Phân tích động lực học tấm composite chịu tải trọng động và nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRƯƠNG NHẬT ANH

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC TẤM COMPOSITE CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG VÀ NHIỆT ĐỘ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trang 2

CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG-HCM

Cán bộ hướng dẫn 1: TS Nguyễn Thái Bình

Cán bộ hướng dẫn 2: PGS TS Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Hà Minh Tuấn

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Trần Minh Thi

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 11 tháng 07 năm 2023

Thành phần Hội đồng đánh giá đề cương Luận văn thạc sĩ gồm: 1 PGS TS Vũ Tân Văn - Chủ tịch

2 TS Thái Sơn - Thư ký 3 PGS TS Hồ Đức Duy - Ủy viên 4 TS Hà Minh Tuấn - Phản biện 1 5 TS Trần Minh Thi - Phản biện 2

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Trang 3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRƯƠNG NHẬT ANH MSHV: 2270001

Ngày, tháng, năm sinh: 12/04/1999 Nơi sinh: Cà Mau

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201

I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích động lực học tấm composite chịu tải trọng động và nhiệt độ sử dụng phương pháp phần tử chuyển động ( Dynamic analysis of composite plate subjected to moving and thermal loads using Moving Element Method )

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Phát triển mơ hình, phương trình chủ đạo của bài toán tấm composite chịu tác dụng của tải trọng động trên nền Pasternak bằng phương pháp phần tử tấm chuyển động MEM (Moving Element Method) xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ 2 Sử dụng Matlab mơ phỏng các ví dụ số, kiểm chứng mơ hình và lập trình 3 Khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ và các thông số của tấm đến ứng xử động của

tấm, đưa ra các kết luận và kiến nghị

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 06/02/2023 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 13/06/2023

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS Nguyễn Thái Bình HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: PGS TS Lương Văn Hải

Tp HCM, ngày 13 tháng 06 năm 2023

Cán bộ hướng dẫn 1 Cán bộ hướng dẫn 2

TS Nguyễn Thái Bình PGS TS Lương Văn Hải

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

PGS TS Lê Anh Tuấn

Trang 4

LỜI CẢM ƠN

Với mong muốn trao dồi thêm kiến thức cho bản thân và một niềm đam mê nghiên cứu, tìm tịi, học hỏi, sau khi tốt nghiệp Đại học Bách khoa – Đại học Quốc gia TP.HCM Tơi đã đăng ký tham gia chương trình liên thông đại học – thạc sĩ của trường, tôi đã vượt qua những mơn học bổ ích nhưng cũng đầy khó khăn, để giờ đây tơi đã tiến đến luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

Quá trình học tập chương trình thạc sĩ và đặc biệt trong khoảng thời gian làm luận văn thạc sĩ tôi đã được sự giúp đỡ và chỉ dẫn rất nhiệt tình từ các thầy các cơ trong đại học bách khoa nói chung và khoa kỹ thuật xây dựng nói riêng đã tạo rất nhiều năng lượng và động lực để tơi có thể hồn thành chương trình cao học thạc sĩ, hồn thành đúng hạn và đầy đủ nhiệm vụ luận văn thạc sĩ được giao Từ đó tơi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thái Bình Thầy đã đưa ra những định hướng để hình thành nên ý tưởng của đề tài, cũng như các phương pháp giải quyết các vấn đề quan trọng trong quá trình nghiên cứu

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Lương Văn Hải, người đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình viết và phát triển chương trình tính tốn Tơi rất cảm kích và biết ơn Thầy vì đã ln sẵn sàng giải đáp những vướng mắc của tơi trong q trình thực hiện đề cương luận văn

Luận văn đã hoàn thành trong thời gian quy định, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ góp ý và chỉ dẫn thêm để tơi có thể bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản cho đề tài luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Tp HCM, ngày 13 tháng 06 năm 2023

Trang 5

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Trong luận văn này sẽ tập trung phát triển phương pháp phần tử chuyển động MEM để mô phỏng ứng xử động của tấm composite chịu tải trọng di động trên nền Pasternak có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ Từ đó, phân tích ứng xử động của tấm composite chịu tải trọng động trên nền Pasternak với điều kiện nhiệt độ, thông số tấm và nền thay đổi

