ số tỉ lệ thể tích n 18cHình 2.4 Mơ hình kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin 20

Hình 2.5 Qui ước chiều dương của 3 chuyển vị thẳng và 2 chuyển vị xoay của tấm Reissner-Mindlin trên nền Pasternak 21

Hình 2.6 a) Mơ hình tấm FGM trên nền Pasternak; b) Chiều dương qui ước 23

Hình 2.7 a) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể ( , )x y; b) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên ( , )  27

Hình 2.8 Rời rạc tấm thành Ne phần tử và hệ tọa độ chuyển động (r,s) 30

Hình 2.9 Lưu đồ tính tốn 47

Hình 3.1 Mơ hình tấm trên nền đàn nhớt 51

Hình 3.2 Mơ hình tấm trên nền Pasternak có xét ảnh hưởng nhiệt độ 53

Hình 3.3 Chuyển vị w ứng với nhiệt độ tác dụng lên hai bề mặt tấm thay đổi 56

Hình 3.4 Chuyển vị w ứng với nhiệt độ tác dụng lên hai bề mặt tấm thay đổi 57

Hình 3.5 Chuyển vị w tính tốn theo hai quan điểm DOF=3 và DOF=5 58

Hình 3.6 Chuyển vị w khi hệ số độ cứng nền thay đổi 60

Hình 3.7 Chuyển vị w ứng với vận tốc khi hệ số độ cản nền khác nhau 61

Hình 3.8 Chuyển vị w tương ứng với tần số tải điều hòa khi chỉ số thể tích tấm thay đổi…………………………………………………………………… 64

Hình 3.9 Hệ số k ứng với tần số tải điều hịa khi hệ số độ cản nền khác nhau 66dHình 3.10 Mơ hình tấm FGM trên nền Pasternak chịu tác dụng của hai 68

Hình 3.11 Chuyển vị đứng lớn nhất w của tấm theo độ lệch pha tải trọng 68

Trang 12

ix

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số điểm Gauss 30

Bảng 2.2 Thông số tấm FGM 45

Bảng 2.3 Thông số nền Pasternak 45

Bảng 2.4 Thông số tải trọng 45

Bảng 3.1 Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của gốm và kim loại trong vật liệu FGM 48 Bảng 3.2 Thông số tải trọng 49

Bảng 3.3 Thông số nền Pasternak 49

Bảng 3.4 Thông số tấm FGM 49

Bảng 3.5 So sánh kết quả chuyển vị w (mm) của luận văn và Sun (2007) 52

Bảng 3.6 So sánh kết quả chuyển vị w (mm) của tấm FGM khi nhiệt độ tác dụng lên hai mặt tấm thay đổi 54

Bảng 3.7 So sánh kết quả hội tụ chuyển vị w (mm) theo lưới chia phần tử 55

Bảng 3.8 So sánh kết quả hội tụ chuyển vị w (mm) theo các bước thời gian 55

Bảng 3.9 So sánh chuyển vị w (mm) khi nhiệt độ bề mặt tấm thay đổi ứng với DOF=3………………………………………………………………… 56

Bảng 3.10 So sánh chuyển vị w (mm) khi nhiệt độ bề mặt tấm thay đổi ứng với DOF=5………………………………………………………………….57

Bảng 3.11 So sánh chêch lệch chuyển vị theo hai quan điểm DOF=3 và DOF=5 58

Bảng 3.12 So sánh chuyển vị w (mm) ứng với hệ số độ cứng nền thay đổi 60

Bảng 3.13 So sánh chuyển vị w (mm) ứng với giá trị vận tốc khác nhau theo hai trường hợp hệ số độ cản nền 63

Bảng 3.14 So sánh chuyển vị w (mm) chịu ảnh hưởng của tần số tải điều hịa khi chỉ số thể tích tấm thay đổi 65

Bảng 3.15 Hệ số k theo tần số tải điều hòa ứng với nền có hệ số cản khác nhau 67dBảng 3.16 Chuyển vị đứng lớn nhất w (mm) ứng với độ lệch pha hai tải trọng 69

Trang 13

x

DANH MỤC MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

DOF Bậc tự do của một nút trong phần tử (Degrees of Freedom)

FGM Tấm vật liệu chức năng (Functional Graded Materials) FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) FSM Phương pháp dãy hữu hạn (Finite Strip Method)

FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-Order Shear Deformation Theory) HSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-Order Shear Deformation Theory) MEM Phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method)

Q9 Phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element)

