ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
HỨA HỒNG TRÍ
PHƯƠNG PHÁP MMPM TRONG PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA TẤM NHIỀU LỚP TRÊN NỀN ĐÀN NHỚT
CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN CÓ XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ
Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trang 2CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lương Văn Hải
Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS TS Vũ Tân Văn
Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Thái Sơn
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 11 tháng 07 năm 2023
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: 1 PGS TS Hồ Đức Duy - Chủ tịch hội đồng 2 TS Trần Minh Thi - Thư ký
3 PGS TS Vũ Tân Văn - Ủy viên ( Phản biện 1) 4 TS Thái Sơn - Ủy viên ( Phản biện 2) 5 TS Hà Minh Tuấn - Ủy viên
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG
Trang 3i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: Hứa Hồng Trí MSHV: 2171020 Ngày, tháng, năm sinh: 03/10/1999 Nơi sinh: Đồng Nai Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201
I TÊN ĐỀ TÀI:
Phương pháp MMPM trong phân tích ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di chuyển có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ
Multi-Moving Plate Element Method MMPM for the dynamic analysis of multilayer plates subjected to moving loads considering the effects of temperature II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1 Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho các phần tử kết cấu tấm nhiều lớp sử dụng phương pháp phần tử tấm nhiều lớp chuyển động 2 Phát triển thuật tốn, lập trình tính tốn bằng chương trình Matlab để giải hệ phương
trình động tổng thể của bài toán
3 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của chương trình với kết quả các bài báo tham khảo
4 Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan trọng đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra các kết luận và kiến nghị
III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 06/02/2023
IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 11/06/2023
V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Lương Văn Hải
Tp HCM, ngày tháng năm 2023
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
PGS.TS Lương Văn Hải
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO
TS Nguyễn Hồng Ân TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG
Trang 4
ii
LỜI CẢM ƠN
Hành trình theo học chương trình Thạc sĩ Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng đã gần đến những chặng đường cuối cùng, thời gian này tôi không chỉ học hỏi, tiếp cận tri thức mới mà còn rèn luyện những kỹ năng vô cùng quý giá giúp tôi mỗi ngày một tiến bộ Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy PGS TS Lương Văn Hải, giảng viên khoa Kỹ thuật xây dựng, trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã truyền cảm hứng, định hướng để hình thành nên đề tài luận văn Cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Kỹ thuật xây dựng, trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã dạy dỗ, cung cấp cho tôi kiến thức về các môn đại cương cũng như các mơn chun ngành, giúp tơi có được cơ sở lý thuyết vững vàng và tạo điều kiện giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình và bạn bè, đã luôn tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ, động viên em trong suốt q trình học tập và hồn thành luận văn
Trong quá trình làm đề cương luận văn, luận văn, tơi mong nhận được những góp ý, phản biện từ quý Thầy Cô, để chỉnh sửa sai sót và để hồn thiện đề tài một cách trọn vẹn nhất
Trân trọng cảm ơn
Tp Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 06 năm 2023
Trang 5iii
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Luận văn này tập trung phát triễn phương pháp tấm nhiều lớp chuyển động (Multi-Layer Moving Plate Method – MMPM) cho bài tốn phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ
Cùng với sự phát triển của xã hội thì nhu cầu di chuyển và vận chuyển hàng hóa ngày càng tăng, do đó có nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm đến nghiên cứu hệ thống đường băng và đường cao tốc Hiện nay, nhiều công nghệ tiên tiến đã được áp dụng vào kỹ thuật xây dựng hệ thống đường bộ trên thế giới cũng như tại Việt Nam Các nghiên cứu trước đây thường chỉ mơ hình kết cấu tấm nền một lớp đàn hồi hay nền đàn nhớt, … tuy nhiên ít xét đến mức độ tương tác giữa các lớp nền, bởi nền đường cao tốc thường cấu tạo bao gồm nhiều lớp nên mức độ ảnh hưởng qua lại lẫn nhau là đáng kể
Trang 6iv
ABSTRACT
This thesis focuses on developing the Multi-Layer Moving Plate Method (MMPM) for the problem of analyzing the behavior of multi-layer plates on the Pasternak foundation under moving loads taking into account the influence of heat degree