Trong thời buổi khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển không ngừng như ngày nay, số lượng phương tiện giao thơng ngày càng tăng, các cơng trình xây dựng ngày càng hiện đại Việc nghiên cứu về ứng xử động của cơng trình xây dựng cần được đặt sự quan tâm nhiều hơn Lựa chọn vật liệu cho phù hợp với những đặc điểm ưu việt và phù hợp, giảm thiểu tác hại của ứng xử động có xét đến yếu tố nhiệt độ Vật liệu composite được cấu tạo bằng cách kết hợp hai hay nhiều vật liệu và có được những tính chất tốt hơn so với những vật liệu ban đầu (khi những vật liệu này làm việc riêng lẻ) Với các đặc tính ưu việt vật liệu composite ngày càng được ứng dụng nhiều trong thực tế đồng thời được các nhà khoa học nghiên cứu nhiều hơn Việc được sử dụng rộng rãi cả trong nhà lẫn ngồi trời nên yếu tố nhiệt độ ln có tác động đến tấm vật liệu composite, đặc biệt là khi ở ngoài trời thời tiết nhiệt độ thay đổi lên xuống thất thường sẽ gây ra thử thách đối với độ bền, độ cứng và khả năng chịu lực của vật liệu Dựa trên những nghiên cứu đã đi trước đồng thời đóng góp thêm các yếu tố nghiên cứu mới luận văn này sẽ phát triển phương trình chủ đạo, từ đó phân tích ứng xử động của tấm composite cấu tạo từ nhiều lớp có góc hướng sợi khác nhau sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Moving Element Method) có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ

Trang 6

ABSTRACT

In this thesis, the focus will be on developing the MEM moving element method to simulate the dynamic behavior of composite plates subjected to moving loads on Pasternak foundation taking into account the influence of temperature From there, analyze the dynamic behavior of composite plates subjected to dynamic loads on Pasternak foundation with changing temperature.

In today's constantly developing science and technology, the number of means of transport is increasing, construction works are increasingly modern The study of the dynamic behavior of construction needs more attention Select materials to suit their superior and appropriate characteristics, minimizing the harmful effects of dynamic behavior taking into account temperature factors.

Composite materials are composed by combining two or more materials and acquiring better properties than the original materials (when these materials work individually) With superior properties, composite materials are increasingly applied in practice, and at the same time are studied more by scientists Being widely used both indoors and outdoors, the temperature factor always has an impact on composite material sheets, especially when outdoors when the temperature changes up and down erratically, which will cause challenges to the strength, rigidity and bearing capacity of the material Based on previous research and contributing new research factors, this thesis will develop the main equation, from which to analyze the dynamic behavior of composite plates composed of many layers with different filamentous angles using the Moving Element Method (MEM) taking into account the influence of temperature.

Previous models of movable load-bearing composite plates often used only calculus methods, FEM finite element methods or MEM moving element methods, and the influence of temperature was ignored, rarely considered Therefore, for this thesis will consider the dynamic reaction of composite plates in more detail, more factors develop the MEM moving element method with more advantages.In which the plate elements will be seen as moving and the load can be considered stationary, besides taking into account the temperature factor when acting on the sides of the plate The thesis hopes to contribute to some research on the dynamic behavior of composite plates on Pasternak foundation taking into account the influence of temperature.

Trang 7

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của giáo viên TS Nguyễn Thái Bình và PGS.TS Lương Văn Hải

Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về cơng việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 13 tháng 06 năm 2023

Trang 8

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii

LỜI CAM ĐOAN v

MỤC LỤC vi

DANH MỤC HÌNH ẢNH viii

DANH MỤC BẢNG x

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xii

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Tình hình sử dụng, nghiên cứu vật liệu composite trong và ngoài nước 1

1.2.1 Tình hình sử dụng vật liệu composite trong và ngồi nước 1

1.2.2 Tình hình nghiên cứu ngồi nước 3

1.2.3 Tình hình nghiên cứu trong nước 4

1.3 Tính cấp thiết của đề tài 4

1.4 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 5

1.4.1 Mục tiêu 5

1.4.2 Hướng nghiên cứu 5

1.5 Cấu trúc của luận văn 6

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 7

2.1 Bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 7

2.1.1 Mô hình nền đàn nhớt Pasternak 7

2.1.2 Tấm composite trên nền đàn nhớt Pasternak 8

2.2 Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) bài toán tấm chịu tải trọng động 16 2.2.1 Phần tử đẳng tham số 16

2.2.2 Bài toán tấm composite nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động 20

2.3 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng xử động của tấm composite trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển 27

Trang 9

2.5 Lưu đồ thuật tốn 35

CHƯƠNG 3 CÁC VÍ DỤ SỐ 36

3.1 Kiểm chứng mơ hình tính tốn và chương trình Matlab khi tấm ở nhiệt độ phịng 38

3.1.1 Bài tốn 1: Phân tích tấm composite nhiều lớp chịu tải phân bố tĩnh 38

3.1.2 Bài tốn 2: Phân tích dao động tự nhiên của tấm composite laminate 40

3.1.3 Bài tốn 3: Phân tích động lực học của tấm composite laminate chịu tải trọng động trên nền Pasternak 46

3.2 Phân tích động lực học tấm composite laminate chịu tải trọng động có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ 47