Ma trận và véc tơ

m

ε Véc tơ biến dạng màng của tấm

γ Véc tơ biến dạng cắt của tấm

κ Véc tơ độ cong của tấm

σ Véc tơ ứng suất trong mặt phẳng tấm

τ Véc tơ ứng suất cắt của tấm

u Véc tơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của tấm

u Véc tơ vận tốc tại một điểm bất kỳ của tấm

u Véc tơ gia tốc tại một điểm bất kỳ của tấm ( )e

d Véc tơ chuyển vị tại nút của phần tử tấm

w

N Véc tơ hàm dạng

m

Β Ma trận gradient biến dạng màng

b

Β Ma trận gradient biến dạng uốn

s

Β Ma trận gradient biến dạng cắt

m

D Ma trận vật liệu biến dạng màng

mb

D Ma trận vật liệu biến dạng màng và uốn

b

Trang 14

xi

s

D Ma trận vật liệu biến dạng cắt

m Ma trận khối lượng tại một điểm nút của tấm ( )e

M Ma trận khối lượng của phần tử tấm chuyển động ( )e

K Ma trận độ cứng của phần tử tấm chuyển động ( )e

C Ma trận cản của phần tử tấm chuyển động

eff

M Ma trận khối lượng hiệu dụng

eff

P Vec tơ tải trọng hiệu dụng

eff

K Ma trận độ cứng hiệu dụng

Ký hiệu

L Chiều dài tấm theo phương xB Chiều dài tấm theo phương yh Chiều dày tấm theo phương z

c

E Mô đun đàn hồi của vật liệu gốm

m

E Mô đun đàn hồi của vật liệu kim loại c Hệ số giãn nở nhiệt vật liệu gốm m Hệ số giãn nở nhiệt vật liệu kim loại c Hệ số truyền nhiệt vật liệu gốm m Hệ số truyền nhiệt vật liệu kim loại  Hệ số Poisson của vật liệu

c Trọng lượng riêng của vật liệu gốm m Trọng lượng riêng của vật liệu kim loại

x Góc xoay của mặt trung hịa tấm quay quanh trục y

y Góc xoay của mặt trung hòa tấm quay quanh trục x

s Hệ số hiệu chỉnh cắt

Trang 15

xii

,

( )x Đạo hàm riêng bậc một của hàm theo biến x

,

( )xx Đạo hàm riêng bậc hai của hàm theo biến x

,

( )xy Đạo hàm riêng bậc hai của hàm theo biến x và y

wfk Hệ số độ cứng nền Pasternak sfk Hệ số kháng cắt nền Pasternak fc Hệ số độ cản nền Pasternak ( )

P t Tải trọng điều hòa tập trung

0

P Biên độ tải trọng điều hòa tập trung

0

 Tần số tải điều hòa  Pha tải trọng

c

V Hàm tỉ lệ thể tích

Trang 16

Tổng quan 1

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu

1.1.1 Vật liệu chức năng

Vật liệu chức năng (Functionaly Graded Materials-FGM) là một loại composite đặc biệt Khác với vật liệu composite truyền thống có đặc tính biến đổi dạng bước, vật liệu chức năng có các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác Do đó làm giảm ứng suất tập trung, ứng suất dư (trong quá trình sử dụng do cơ, nhiệt, hóa học) dẫn đến việc hạn chế được sự tách lớp và đây là điều được cải tiến so với vật liệu composite truyền thống được chia lớp Vật liệu chức năng là một tổ hợp các thành phần vật liệu khác nhau (Thép - Metal, Mg2Si, Gốm - Ceramic, Ni, Cr, Co, Al) Bằng cách bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất thay đổi liên tục (Hình 1.1), các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được cấu tạo từ hai thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu chức năng dễ tạo ra các kết cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, hay rung động Vì lí do này, vật liệu FGM có tiềm năng và ứng dụng lớn vào các ngành khác nhau như thiết kế các ngành công nghiệp tàu thủy (thân, vỏ tàu,…); công nghiệp xây dựng (xà dầm, khung cửa, vịm che, mái che, móng…); các hệ thống cơ nhiệt (xylanh, ống xả, đường ống,…); các kết cấu chịu va đập, mài mịn có xét đến yếu tố nhiệt độ trong quá trình sử dụng, đặc biệt trong mơi trường có biên độ nhiệt chênh lệch, được tóm tắt tổng quan bởi Jha và cộng sự (2013) [1]

Trang 17

Tổng quan 2

1.1.2 Bài toán tấm chịu tải trọng di động

Đã có mà nhiều nghiên cứu về các phương pháp tìm lời giải giải tích cho bài tốn ứng xử động của tấm FGM chịu tải trọng di động, nhưng các hạn chế của các phương pháp này là khó áp dụng cho bài tốn có tiết diện kết cấu thay đổi bất kì với các điều kiện biên tải trọng có qui luật phức tạp; dẫn đến sự phát triển mạnh mẽ của phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) nhằm tìm lời giải số xấp xỉ trong một khoảng dung sai cho phép Tuy nhiên phương pháp này có một vài hạn chế về cơng tác cập nhật vị trí tải trọng trong q trình tính toán, để khắc phục các hạn chế này, Koh và cộng sự (2003) [2] đã đề xuất phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) cho bài toán ứng xử dầm chịu tải trọng di động Dựa trên nền tảng phương pháp MEM mới này, đã có nhiều cơng trình nghiên cứu được tiến hành bằng việc trở lại xem xét các bài toán đã giải quyết bởi phương pháp FEM theo MEM, điển hình là các nghiên cứu được tiến hành bởi Hải và cộng sự (2020) [3]

So với các cơng trình nghiên cứu về ứng xử tĩnh và các dạng dao động của tấm FGM, nghiên cứu về ứng xử động của tấm FGM có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ chịu tải trọng di chuyển chưa được tiến hành nhiều, đặc biệt chưa có nghiên cứu phân tích ứng xử của tấm FGM chịu tải trọng điều hịa di động có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp MEM Luận văn của học viên sẽ trình bày đề tài này