Along with the development of society, the demand for moving and transporting goods is increasing, so many scientists around the world are interested in studying the runway and highway system Currently, many advanced technologies have been applied to road construction techniques in the world as well as in Vietnam Previous studies often only modeled the structure of a single-layer elastic or viscous-elastic foundation, etc., but little consideration was given to the level of interaction between the subfloors, because highway foundations are often composed of many layers The degree of mutual influence is considerable
Trang 7v
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nghiên cứu được trình bày ở đây do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS TS Lương Văn Hải
Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác
Tơi hồn tồn chịu trách nhiệm về cơng việc thực hiện nghiên cứu của mình
Tp Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 06 năm 2023
Trang 8vi
MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i
LỜI CẢM ƠN ii
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii
ABSTRACT iv
LỜI CAM ĐOAN v
MỤC LỤC vi
DANH MỤC HÌNH ix
DANH MỤC BẢNG xi
KÝ HIỆU VIẾT TẮT xii
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1
1.1 Giới thiệu 1
1.2 Các cơng trình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 2
1.2.1 Các cơng trình nghiên cứu ngồi nước 2
1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu trong nước 4
1.2.3 Tính cấp thiết của đề tài 4
1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 4
1.4 Cấu trúc luận văn 5
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 6
2.1 Mơ hình tấm nhiều lớp 6
2.2 Lý thuyết tấm Mindlin 6
2.3 Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng 7
2.4 Mơ hình nền đàn nhớt Pasternak 8
2.5 Bài toán tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển 9
2.6 Phương pháp MEM cho bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 13
2.6.1 Phần tử đẳng tham số 13
Trang 9vii
2.6.3 Bài toán tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di
chuyển 19
2.6.4 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng xử động tấm nhiều lớp trên nền Pasternark chịu tải trọng di chuyển 25
2.7 Phương pháp Newmark 29
2.8 Lưu đồ thuật toán: 31
CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ SỐ 32
3.1 Kiểm chứng chương trình matlab 33
3.1.1 Bài tốn 1: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớn khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh 33
3.1.2 Bài tốn 2: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng di động 35
3.2 Phân tích động lực học tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tác dụng của tải trọng di động có xét ảnh hưởng của nhiệt độ 37
3.2.1 Bài toán 3: Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị theo bước thời gian t 37
3.2.2 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động khi nhiệt độ thay đổi 39
3.2.3 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ khi chiều dày các lớp thay đổi 44
3.2.4 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ khi hệ số độ cứng nền kwf và độ cứng lớp liên kết kwc thay đổi 49
3.2.5 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ khi sức kháng cắt nền sck và sức kháng cắt liên kết kscthay đổi 52
Trang 10viii
3.2.7 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ khi vận tốc lực di
chuyển V thay đổi 59
3.2.8 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét ảnh hưởng nhiệt độ khi lực di chuyển P thay đổi 61
CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 63
4.1 Kết luận 63
4.2 Kiến nghị 63
DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 67
PHỤ LỤC 69
Trang 11ix
DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1 đường băng sân bay và đường cao tốc 1
Hình 1.2 mơ hình phần tử tấm cố định và tải trọng di động (FEM) 2
Hình 1.3 mơ hình phần tử tấm di động và tải trọng cố định (MEM) 2
Hình 2.1 Tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển 6
Hình 2.2 a) biến dạng nền Winkler, b) biến dạng nền Pasternark 9
Hình 2.3 a) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể x y, ; b) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên , 14
Hình 2.4: Phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp gồm 90 bậc tự do 19
Hình 3.1 Chuyển vị lớn nhất khi chịu tác dụng của tải trọng 34
Hình 3.2 Chuyển vị của tấm trên dọc theo phương x 36
Hình 3.3 Chuyển vị của tấm dưới dọc theo phương x 36
Hình 3.4 Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian t 38
Hình 3.5 So sánh chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 40
Hình 3.6 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 40