1.2 Tính cấp thiết của đề tài

Trang 18

Tổng quan 3

Trong FEM, kết cấu tấm được rời rạc thành các phần tử con, vị trí các nút của phần tử con được thiết lập dựa trên một hệ tọa độ cố định, vì vậy khi tải di chuyển, cần phải cập nhật lại vị trí của tải sau mỗi bước thời gian vì vị trí của tải lúc này đã thay đổi so với phần tử trước đó Mặt khác, đối với bài tốn tải di chuyển trên kết cấu có chiều dài lớn như dầm đường sắt tốc độ cao, nền đường ơ tơ và sân bay; mơ hình của kết cấu trong phương pháp FEM yêu cầu phải có một chiều dài hữu hạn cho trước, do đó vấn đề phát sinh ở đây rằng: tải sẽ nhanh chóng tiếp cận ranh giới và vượt ra ngoài ranh giới của mơ hình tính tốn, do FEM u cầu mơ hình hữu hạn, trong khi thực tế kết cấu có chiều dài rất lớn, khơng thể mơ phỏng tồn bộ mơ hình trong thực tế vào máy tính do bộ nhớ máy tính có giới hạn Các kết quả gần ranh giới hạn của mơ hình trong phần mềm cần bị loại bỏ do trong ảnh hưởng của các điều kiện biên (u cầu đầu tiên để phân tích mơ hình bằng FEM) Để khắc phục hạn chế này của

FEM, một phương pháp được sử dụng là phương pháp FEM “cắt và dán” (

Trang 19

Tổng quan 4

Hình 1.2 Mơ hình phương pháp FEM

Hình 1.3 Mơ hình phương pháp MEM

Ý tưởng chủ đạo của phương pháp MEM là đề xuất chuyển đổi bài toán tải chuyển động ở trạng thái ổn định, trở thành một bài tốn tĩnh tương đương có thể được giải quyết hiệu quả hơn so với việc giải các phương trình động Cụ thể ở bốn đặc điểm:

Thứ nhất, không giống như các phần tử được thiết lập trong hệ tọa độ cố định của FEM, các phần tử chuyển động được thiết lập trong một hệ tọa độ chuyển động cùng với tải trọng Trong hệ tọa độ chuyển động này, vị trí của tải sẽ được cố định và ưu điểm dễ nhận biết là việc tránh cập nhật vị trí của tải sau mỗi bước thời gian

Trang 20

Tổng quan 5

Thứ ba, mơ hình tính tốn của kết cấu có thể rời rạc với sự phân chia lưới không đều Trong đó lưới mịn được sử dụng gần vị trí tải và lưới thô hơn được sử dụng xa hơn vị trí đặt tải

Thứ tư, số phần tử trong MEM không phụ thuộc vào quãng đường tải trọng di chuyển trong thời gian khảo sát Do đó, MEM yêu cầu ít phần tử hơn, thời gian tính toán nhanh hơn và chi phí thấp hơn so với phương pháp FEM Vì vậy, tổng quan phương pháp MEM tỏ ra phù hợp hơn FEM khi tính tốn tấm chịu tải di động Bên cạnh đó, việc ứng dụng vật liệu mới FGM trong cuộc sống ngày càng phổ biến, vì vậy việc nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu làm từ vật liệu FGM dựa trên phương pháp MEM là cần thiết và phù hợp với nhu cầu thực tiễn

1.3 Tình hình nghiên cứu

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều phương pháp giải tích và số được thiết lập để tính tốn và phân tích ứng xử động của kết cấu tấm trên nền đàn nhớt chịu tác động của tải trọng di động

1.3.1 Các cơng trình nghiên cứu của tác giả ngoài nước

Trang 21

Tổng quan 6

Trang 22

Tổng quan 7

cách áp dụng phương pháp phân tích Ritz kết hợp các hàm nội suy đa thức Chebyshev Atmane và cộng sự (2010) [14] đã khảo sát ảnh hưởng của thơng số kích thước tấm, chỉ số thể tích vật liệu đến dao động tự do của tấm theo hai qui luật phân bố thể tích vật liệu khác nhau, với biên tấm tựa đơn trên nền Pasternak; dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt có dạng hàm Hyperbolic, lời giải chính xác được tìm thấy thơng qua nguyên lý Hamilton và kỹ thuật Navier Kiani và cộng sự (2012) [15] phân tích tĩnh, dao động tự do, ứng xử động của tấm chữ nhật có xét đến độ cong của tấm theo một qui tắc cho trước, đặt trên nền Pasternak, chịu tải nằm trong mặt phẳng tấm; cơ sở tính tốn dựa trên các cơng thức của lý thuyết FSDT và thuyết vỏ Sanders, lời giải được tìm thấy qua việc kết hợp giữa kỹ thuật Navier và phép biến đổi Laplace Daouadji và cộng sự (2012) [16] đã khảo sát ảnh hưởng của kích thước, chỉ số thể tích vật liệu, chưa xét ảnh hưởng của thông số nền và nhiệt độ đến chuyển vị, ứng suất của tấm biên tựa đơn; chịu tải phân bố hình sin; cơ sở lý thuyết đề xuất một hàm biến dạng cắt ngang mới, dẫn đến số ẩn hàm chuyển vị độc lập còn bốn ẩn, lời giải được đưa ra bằng cách áp dụng kỹ thuật Navier Hien và Noh (2013) [17] thực hiện phân tích sự ảnh hưởng của tham số vật liệu đến chuyển vị và ứng suất của tấm chữ nhật chịu tải trọng di động, biên tựa đơn, chưa xét ảnh hưởng thông số nền; áp dụng lý thuyết HSDT và sử dụng các phương trình chuyển động theo nguyên lý Hamilton