Hình 3.7 So sánh chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi 41
Hình 3.8 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi 41
Hình 3.9 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 42
Hình 3.10 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 42
Hình 3.11 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi 43
Hình 3.12 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi 43
Hình 3.13 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ /h htb thay đổi 44
Hình 3.14 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi tỷ lệ /h htb thay đổi 45
Hình 3.15 Chuyển vị tại tâm tấm theo tỷ lệ /h htb thay đổi 45
Hình 3.16 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ h hb/ t thay đổi 46
Trang 12x
Hình 3.18 Chuyển vị tại tâm tấm theo tỷ lệ h hb / t thay đổi 47
Hình 3.19 Phối cảnh 3D chuyển vị của tấm trên và tấm dưới khi h hb/ t 471 Hình 3.20 Phối cảnh 3D chuyển vị của tấm trên và tấm dưới khi h hb/ t 484 Hình 3.21 Phối cảnh 3D chuyển vị của tấm trên và tấm dưới khi h hb/ t 488 Hình 3.22 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ kwc/kwf thay đổi 49
Hình 3.23 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi tỷ lệ kwc/kwf thay đổi 50
Hình 3.24 Chuyển vị tại tâm tấm theo tỷ lệ kwc/kwf thay đổi 50
Hình 3.25 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ kwf /kwc thay đổi 51
Hình 3.26 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi tỷ lệ kwf /kwc thay đổi 51
Hình 3.27 Chuyển vị tại tâm tấm theo tỷ lệ kwf /kwcthay đổi 52
Hình 3.28 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ ksc/ksf thay đổi 53
Hình 3.29 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi tỷ lệ ksc/ksf thay đổi 53
Hình 3.30 Chuyển vị tại tâm tấm theo tỷ lệ ksc/ksf thay đổi 54
Hình 3.31 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ ksf /ksc thay đổi 54
Hình 3.32 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi tỷ lệ ksf /ksc thay đổi 55
Hình 3.33 Chuyển vị tại tâm tấm theo tỷ lệ ksf /kscthay đổi 55
Hình 3.34 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ c cc / f thay đổi 56
Hình 3.35 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi tỷ lệ c cc/ f thay đổi 57
Hình 3.36 Chuyển vị tại lớn nhất của tấm theo tỷ lệ c cc / f thay đổi 57
Hình 3.37 So sánh chuyển vị của tấm trên khi tỷ lệ cf /cc thay đổi 58
Hình 3.38 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi tỷ lệ cf /cc thay đổi 58
Hình 3.39 Chuyển vị tại lớn nhất của tấm theo tỷ lệ cf /ccthay đổi 59
Hình 3.40 So sánh chuyển vị của tấm trên khi vận tốc lực thay đổi 60
Hình 3.41 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi vận tốc lực thay đổi 60
Hình 3.42 Chuyển vị tại tâm tấm khi vận tốc lực thay đổi 61
Hình 3.43 So sánh chuyển vị của tấm trên khi lực thay đổi 61
Hình 3.44 So sánh chuyển vị của tấm dưới khi lực thay đổi 62
Trang 13xi
DANH MỤC BẢNG
Bảng 2.1: Tọa độ và trọng số của các điểm Gauss 16
Bảng 3.1 Thông số tấm bên trên 33
Bảng 3.2 Thông số tấm bên dưới 33
Bảng 3.3 Thông số lớp liên kết 33
Bảng 3.4 Thông số đất nền 34
Bảng 3.5 So sánh chuyển vị tại tâm tấm trên (mm) 34
Bảng 3.6 Thông số tấm bên trên 35
Bảng 3.7 Thông số tấm bên dưới 35
Bảng 3.8 Thông số lớp liên kết 35
Bảng 3.9 Thông số đất nền 36
Bảng 3.10 Thông số vật liệu tấm bên trên 37
Bảng 3.11 Thông số vật liệu tấm bên dưới 37
Bảng 3.12 Thông số lớp liên kết 37
Bảng 3.13 Thông số đất nền 38
Bảng 3.14 Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian t 38
Bảng 3.15 So sánh chuyển vị của tấm khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 39
Trang 14xii
KÝ HIỆU VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
MEM Phương pháp phân tử chuyển động (Moving Element Method) MMPM Phương pháp phần tử tấm nhiều lớp chuyển động (Multi-Layer
Moving Plate Method)
FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) Q9 Phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral Nine-Node Element)
Ma trận và vector
u Vector chuyển vị tại một điểm bất kì của kết cấu tấm
κ Vector độ cong
d Vector chuyển vị nút của phần tử
mm bbs
D , D,
D , D Ma trận vật liệu biến dạng màng, kết hợp của biến dạng màng và
biến dạng uốn, biến dạng uốn và biến dạng cắt của tấm J Ma trận Jacobi M Ma trận khối lượng tổng thể K Ma trận độ cứng tổng thể C Ma trận cản tổng thể p Vector tải trọng tổng thể Me Ma trận khối lượng phần tử Ke Ma trận độ cứng phần tử Ce Ma trận cản phần tử Pe Vector tải trọng phần tử
Meff Ma trận khối lượng hiệu dụng
Peff Vector tải trọng hiệu dụng
Keff Ma trận độ cứng hiệu dụng
m
Trang 15xiii
Ký hiệu
L, B Chiều dài chiều dài, chiều rộng
t
E Module đàn hồi của lớp trên
t
Hệ số giãn nở nhiệt lớp trên
t
G Module chống cắt đàn hồi của lớp trên
t
Hệ số poisson của lớp trên
t
Trọng lượng riêng lớp trên
t
h Chiều dày lớp trên
wck Hệ số độ cứng lớp liên kết sck Sức kháng cắt lớp liên kết cc Hệ số độ cản lớp liên kết b
E Module đàn hồi của lớp dưới
b
Hệ số giãn nở nhiệt lớp dưới
b
G Module chống cắt đàn hồi của lớp dưới
b
Hệ số poisson của lớp dưới
b
Trọng lượng riêng lớp dưới
b
h Chiều dày lớp dưới
wfk Hệ số độ cứng nền sfk Sức kháng cắt nền fc Hệ số độ cản nền x
Góc xoay của tấm quanh trục y
y
Góc xoay của tấm quanh trục x
s
Hệ số chịu cắt , ,
ttt
u v w Chuyển vị của lớp trên theo phương x, y và z , ,
bbb
Trang 16xiv
I
W
Công nội ảo của tấm ,,,,PmEEkwfksfEEcfEWWWWW
Công ngoại ảo do tải trọng, lực quán tính, lực đàn hồi của nền, lực kháng cắt của nền, lực cản của nền
V Vận tốc tải di động
P Tải trọng tải di động
(x,y) Hệ tọa độ cố định
(r,s) Hệ tọa độ di chuyển
, Hệ tọa độ địa phượng phần tử tấm
S Quãng đường di chuyển của tải trọng
a Gia tốc của tải trọng
nnn
d ,d ,d Chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại thời điểm tn
111
nnn
d ,d ,d Chuyển vị, vận tốc, gia tốc tại thời điểm tn+1
t
Trang 17Tổng quan 1
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu
Phân tích ứng xử động của kết cấu chịu tác dụng tải trọng di chuyển là đề tài được rất nhiều nhà khoa học quan tâm và các kết quả từ những nghiên cứu này được ứng dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật hiện đại Để giải quyết bài toán động, nhiều phương pháp đã được các nhà khoa học sử dụng, tuy nhiên mỗi phương pháp đều có những hạn chế riêng Trong đó, phương pháp giải tích có thể cho nghiệm chính xác, nhưng trong các bài tốn phức tạp như hệ có nhiều bậc tự do thì việc tìm lời giải giải tích gặp nhiều khó khăn và có thể bế tắc Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một công cụ mạnh mẽ, tuy nhiên trong phương pháp FEM thì các phần tử được thiết lập trong một hệ tọa độ cố định nên khi tải trọng di chuyển thì cần phải cập nhập vị trí của tải trọng sau mỗi bước thời gian Bên cạnh đó, đối với bài tốn tải trọng di chuyển trên kết cấu có chiều dài lớn như đường băng, nền đường ơ tơ, v.v … thì phương pháp FEM gặp khó khăn là miền tính tốn lớn, tải trọng sẽ nhanh tiến đến biên và vượt ra ngồi biên của mơ hình tính tốn
Hình 1.1 đường băng sân bay và đường cao tốc
Trang 18Tổng quan 2
So với các cơng trình nghiên cứu về ứng xử tĩnh và dao động của tấm nhiều lớp thì nghiên cứu về ứng xử động của tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển chưa được thực hiện nhiều, đặc biệt chưa có nghiên cứu phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp MEM Luận văn sẽ trình bày về đề tài này
Hình 1.2 mơ hình phần tử tấm cố định và tải trọng di động (FEM)
Hình 1.3 mơ hình phần tử tấm di động và tải trọng cố định (MEM)
1.2 Các cơng trình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 1.2.1 Các cơng trình nghiên cứu ngoài nước
Trang 19Tổng quan 3
Kim và Reosset [1] đã khảo sát ứng xử của tấm vô hạn trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng hằng số và tải trọng điều hịa di chuyển Sau đó, Kim [2] đã phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn hồi và nền hai thông số dưới tác dụng đồng thời của tải trọng nén và tải trọng di chuyển Sun [3] đã xây dựng lời giải giải tích cho tấm mỏng Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải điều hòa bằng chuỗi Fourier Xiang và cộng sự [4] đã phân tích tấm dày Mindlin biên tựa đơn trên nền Pasternak, nghiên cứu này cũng ứng dụng được trên nền Winkler khi giả thuyết ảnh hưởng biến dạng lớp cắt bằng không Xing và Liu [5] đã trình bày phương pháp giải quyết bài tốn động của tấm chữ nhật Mindlin Bằng cách sử dụng phương pháp dải hữu hạn (Finite Strip Method – FSM), Fang và Cheung [6] đã đề xuất phương pháp dải hữu hạn cong để phân tích dao động của tấm mỏng với các điều kiện biên phức tạp Huang và Thambiratman [7][8][9] đã khảo sát ứng xử tĩnh và động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng tĩnh, tải trọng chuyển động đều và tải trọng chuyển động có gia tốc
Các cơng trình nghiên cứu trên đều sử dụng phương pháp giải tích để tìm lời giải cho phương trình vi phân chuyển động của tấm Phương pháp giải tích có thể cho nghiệm chính xác, nhưng đối với bài tốn phức tạp như hệ có nhiều bậc tự do hoặc chuyển động khơng đều thì việc tìm lời giải giải thích gặp nhiều khó khăn và có thể bế tắc Để giải quyết những hạn chế này, nhiều nhà khoa học đã giải quyết các bài toán phức tạp bằng phương pháp số, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) Yoshida và Weaver [10] đã sử dụng phương pháp FEM để khảo sát ứng xử của tấm có biên tựa đơn dưới tác dụng của tải trọng di chuyển và khối lượng di chuyển Wu và cộng sự [11] đã sử dụng phương pháp FEM để khảo sát ứng xử của tấm phẳng chịu tác dụng của nhiều loại tải trọng khác nhau Nghiên cứu này khảo sát ảnh hưởng của gia tốc và vận tốc ban đầu của tải trọng cũng như chiều dài nhịp đến ứng xử của tấm