kết hợp kỹ thuật Navier Vosoughi và cộng sự (2013) [18] đã phân tích một tấm dày

Trang 23

Tổng quan 8

nền Pasternak, có hàm phân bố nhiệt độ trên bề mặt tấm thay đổi theo qui luật hình sin; sử dụng nhiều lý thuyết biến dạng cắt khác nhau nhằm so sánh độ tin cậy của kết quả Singh và Harsha (2018) [22] tiến hành xem xét ứng xử phi tuyến tĩnh học của tấm vuông, biên tựa đơn bốn cạnh, chịu tải phân bố đều dựa trên lý thuyết biến dạng- chuyển vị phi tuyến Von- Karman bằng lời giải Navier, phạm vi khảo sát các mối liên hệ giữa ứng suất, chuyển vị của so với kích thước tấm Tiếp theo hướng giải quyết bài toán tấm bằng lời giải giải tích Navier, Zaoui và cộng sự (2022) [23] đã đề xuất một lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 2 chiều và 3 chiều nhằm khảo sát ứng xử tĩnh của tấm đặt trên nền Pasternak một cách hiệu quả hơn so với các nghiên cứu trước đó, với điểm mới là việc sử dụng một trường chuyển vị với các biến tính tích phân chỉ liên quan đến năm hàm chưa xác định, nhằm khảo sát ảnh hưởng các thông số tấm và nền đến ổn định, chuyển vị và ứng suất dọc trục tấm, yếu tố nhiệt độ đã được bỏ qua trong nghiên cứu này.

Trang 24

Tổng quan 9

Monajjemzadeh (2013) [26] đã tiến hành xem xét các ảnh hưởng của thơng số vật liệu, tỉ kệ kích thước tấm và nhiệt độ bề mặt đến chuyển vị của tấm bằng phương pháp FEM Ramu và Mohanty (2014) [27] đã phân tích dao động tự do tấm có hàm phân bố tỉ lệ thể tích một chiều, với các điều kiện biên khác nhau bằng FEM theo mô hình phần tử tứ giác bốn nút với 3 bậc tự di tại mỗi nút, hàm nội suy chuyển vị có dạng đa thức; lời giải sử dụng phần mềm Matlab để lập trình tính tốn Thom và cộng sự (2017) [28] tiến hành khảo sát sự ảnh hưởng của hàm phân bố tỉ lệ thể tích, điều kiện biên đến độ võng và ổn định tấm chịu tải trọng tĩnh; áp dụng cho tấm có hàm phân bố tỉ lệ thể tích theo hai chiều bằng FEM; các lý thuyết biến dạng cắt khác nhau được dẫn chứng nhằm khẳng định độ tin cậy của phương pháp Gần đây hơn, Shahidzadeh Tabatabaei và Fattahi (2020) [29] đã phân tích các dạng dao động của tấm vng, chưa xét ảnh hưởng của nhiệt độ, với các điều kiện biên khác nhau bằng cách sử dụng phần mềm Abaqus kết hợp lập trình Fortran Karakưse [30] đã tiến hành phân tích ứng xử tĩnh của móng làm bằng vật liệu FGM có xét hiệu ứng màng, với quan điểm vật liệu cấu thành tấm là trực giao thay vì đẳng hướng như các nghiên cứu trước đây, móng được mô phỏng như một tấm được đặt trên nền Pasternak, bằng cách thay đổi thông số nền và điều kiện biên có liên quan đến hiệu ứng màng, giá trị ứng suất và chuyển vị của tấm được tìm thấy bằng chương trình Sap2000, yếu tố nhiệt độ vẫn chưa được xem xét trong phạm vi nghiên cứu này.

Theo như đã đề cập phía trên, phương pháp FEM sử dụng nhằm phân tích ứng xử của tấm FGM đã góp phần quan trọng trong việc giải quyết đa dạng các bài tốn hơn các phương pháp giải tích truyền thống, một số nghiên cứu đã xem xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ Tuy nhiên, phương pháp FEM lại gặp vấn đề khó khăn đối với việc mơ phỏng các tải trọng di động bất kì trên tấm Cụ thể là, khi tải trọng tác dụng lên tấm tiến đến gần biên của miền hữu hạn của phần tử và di chuyển vượt ra ngoài

biên của phần tử của tấm Với phương pháp MEM, Koh và cộng sự (2007) [31] đã

Trang 25

Tổng quan 10

tử hữu hạn có kích thước khơng bằng nhau Nghiên cứu này đã cho thấy MEM là phương pháp thích hợp hơn FEM trong phân tích bài tốn động học cho các kết cấu chịu tải trọng động Sau khi được ứng dụng thì phương pháp MEM càng tỏ ra hữu dụng và ngày càng được phát triển