Trang 20Tổng quan 4
của mình, Koh và cộng sự [13][14] lần lượt đã phát triển phương pháp MEM cho bài tốn phân tích ứng xử tấm hình vành khăn và ứng xử của nền bán không gian đàn hồi chịu tải trọng di chuyển Xu và cộng sự [15] đã phát triển phương pháp MEM từ bài toán dầm cho bài toán tấm để phân tích ứng xử của tấm mỏng đặt trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng di chuyển
1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu trong nước
Ở trong nước, các cơng trình nghiên cứu về ứng xử động của dầm và tấm cũng được thực hiện Nguyễn [16] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM để phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt có xét đến khối lượng của vật chuyển động Nguyễn và cộng sự [17] đã phân tích động lực học của tấm chữ nhật trên nền đàn nhớt biến thiên chịu khối lượng di động bằng phương pháp FEM Cao và cộng sự [18] đã phân tích tấm dày Mindlin trên nền Pasternak chịu tác dụng của tải trọng di chuyển Cao và cộng sự [19] đã xây dựng phương pháp tấm nhiều lớp chuyển động (MMPM) cho bài tốn phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển
1.2.3 Tính cấp thiết của đề tài
Hiện nay, bài toán tấm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nên đã có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm Cũng có nhiều đề tài đã phân tích và nghiên cứu bài toán tấm sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Tuy nhiên, các phân tích này chỉ dừng ở mức độ là phân tích tấm một lớp, có một số bài nghiên cứu về tấm nhiều lớp nhưng không xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ đến quá trình tính tốn Vì vậy, nghiên cứu phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ sử dụng phương pháp MMPM đã được thực hiện trong luận văn
1.3 Mục tiêu và hướng nghiên cứu
Mục tiêu đề ra trong luận văn này là phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ bằng phương pháp MMPM
Để hoàn thành mục tiêu trên thì các vấn đề sau được thực hiện:
Thiết lập mơ hình tấm 2 lớp, thành lập ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản của nhiều lớp nền
Trang 21Tổng quan 5
Phân tích, kiểm tra và so sánh kết quả thu được từ chương trình tính tốn với kết quả nghiên cứu của tác giả khác để khẳng định tính tối ưu, tin cậy của phương pháp
Nghiên cứu các tham số khác nhau của mơ hình đề xuất để khảo sát ảnh hưởng của các đại lượng đến ứng xử động của tấm nhiều lớp, từ đó đưa ra kết luận
1.4 Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày như sau:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm chịu tải trọng động, các cơng trình nghiên cứu về lĩnh vực này, mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài
Chương 2: Trình bày lý thuyết về tấm nhiều lớp, nền Pasternak, phương pháp phần tử chuyển động để phân tích động lực tấm nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển có xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ, lưu đồ thuật tốn
Chương 3: Trình bày các bài tốn, phân tích, so sánh với các nghiên cứu khác và thảo luận về kết quả
Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai
Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài
Trang 22Cơ sở lý thuyết 6
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Mơ hình tấm nhiều lớp
Xét mơ hình tấm gồm hai lớp có kích thước giống nhau (chiều dài L và chiều rộng L) liên kết với nhau bằng lớp liên kết sử dụng mơ hình nền Pasternak có hệ số độ cứng kwc, hệ số kháng cắt ksc và hệ số cản cc Tấm phía dưới đặt trên nền sử dụng mơ hình Pasternak có hệ số độ cứng kwf, hệ số kháng cắt ksf và hệ số cản cf
Tấm bên trên có chiều dày ht và tấm bên dưới có chiều dày hb Hệ trục tọa độ
t t t t
O x y z ,O x y zb b b b của tấm bên trên và tấm bên dưới được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ O x y zt t t t,O x y zb b b b trùng với mặt trung hịa của từng tấm và mơ hình từng tấm có miền hình học t, bR2 với trục ,z ztbvng góc với mặt phẳng tấm Gọi
0t, ,0t 0t
u v w và u v w0b, 0b, 0b lần lượt là các chuyển vị theo phương x, y, z của một điểm ở mặt trung hòa của tấm bên trên và tấm bên dưới Ký hiệu và xt, yt lần xb, yb
lượt là các góc xoay của phương pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục O y O xtt, t t và ,
b bb b
O y O x của tấm bên trên và tấm bên dưới được thể hiện ở Hình 2.1
Hình 2.1 Tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển
2.2 Lý thuyết tấm Mindlin
Trang 23Cơ sở lý thuyết 7
do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn cịn vng góc với mặt trung bình và phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra Các thành phần chuyển vị u,v
và w tại một điểm bất kì trong tấm theo lý thuyết tấm Mindlin được viết như sau:
000, , , ,, , , ,, , ,xyu x y zu x yzx yv x y zv x yzx yw x y zw x y (2.1)
Nếu gọi xzvà lần lượt là thành phần biến dạng cắt của tấm thì các góc xoay yzcủa mặt trung hịa tấm quanh trục y và trục x lần lượt được xác định như sau:
, 0 ; , 0xxzyyzwwx yx yxy (2.2)
2.3 Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Trường biến dạng của một điểm bất kì trong tấm theo lý thuyết tấm Mindlin được xác định như sau: 00000,,0,,0,0,,, =xxyyxyyxxx xyy ymyxx yy xuxxvzyyuvyxyxuvzzuv εεκ(2.3) 0,,oxxzxxoyzyo yywwxwwy γ (2.4) trong đó: m
ε - là trường biến dạng màng của tấm được xác định theo công thức:
Trang 24Cơ sở lý thuyết 8
κ- là độ cong của tấm được xác định theo công thức: ,,,,x xy yx yy x κ (2.6)
Ký hiệu “,” thể hiện đạo hàm đối với biến là ký tự liền sau
Mối quan hệ giữa các thành phần ứng suất và biến dạng trong tấm Mindlin được trình bày như sau:
1112212266000 0xxyyxyxyQQQQQ σ (2.7) 554400xzxzyzyzQQ τ (2.8) trong đó: Hằng số vật chất được xác định bỡi: 11222122445566, 1 12 1EvEQQQvEQQQv (2.9)
E – modun đàn hồi của vật liệu
v - hệ số Poisson
2.4 Mơ hình nền đàn nhớt Pasternak
Trong các nghiên cứu trước đây, mơ hình nền Winkler Hình 2.2a được sử dụng rộng rãi để mơ hình nền đất với giả thuyết nền là hệ thống các lò xo độc lập mà khơng có sự tương tác qua lại giữa các lị xo Bởi vì điều này nên mơ hình Winkler có sự khơng liên tục trong chuyển vị của nền giữa bề mặt chịu tác động và bề mặt không chịu tác động Để khắc phục hạn chế này, mơ hình nền Pasternak (mơ hình nền hai thơng số như Hình 2.2b) phản ánh chính xác hơn chuyển vị của nền nhờ thiết lập sự liên kết giữa các lò xo bằng một lớp kháng cắt liên kết đỉnh của các lò xo Phản lực của nền đàn nhớt Pasternak lên kết cấu tấm được thể hiện dưới dạng tốn học được trình bày trong các nghiên cứu đã được công bố (Atmane và cộng sự [20], Zenkour và Radwan [21]):
2
wfsff
Trang 25Cơ sở lý thuyết 9
trong đó:
wf
k - thông số nền đầu tiên (độ cứng dọc của nền Winkler)
sf
k - thông số nền thứ hai (sức chống cắt của móng Pasternak)
f
c - hệ số điều tiết của nền
w – chuyển vị thẳng đứng của tấm
w- vận tốc phương đứng sự dịch chuyển của tấm
2
- đạo hàm cấp hai theo phương x và y:
22222Txy (2.11)
Hình 2.2 a) biến dạng nền Winkler, b) biến dạng nền Pasternark
2.5 Bài toán tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển
Trường chuyển vị tại một điểm bất kì trong mặt phẳng trung hòa của tấm bên trên và tấm bên dưới được cho bỡi:
000Tt ut vt wt xt ytu (2.12) 000Tb ub vb wb xb ybu (2.13)
Các thành phần chuyển vị tại một điểm bất kì trong tấm phía trên , ,u v w và tấm ttt
phía dưới , ,u v w theo phương bbbx y z, , được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên trục của tấm phía trên và tấm phía dưới như sau:
Trang 26Cơ sở lý thuyết 10 trong đó: , , ,2 2tttttth hx y z và , , ,2 2bbbbbbh hx y z
Phương trình chuyển động của tấm được thiết lập dựa trên nguyên lý công ảo: nếu một vật thể ở trạng thái cân bằng thì tổng cơng nội ảo bằng tổng cơng ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ
Công nội ảo của tấm trên:
mtmbtmtTTTItmtttbmtbtttsttWd DD0εεκγDD0κ00Dγ(2.16) trong đó: mt
D - ma trận vật liệu liên quan đến độ căng của màng
1112/22122/266000 0tthmtthQQQQdzQ D (2.17) mbt
D - ma trận vật liệu kết hợp giữa biến dạng màng và biến dạng uốn:
1112/22122/266000 0tthmbttthQQQQz dzQ D (2.18) bt
D - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng uốn
1112/222122/266000 0tthbttthQQQQz dzQ D (2.19) st
D - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng cắt
/25544/200tthststhQdzQ D (2.20) 5 / 6s - hệ số hiệu chỉnh lực cắt 11, 12, 22, 44, 55, 66
QQQQQQ - hằng số vật liệu được xác định theo công thức:
11222 , 122 ; 4455661 1 2 1tttttttEv EEQQQQQQvv (2.21) t
Trang 27Cơ sở lý thuyết 11
t
- hệ số Poisson tấm bên trên
Tổng công ngoại ảo của tấm bên trên trên lớp liên kết sử dụng mơ hình Pasternak: wcscckkcPmEtEtEtEtEtEtWWWWWW (2.22) trong đó: PE tW
- cơng ngoại ảo do tải chuyển động:
PTEttttWd u b (2.23) t
b – vector tải tác dụng lên tấm, được xác định theo công thức:
0 0 0 0 0T
t
b P x S y (2.24)
P - lực chuyển động dọc theo trục x qua tâm của tấm
S - sự di chuyển của tải tại thời điểm t
- Dirac - Delta function
mEtW
- cơng ngoại ảo do lực qn tính
tmTEttt ttWd u m u (2.25) t
u- vector trường chuyển vị
t
u- vector gia tốc của trường chuyển vị
t
m - ma trận khối lượng tấm bên trên được xác định theo công thức:
/22/221 0 0 00 1 0 00 0 1 0 00 0 00 0 0tttthttthttttzzdzzzzz m (2.26) t
- khối lượng riêng vật liệu của tấm bên trên
w ckEtW
- công ngoại ảo do lực đàn hồi của nền:
wctkTEttwctbtWw kw w d (2.27) sfkEtW
Trang 28Cơ sở lý thuyết 12 22 sctkTEttsctbtWw kww d (2.28) ccEtW
- công ngoại ảo do lực cản của nền:
ctcTEttctbtWw c w w d (2.29)
Cân bằng công nội ảo và cơng ngoại ảo của tấm bên trên, phương trình chuyển động của tấm bên trên được thiết lập:
22 ttttttmtmbtmtTTTmtttbmtbtttsttTTtt tttwctbtTTTsctbttctbttttddw kww dw kww dw c ww dd DD0εεκγDD0κ00Dγu m uu b (2.30)
Tương tự, phương trình chuyển động của tấm bên dưới được thiết lập theo công thức sau đây: 22 2 0bbbbbbbbmbmbbmbTTTmbbbbmbbbbbsbbTTbb bbbwctbbTTbsctbbbctbbTTTbwfbbbsfbbbfbbddw kww dw kww dw c ww dw k w dw kw dw c w d DD0εεκγDD0κ00Dγu m u (2.31) trong đó: mb
D - ma trận vật liệu liên quan đến độ căng của màng
1112/22122/266000 0bbhmbbhQQQQdzQ D (2.32) mbb
Trang 29Cơ sở lý thuyết 13 1112/22122/266000 0bbhmbbbbhQQQQz dzQ D (2.33) bb
D - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng uốn
1112/222122/266000 0bbhbbbbhQQQQz dzQ D (2.34) sb
D - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng cắt
/25544/200bbhsbsbhQdzQ D (2.35) 5 / 6s - hệ số hiệu chỉnh lực cắt 11, 12, 22, 44, 55, 66
QQQQQQ - hằng số vật liệu được xác định theo công thức:
11222 , 122 ; 4455661 1 2 1bbbbbbbEv EEQQQQQQvv (2.36) b
E - modun đàn hồi tấm bên trên
b
- hệ số Poisson tấm bên trên
b
m - ma trận khối lượng tấm bên dưới được xác định theo công thức:
/22/221 0 0 00 1 0 00 0 1 0 00 0 00 0 0bbbbhbbbhbbbbzzdzzzzz m (2.37) b
- khối lượng riêng vật liệu của tấm bên dưới
2.6 Phương pháp MEM cho bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 2.6.1 Phần tử đẳng tham số
Trong luận văn này, phần tử tấm tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element -
9
Trang 30Cơ sở lý thuyết 14
Hình 2.3 a) Phần tử Q trong hệ tọa độ tổng thể 9 x y, ; b) Phần tử Q trong hệ tọa 9
độ tự nhiên ,
Các hàm nội suy Lagrange Ni i 1 9 của phần tử Q được cho bởi công thức: 9
1232245622227691 1 11 1 ; 1 1 ; 1 1 ;4 4 41 1 11 1 ; 1 1 ; 1 1 ;4 2 21 1 11 1 ; 1 1 ; 1 12 2 2NNNNNNNNN (2.38)
Vì là phần tử đẳng tham số nên tọa độ của điểm bất kỳ trong phần tử được xác định bởi nội suy tuyến tính:
9911; yi ii iiixN xN y (2.39)
trong đó: x yi, i là tọa độ của nút thứ i i 1 9 trong hệ tọa độ tổng thể Oxy Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:
Trang 31Cơ sở lý thuyết 15 9,1xix iiN (2.43) 9,1yiy iiN (2.44)
trong đó: u0,i,v0,i,w0,i, là các thành phần chuyển vị tại nút thứ i của phần tử x i,, y i,
Ma trận Jacobi cho phép biến đổi tọa độ được cho trong dạng như sau:
119122291299 xyNxyNNxyxyNNNxy J (2.45)
Quan hệ giữa đạo hàm của các hàm dạng Ni trong hệ tọa độ tự nhiên O và các đạo hàm trong hệ tọa độ tổng thể Oxy lần lượt là:
1iiiiiiNNNxxxNNNyyy J (2.46) 2222221222222iiiiTiiiiNNNNxx yNNNNy xy JJ (2.47) trong đó: 1 xxyy J (2.48) Txyxy J (2.49)
Trang 32Cơ sở lý thuyết 16 1 11 1detddxdyd d J (2.50)
Cơng thức tích phân (2.50) có thể được giải bằng phương pháp giải tích, nhưng việc áp dụng đối với các hàm phức tạp lại rất khó khăn Đặc biệt, khi , biến thiên theo đường cong Phương pháp cầu phương Gauss được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử hữu hạn Cơng thức (2.50) được tính bằng phương pháp cầu phương Gauss trong phẳng và có dạng như sau:
1 1111 1, nniji, jijf d dw w f (2.51) trong đó:
i, j- tọa độ điểm Gauss nằm trong phần tử
,
ij
w w - các trọng số tương ứng
n- số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương
Bảng 2.1: Tọa độ và trọng số của các điểm Gauss Số điểm Gauss
n
Tọa độ điểm Gauss
i, jTrọng số ,ijw w1 r10.00000 00000 2.00000 00000 2 r1 r2 0.57735 02691 1.00000 000003 r1 r3 0.77459 66692 0.55555 555552 0.00000 00000r 0.88888 88888
2.6.2 Hệ tọa độ chuyển động và các mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động và hệ tọa độ cố định trong phương pháp MEM
Ý tưởng của phương pháp MEM là sử dụng một hệ tọa độ chuyển động r s, có gốc tọa độ được gán tải trọng và chuyển động cùng vận tốc với tải trọng Mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động r s, và hệ tọa độ cố định x y, như sau:
r x Ss y
(2.52)
Trang 33Cơ sở lý thuyết 17
Khi tải trọng chuyển động với vận tốc ban đầu V0 và gia tốc a thì mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ được viết như sau:
2012rx V tatsy (2.53)
Mối quan hệ vi phân của r theo t được xác định bởi:
0 rVatvt (2.54)
trong đó: v V 0 at là vận tốc của tải trọng tại thời điểm t
Mối quan hệ của trường chuyển vị giữa hệ tọa độ chuyển động r s, và hệ tọa độ cố định x y, là: 0 , 0 , ; 0 , 0 , ; 0 , 0 , ;, , ; , ,xxyyu r su x y v r sv x y w r sw x yr sx yr sx y (2.55)
Sử dụng phép biến đổi tọa độ, mối quan hệ vi phân giữa hai hệ tọa độ lần lượt được viết như sau:
Trang 34Cơ sở lý thuyết 18 , ,xx yxr sys (2.64) , ,yx yyr sys (2.65) , , ,w x yw r sw r swvttr (2.66) x y, r s, r s,vttr uuuu (2.67) 22222222, , , , ,2x yr sr sr sr svvatrr trt uuuuuu (2.68)
Phương trình vi phân chuyển động của tấm trên (2.30) được viết trong hệ tọa độ chuyển động r s, như sau:
22222222, ,2, ,,ttttmtmbtmtTTTmtttbmtbttsttttTttttTTtwctbsctbtTtcdrdsr sr svvrr tdrdsr sr sartw kww drdsw kww drdsw r stw c DD0εεκγDD0κ00Dγuuu muu ,,, ,tttTttbbw r svrdrdsr s drdsw r sw r svtr u b (2.69)
trong đó:b r s, là vector tải trọng được biến đổi sang hệ tọa độ r s, được xác định bởi công thức:
r s, 0 0P r s00 0
b (2.70)
Trang 35Cơ sở lý thuyết 19 22222222, ,2, ,,bbbbmbmbbmbTTTmbbbbmbbbbsbbbbTTbbbwctbbbtTTbsctbbcdrdsr sr svvrr tdrdsw kww drdsr sr sartw r stw kww drdsw c DD0εεκγDD0κ00Dγuuu muu 2,, ,, ,0bbbbtbbTTbwfbbsfbTbbbfw r svrdrdsw r sw r svtrw k w drdsw kw drdsw r sw r sw cvdrdstr (2.71)
2.6.3 Bài toán tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển
Phương pháp phần tử tấm nhiều lớp chuyển động (Multi-layer Moving Plate Method-MMPM), phát triển từ phương pháp phần tử chuyển động MEM, được sử dụng để phân tích ứng xử bài tốn tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển như Hình 2.1
Trang 36Cơ sở lý thuyết 20
Hình 2.4 thể hiện phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp sử dụng để mơ hình bài tốn Mỗi nút của phần tử có 5 bậc tự do nên mỗi phần tử tấm nhiều lớp gồm 18 nút và có tổng cộng 90 bậc tự do Vector chuyển vị nút của phần tử tấm nhiều lớp được viết như sau:
0001 18 90 1Teiiixiyiiuvw d (2.72)
Trường chuyển vị và các chuyển vị theo phương đứng của tấm bên trên và tấm bên dưới lần lượt được cho bởi:
et tuN d (2.73) eb buN d (2.74) etwtw N d (2.75) ebwbw N d (2.76) trong đó: tN - Ma trận hàm dạng tấm bên trên: 5 451 9 5 45 5 900 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0iitiiiiNNNNN N(2.77) bN - Ma trận hàm dạng tấm bên dưới: 5 451 9 5 45 5 900 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0iibiiiiNNNNN N (2.78) wt
Trang 37Cơ sở lý thuyết 21 1 451 9 1 45 1 900 0 0 00 0 0 0 0wtiiN N (2.79) wb
N - vector hàm dạng của tấm bên dưới:
1 451 9 1 45 1 900 0 0 0 00 0 0 0wbiiN N (2.80)
Các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt của tấm bên trên và tấm bên dưới lần lượt được trình bày ở dạng ma trận như sau:
e; e; emt mtt btt stεB d κB d γB d (2.81) e; e; emb mbb bbt sbεB d κB d γB d (2.82) trong đó: mt
B - ma trận gradient biến dạng màng của tấm bên trên:
,,,,3 451 9 3 45 3 900 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0i rmti si si riNNNN B(2.83) bt
B - ma trận gradient biến dạng uốn của tấm bên trên:
,,,,3 451 9 3 45 3 900 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0i rbti si si riNNNN B(2.84) st
B - ma trận gradient biến dạng cắt của tấm bên trên:
,,2 451 9 2 45 2 900 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0i risti siiNNNN B(2.85) mb
Trang 38Cơ sở lý thuyết 22 ,,,,3 45 1 9 3 453 900 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0i rmbi si si riNNNN B (2.86) bb
B - ma trận gradient biến dạng uốn của tấm bên dưới:
,,,,3 45 1 9 3 453 900 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0i rbbi si si riNNNN B (2.87) sb
B - ma trận gradient biến dạng cắt của tấm bên dưới:
,,2 451 9 2 45 2 900 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0i risbi siiNNNN B (2.88)
Phương trình vi phân chuyển động của phần tử tấm bên trên và tấm bên dưới trong hệ tọa độ chuyển động r s, ở công thức (2.69) và (2.71) được viết gọn lại dưới dạng quen thuộc là: ee ee ee et t t tM dC dK dP (2.89) ee ee ee eb b b bM dC dK dP (2.90) trong đó: et
M - ma trận khối lượng của phần tử tấm bên trên chuyển động: deteteTttttd d MmN NJ (2.91) et
C - ma trận cản của phần tử tấm bên trên chuyển động:
Trang 39Cơ sở lý thuyết 23
et
K - ma trận độ cứng của phần tử tấm bên trên chuyển động:
2,,det det det det det eteetteettmtmbtmtTTTetmtbtstbmtbtbtststTTttt rttt rrTTwcwtwtwcwtwbd dad dVd dkd dkd d DD0BKBBBDD0BJ00DBmN NJmN NJN NJN NJ ,,,,,, det det det deteteteettTTscwtwt rrwtwt ssTTscwtwb rrwtwb ssTTcwtwt rcwtwb rkd dkd dc Vd dc Vd d N NN NJN NN NJN NJN NJ(2.93) et
P - vector tải trọng của phần tử tấm bên trên chuyển động:
, deteteTttr sd d PN bJ (2.94) eb
M - ma trận khối lượng của phần tử tấm bên dưới chuyển động:
detebeTbbbbd d MmN NJ (2.95) eb
C - ma trận cản của phần tử tấm bên dưới chuyển động:
,2 det det det deteetteetteTTbbbb rfwbwbTTcwbwbcwbwtVd dcd dcd dcd d CmN NJN NJN NJN NJ (2.96) et
Trang 40Cơ sở lý thuyết 24 2,,,det det det det det ebeebbeebbmbmbbmbTTTebmbbbsbbmbbbbbsbsbTTbbb rbbb rrTTwfwbwbfwbwb rd dad dVd dkd dc Vd d DD0BKBBBDD0BJ00DBmN NJmN NJN NJN NJ ,,,,,, det det det det + det ebeebbebebTTsfwbwb rrwbwb ssTTwcwbwbwcwbwtTTscwbwb rrwbwb ssTTscwbwt rrwbwt sskd dkd dkd dkd dkd d N NN NJN NJN NJN NN NJN NN NJ , ,det deteebbTTcwbwb rcwbwt rc Vd d c Vd d N NJ N NJ(2.97) eb
P - vector tải trọng của phần tử tấm bên dưới chuyển động:
e 0
b
P (2.98)
,r- đạo hàm bậc nhất theo r
,rr- đạo hàm bậc hai theo r
,ss- đạo hàm bậc hai theo s