1.3.2 Các cơng trình nghiên cứu của tác giả trong nước

Trang 26

Tổng quan 11

chưa đề cập trong bài báo Kết quả số cho thấy được những nét tương đồng với các nghiên cứu của các tác giả khác

Bên cạnh các bài báo, một số luận văn cao học cũng đã nghiên cứu về ứng xử của dầm và tấm vật liệu chức năng chịu tải trọng di động Phong (2011) [38] phân tích ứng xử của dầm trên nền đàn hồi Winkler chịu tác dụng của tải trọng di động, sử dụng cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko kết hợp với quan hệ biến dạng - chuyển vị phi tuyến theo Von-Karman Nguyên (2013) [39] đã xây dựng lời giải giải tích khảo sát ảnh hưởng hàm phân bố thể tích vật liệu, kích thước tấm đến các dạng dao động của tấm, cơ sở lý thuyết FSDT và kỹ thuật Navier đã được áp dụng, nghiên cứu sử dụng lập trình bằng chương trình Maple; độ tin cậy của thuật toán đã được chứng minh qua việc so sánh kết quả với các kết quả đã có từ trước Tuy nhiên lời giải có xem xét các yếu tố về nhiệt độ, tải di động và thông số nền vẫn chưa tiến hành

Trang 27

Tổng quan 12

ảnh hưởng thông số nhiệt độ Tiếp theo đó, Thi và cộng sự (2022) [47] tiến hành khảo sát ứng xử động tấm FGM trên nền Pasternak, chịu tải di chuyển với vận tốc khơng đổi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường, sử dụng phương pháp MEM; đây là hướng nghiên cứu mới, tuy nhiên tải trọng khảo sát có dạng tải trọng có độ lớn khơng đổi, điều này chưa hoàn toàn phù hợp; vì thực tế, các tải trọng di chuyển (phương tiện giao thông) do sự ảnh hưởng của lực qn tính do rơ-to quay trong động cơ phương tiện kết hợp với độ cứng lị xo và hệ thống giảm chấn có sự phụ thuộc lẫn nhau, từ đó ảnh hưởng đến biên độ lực tác dụng, tức việc xem xét tải điều hòa di động thay đổi theo thời gian đến ứng xử động của tấm là điều cần xem xét Các nghiên cứu về ứng xử tấm FGM đã có từ trước vẫn còn rời rạc hoặc đan xen chưa đầy đủ các yếu tố về nhiệt độ, dạng tải trọng và phương pháp giải (dù sử dụng phương pháp phân tích chính xác hoặc FEM đã đề cập ở phần trên) Các phân tích về sự ảnh hưởng đồng thời của ba yếu tố: tải điều hòa di động, xem xét ảnh hưởng của nhiệt độ đến kết cấu tấm FGM, giải bằng phương pháp MEM vẫn chưa được tiến hành Nhằm tiếp nối để hướng nghiên cứu được hoàn chỉnh hơn, luận văn sẽ trình bày rõ vấn đề này

1.3.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận văn là phân tích ứng xử động của tấm vật liệu chức năng Functionally Graded Materials (FGM) trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng điều hịa di động có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ, sử dụng phương pháp phần tử tấm chuyển động MEM Các vấn đề nghiên cứu trong luận văn bao gồm:

❖ Thiết lập các ma trận khối lượng, độ cứng, cản cho các phần tử tấm FGM sử dụng phương pháp MEM

❖ Phát triển thuật tốn lập trình tính tốn bằng ngơn ngữ lập trình Matlab để giải hệ phương trình động của bài tốn

❖ Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của luận văn với các kết quả các nghiên cứu của tác giả khác

Trang 28

Tổng quan 13

1.4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của luận văn tập trung vào việc phân tích ứng xử động học của tấm FGM trên nền Pasternak, chịu tải trọng điều hòa di động có phương vng góc với mặt phẳng tấm, có xét ảnh hưởng của yếu tố nhiệt độ Kết cấu tấm được giả định có kích thước tiết diện không thay đổi, bề mặt tấm luôn phẳng, không xét ảnh hưởng của bọt khí (lỗ rỗng vi mơ) trong cấu trúc tấm và hiện tượng trượt, hãm của tải trọng Các hằng số vật liệu cơ bản tấm bao gồm mô đun đàn hồi E z và hệ số giãn ( )

nở nhiệt ( )z giả thiết là hàm phụ thuộc nhiệt độ T, còn khối lượng riêng( )z và hệ số Poisson ( )z không phụ thuộc nhiệt độ Mơ hình tấm được rời rạc bởi phần tử đẳng tham số tứ giác 9 nút Các cơng thức tính tốn tấm FGM trong luận văn sử dụng lý thuyết tấm Mindlin kết hợp thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) và lý thuyết truyền nhiệt một chiều theo bề dày của tấm Cuối cùng, lời giải được tìm thấy thơng qua phương pháp phần tử chuyển động (MEM) và phương pháp Newmark gia tốc trung bình

1.5 Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1 Tổng quan: giới thiệu tổng quan về tấm FGM chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước cũng như đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn

Chương 2 Cơ sở lý thuyết: trình bày các cơng thức phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử động tấm FGM trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng điều hòa di động, có xét đến ảnh hưởng nhiệt độ lên tấm, sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

Chương 3 Kết quả phân tích số: trình bày các bài tốn số khảo sát và nhận xét kết quả tính tốn

Trang 29

Tổng quan 14

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu có liên quan phục vụ cho các bài toán khảo sát nghiên cứu trong luận văn

Trang 30

Cơ sở lý thuyết 15

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bày các cơng thức cơ bản của tấm chịu uốn và thiết lập công thức để phân tích động lực tấm FGM trên nền Pasternak chịu tải trọng điều hịa di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Phương pháp tích phân Newmark gia tốc trung bình để giải bài toán động lực học theo miền thời gian được sử dụng trong luận văn

2.1 Bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển

Động lực học kết cấu được định nghĩa là những bài toán phân tích phản ứng động của kết cấu có liên quan đến tác dụng của các tải trọng thay đổi theo thời gian và vị trí trên kết cấu cơng trình Hướng nghiên cứu này có sức hấp dẫn và nhận được nhiều sự quan tâm từ các nhà khoa học Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các dạng vật liệu cấu tạo nên kết cấu chịu lực của cơng trình và các dạng tải trọng cũng đa dạng hơn (tải cơ học, tải nhiệt độ,…), từ đó dẫn đến yêu cầu việc nghiên cứu ứng xử động của kết cấu ngày càng nhận được sự chú ý hơn Nhằm góp một phần vào nghiên cứu phản ứng động của kết cấu tấm chịu tác dụng của tải trọng di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ, mơ hình kết cấu tấm trên nền hai thơng số Pasternak chịu tác dụng của tải trọng điều hòa di chuyển đã được xem xét, ví dụ thực tiễn trong trường hợp này là máy bay (tải trọng) đang chuyển động trên đường sân bay (tấm), kết cấu đường được đặt trên nền biểu diễn ở Hình 2.1

Trang 31

Cơ sở lý thuyết 16

Trong bài tốn mơ phỏng, đường sân bay có dạng tấm với vật liệu cấu tạo là tấm FGM, nền đường đặt phía bên dưới đường sân bay thuộc dạng nền Pasternak, máy bay khi di chuyển trên nền đường sân bay trước khi cất cánh chính là tải trọng điều hòa di động P t( )= P0sin(0t+) tác động xuống kết cấu tấm và nền bên dưới như Hình 2.2

Hình 2.2 Mơ hình tính tốn tải trọng, nền và kết cấu đường sân bay trong đó:

L,B,h lần lượt là chiều dài, chiều rộng, bề dày của tấm FGM;P t( )là tải trọng

điều hòa di động tương ứng với vận tốc V ;Tc,Tm lần lượt là nhiệt độ tương ứng mặt trên và mặt dưới của kết cấu tấm khảo sát Các thông số và ghi chú cụ thể về tải điều hòa P t( )được trình bày tại Mục 2.2; thơng số nền Pasternak được trình bày tại Mục 2.3.2; và thơng số vật liệu tấm FGM có xét ảnh hưởng nhiệt độ được trình bày tại Mục 2.3

2.2 Tải trọng điều hòa

Tải trọng điều hòa là một loại tải trọng thường gặp trong thực tế, chẳng hạn như phương tiện di chuyển nhờ rô to gắn trong động cơ tác động lên bề mặt các cơng trình, tải trọng điều hịa của phương tiện theo thời gian t được biểu diễn dưới dạng:

00

( )= sin( +)

P tPt (2.1)

trong đó: 0

Trang 32

Cơ sở lý thuyết 17

0 là tần số của tải trọng điều hòa (Hz)  là pha ban đầu của tải trọng (độ)

t là thời điểm khảo sát tải trọng di chuyển

Tải trọng điều hịa di động là tải trọng có dạng như công thức (2.1) di chuyển

với vận tốc V Trong thực tế khi các phương tiện di chuyển trên đường, ngoài trọng

lượng của xe - tải trọng có độ lớn khơng đổi (có phương và chiều theo trọng lực) Pxe

, cịn có một lực ly tâm - độ lớn thay đổi phát sinh do hoạt động xoay của rô to Proto

trong động cơ phương tiện tác dụng lên nền đường Điều này dẫn đến tổng hợp lực tác dụng lên bề mặt đường P0 =Proto +Pxe của phương tiện có sự thay đổi theo thời gian t Do đó xem phương tiện chạy trên đường là tải trọng điều hòa di động sẽ phản ánh đúng với thực tế hơn so với khi xem các loại phương tiện là tải trọng di động với độ lớn không đổi

2.3 Lý thuyết tấm vật liệu chức năng FGM

Vật liệu FGM là một loại composite đặc biệt được kết hợp từ hai loại vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn tru và liên tục từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu Vật liệu FGM đã khắc phục được những hạn chế vật liệu composite là giảm ứng suất tập trung và hạn chế được sự bong tách giữa các lớp Có được tính chất này là nhờ trong vật liệu FGM tỉ lệ thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi một cách liên tục theo chiều dày của tấm

Vật liệu FGM phổ biến được kết hợp từ hai vật liệu gốm và kim loại, trong đó tỉ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi một cách trơn và liên tục từ mặt giàu gốm đến mặt kia giàu kim loại Sự biến thiên của các thuộc tính vật liệu FGM theo hàm tỉ lệ thể tích được thiết lập theo cơng thức trình bày bởi hai tác giả là Praveen và Reddy (1998) [48]:

( ) ( cm) cm

P zPP VP (2.2)

trong đó:

c

P là thuộc tính của vật liệu gốm (mặt trên tấm)

m

Trang 33

Cơ sở lý thuyết 18

( )

P z là thuộc tính của vật liệu tại tọa độ z bất kỳ trên chiều dài tấm

c

V là hàm tỉ lệ thể tích

Quy luật phân bố của hàm tỉ lệ thể tích là cơ sở để phân loại vật liệu FGM thành ba loại như sau: vật liệu P-FGM có V thay đổi theo quy luật lũy thừa (Power-Law), c

vật liệu E-FGM có V thay đổi theo quy luật hàm mũ e và vật liệu S-FGM có cV thay c

đổi theo quy luật hàm sigmoid (hàm logarit chuẩn) Phạm vi luận văn tập trung phân tích ứng xử của tấm vật liệu chức năng P-FGM với hàm tỉ lệ thể tích tuân theo quy luật lũy thừa Power-Law được viết như sau:

102nczVnh (2.3) trong đó:

n là chỉ số tỉ lệ thể tích (tỉ số thành phần vật liệu thép trên vật liệu gốm)

h là bề dày tấm

Sự thay đổi của hàm tỉ lệ thể tích V theo tỉ số c z h/ khi thay đổi chỉ số tỉ lệ thể tích n được thể hiện trên Hình 2.3 Khi giá trị của n lớn (n 10) thì V có giá c

trị rất bé trên suốt chiều dày tấm, khi đó có thể xem như vật liệu kim loại của tấm

chiếm ưu thế Đối với giá trị của n bé (n 0.1) thì V có giá trị tiến đến 1 trên suốt c

chiều dày tấm, khi đó có thể xem như vật liệu gốm của tấm chiếm ưu thế

Trang 34

Cơ sở lý thuyết 19

Các thuộc tính của vật liệu FGM thay đổi theo hàm tỉ lệ thể tích bao gồm: mơ đun đàn hồi E z( ), khối lượng riêng ( )z và hệ số poisson ( )z được trình bày như sau: 1( ) ( )2ncmmzE zEEEh = −  +  +  (2.4) 1( ) ( )2ncmmzzh =  −  +  +  (2.5) 1( ) ( )2 =  −  +  + ncmmzzh (2.6) trong đó: c

E ,c,c lần lượt là mô đun đàn hồi, khối lượng riêng trên đơn vị thể tích và hệ số Poisson của vật liệu giàu gốm ở mặt trên tấm (z= −h/ 2)

m

E ,m,m lần lượt là mô đun đàn hồi, khối lượng riêng trên đơn vị thể tích và hệ số Poisson của vật liệu giàu kim loại ở mặt dưới tấm (z=h/ 2) Theo Delale và Erdogan (1982) [49], ảnh hưởng của hệ số Poisson ( )z đến ứng xử của tấm FGM là nhỏ hơn rất nhiều so với ảnh hưởng của mô đun đàn hồi E z( ) Do đó, hệ số poisson của tấm FGM được xem là hằng số được xác định theo công thức: ( /2 )/2( ) −= h =hz dzh hằng số (2.7)

2.3.1 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Trong luận văn này sẽ phân tích ứng xử của tấm loại P-FGM theo mơ hình tấm Reissner-Mindlin Tóm tắt cơ sở lý thuyết ứng xử của tấm theo Mindlin (1951) [50]: ❖ Các đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình của tấm trước biến dạng sẽ vẫn thẳng nhưng không nhất thiết phải vng góc với mặt trung bình khi biến dạng ❖ Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo, nén

Trang 35

Cơ sở lý thuyết 20

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình vẫn thẳng trong q trình biến dạng nhưng khơng cịn vng góc với mặt trung bình nữa, và các góc này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Như vậy tổng góc xoay của mặt cắt sẽ bao gồm hai thành phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến cịn vng góc với mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra, chi tiết mơ hình được thể hiện cụ thể trong Hình 2.4

Hình 2.4 Mơ hình kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin

Dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT theo Reddy (2003) [51], trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên mặt trung bình như sau:

000( , , ) ( , ) ( , )( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ,2 2( , , ) ( , ) = + = +   −     =xyu x y zu x yzx yh hv x y zv x yzx yx yzw x y zw x y(2.8)

trong đó, trường chuyển vị tại một điểm trên mặt trung bình trong tấm được biểu diễn 000  

 

= uvwxyT

u ; với u ,0 v ,0 w là thành phần chuyển vị thẳng theo 0

phương x,y,z và x,y lần lượt là hai góc xoay xung quanh trục Oy , Ox tại mặt

Trang 36

Cơ sở lý thuyết 21

Hình 2.5 Qui ước chiều dương của 3 chuyển vị thẳng và 2 chuyển vị xoay của tấm Reissner-Mindlin trên nền Pasternak

Vậy, trường biến dạng của một điểm bất kì trong tấm theo lý thuyết tấm Mindlin dưới giả định theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT được xác định như sau:

00000,,0,,0,0,,,xxyyxyyxxx xyy ymyxx yy xuxxvzyyuvyxyxuvzzuv                   =  = +               + +               = +  = + +   +    εεκ(2.9) 00,00,xxzxxyzyyywwxwwy    +   +      =  =  =  +   +     γ (2.10) trong đó: m

ε là véc tơ biến dạng màng của tấm được xác định theo công thức:

Trang 37

Cơ sở lý thuyết 22

κ là véc tơ độ cong của tấm được xác định theo đông thức:

,,,,0 0 0 00 0 0 00 0 0                  = =   +                 x xy yx yy xxyuxvwyyxκ0oo (2.12)

Ký hiệu “,” thể hiện đạo hàm đối với biến là ký hiệu đi liền sau

Mối quan hệ giữa các thành phần ứng suất và biến dạng trong tấm tuân theo định luật Hooke, được trình bày như sau:

1112122266000 0xxyyxyxyQQQQQ           = =          σ (2.13) 554400xzxzyzyzQQ      = =      τ (2.14)

trong đó, các hằng số vật liệu được xác định theo công thức:

1122 2 12 2445566,1 12(1 )EEQQQEQQQ = = =− −= = =+(2.15)

Trang 38

Cơ sở lý thuyết 23

2.3.2 Mơ hình nền đàn nhớt Pasternak

Hình 2.6 a) Mơ hình tấm FGM trên nền Pasternak; b) Chiều dương qui ước chuyển vị thẳng u,v,w và hai chuyển vị xoay x,y

Mơ hình Pasternak được mơ tả như Hình 2.6, đã khắc phục hạn chế của nền Winkler bằng cách đề xuất thêm lớp kháng cắt không bị nén theo phương đứng, liên kết đỉnh của các lò xo và chỉ xuất hiện các ứng suất cắt liên kết tại các đỉnh lò xo Phản lực của nền Pasternak lên kết cấu tấm được thể hiện dưới dạng tốn học được trình bày trong nghiên cứu của Atmane và cộng sự (2010) [14], một khảo sát độc lập khác cũng cho kết quả tương tự theo Zenkour và Radwan (2018) [52] như sau:

2

= wf −  +sff

pk w kw c w (2.16)

trong đó:

p là phản lực nền Pasternak lên kết cấu tấm

2

w

 là đạo hàm cấp 2 theo biến x và biến y được xác định theo công thức:

22222

/ / T

w  wxwy 

 =      (2.17)

wf

k là thông số nền thứ nhất (độ cứng theo phương đứng nền Winkler)

sf

k là thông số nền thứ hai (độ cứng lớp kháng cắt của nền Pasternak)

f

c là hệ số cản của nền

wlà chuyển vị theo phương đứng (trục z) của tấm

Trang 39

Cơ sở lý thuyết 24

2.3.3 Thiết lập phương trình chuyển động của tấm

Tổng cơng nội ảo của tấm được cho bởi công thức:

() ( ) ( )        =          TTTmmbmImmbbsWdDD0εεκγDD0κ00Dγ(2.18) trong đó: m

D là ma trận vật liệu biến dạng màng được xác định theo công thức:

1112/21222/266000 0hmhQQQQdzQ−  =    D (2.19) mb

D là ma trận vật liệu kết hợp biến dạng màng và biến dạng uốn được xác định theo công thức: 1112/21222/266000 0hmbhQQQQzdzQ−  =    D (2.20) b

D là ma trận vật liệu biến dạng uốn được xác định theo công thức:

1112/221222/266000 0hbhQQQQz dzQ−  =    D (2.21) s

D là ma trận vật liệu biến dạng cắt được xác định theo công thức:

/25544/200hsshQdzQ− =   D (2.22)

Trang 40

Cơ sở lý thuyết 25

Mặt khác, tổng công ngoại ảo của tấm trên nền Pasternak gồm:  = P + m+ kwf + ksf + cfEEEEEEWWWWWW (2.23) trong đó:  PE

W là công ngoại ảo do tải trọng ngoài tác dụng được xác định theo công thức: ( ) = T PEW u bd (2.24)

b là véc tơ tải trọng tác dụng lên tấm được xác định theo công thức:

0 0 ( ) ( 0) 0 0

= − − T

PxSy

b (2.25)

với P=P0sin(0t+) là lực tập trung di chuyển dọc theo trục x

S là quãng đường di chuyển của tải trọng tại thời điểm t

( )

 là hàm Dirac-Delta  m

E

W là cơng ngoại ảo do lực qn tính được xác định theo công thức:

( ) = − T mEW u mud (2.26)

u là véc tơ trường chuyển vị được xác định theo công thức:  

 

= u v wxyT

u (2.27)

u là véc tơ trường gia tốc của chuyển vị

m là ma trận khối lượng tại điểm nút được xác định theo công thức:

/22/221 0 0 00 1 0 0( ) 0 0 1 0 00 0 00 0 0hhzzzdzzzzz−    =    m (2.28)