3.2.1 Bài toán 4: Khảo sát sự hội tụ chuyển vị theo lưới chia phần tử, bước lặp của thời gian và chiều dài của tấm có xét đến mơi trường nhiệt độ 48

3.2.2 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm composite nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động trong môi trường nhiệt độ thay đổi 51

3.2.3 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động của tấm composite trên nền Pasternak tải trọng di động với hệ số nền kwf, ksf, cf thay đổi có xét ảnh hưởng nhiệt độ 54

3.2.4 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động của tấm composite nhiều lớp chịu tải trọng động có xét đến ảnh hưởng của nhiệt khi chiều dày tấm h thay đổi 61

3.2.5 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động của tấm composite nhiều lớp chịu tải trọng động trong môi trường nhiệt độ khi số lớp của tấm thay đổi 63

3.2.6 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động của tấm composite nhiều lớp chịu tải trọng động trong môi trường nhiệt độ khi vận tốc di chuyển V thay đổi 64

3.2.7 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động của tấm composite nhiều lớp chịu tải trọng động trong môi trường nhiệt độ khi giá trị lực P thay đổi 66

3.2.8 Bài toán 11: Khảo sát ứng xử động của tấm composite nhiều lớp chịu tải trọng động trong mơi trường nhiệt độ khi góc hướng sợi của các lớp thay đổi 68

CHƯƠNG 4 KIẾN NGHỊ VÀ KẾT LUẬN 70

4.1 Kết luận 70

4.2 Kiến nghị 71

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

PHỤ LỤC 76

Trang 10

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 Ứng dụng của tấm vật liệu composite 2

Hình 2.1 a) Biến dạng nền Winkler, b) Biến dạng nền Pasternak 7

Hình 2.2 Cấu trúc của tấm composite nhiều lớp có hướng sợi khác nhau 8

Hình 2.3 Các loại của vật liệu composite 9

Hình 2.4 Tấm composite trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển 12

Hình 2.5 Hệ tọa độ của vật liệu lớp thứ k và hệ tọa độ chung 13

Hình 2.6 a) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể (x, y); b) Phần tử tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên 17

Hình 2.7 Rời rạc tấm thành Ne phần tử và hệ tọa độ chuyển động (r, s) 20

Hình 3.1 Mơ hình tấm composite laminate chịu tải phân bố hình sin 38

Hình 3.2 Chuyển vị khơng thứ nguyên tại tấm theo tỉ lệ a/h 39

Hình 3.3 Mơ hình tấm composite 4 lớp tựa đơn 40

Hình 3.4 Sai số của tần số dao động đầu tiên không thứ nguyên * các phương pháp đối với luận văn 42

Hình 3.5 So sánh tần số dao động không thứ nguyên * giữa các phương pháp 43

Hình 3.6 Mơ hình tấm composite 3 lớp (00/900/00) 4 cạnh ngàm 44

Hình 3.7 Các dạng dao động của tấm composite 3 lớp, biên ngàm với / 10a h = 45

Hình 3.8 Mơ hình tấm composite nhiều lớp tựa trên nền Pasternak dưới tác dụng của tải trọng di động 46

Hình 3.9 Chuyển vị tâm tấm với các hệ số K khác nhau 47

Hình 3.10 Biểu đồ hội tụ của chuyển vị ở giữa tấm theo log(t) 50

Hình 3.11 Chuyển vị của tấm trên trục qua trọng tâm của tấm theo phươngxcạnh dài a khi chiều dài của mơ hình thay đổi 51

Trang 11

Hình 3.13 Chuyển vị lớn nhất của tấm khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi 53Hình 3.14 Chuyển vị lớn nhất của tấm khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay

đổi 54Hình 3.15 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ cứng nền kwf thay

đổi 55Hình 3.16 So sánh chuyển vị của tấm khi độ cứng nền kwf thay đổi 56Hình 3.17 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số ksf thay đổi ( 53

1 10/

wf

k =  N m ) 57Hình 3.18 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số ksf thay đổi ( 53

4 10/

wf

k =  N m ) 58Hình 3.19 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số ksf thay đổi ( 53

16 10/

wf

k =  N m ) 58Hình 3.20 Chuyển vị của tấm khi các hệ số kwf và ksf của nền Pasternak thay

đổi 59Hình 3.21 So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số cản nền cf thay đổi 60Hình 3.22 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị hệ số cản cf thay đổi

61Hình 3.23 So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày của tấm h thay đổi 62Hình 3.24 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị chiều dày h thay đổi

63Hình 3.25 Độ võng của tấm theo phương tải di động khi số lớp tấm thay đổi 64Hình 3.26 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với vận tốc V thay đổi 65Hình 3.27 So sánh chuyển vị của tấm khi vận tốc V thay đổi 66Hình 3.28 Độ võng của tấm theo phương tải di động khi lực P thay đổi 67Hình 3.29 Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ lớn lực P thay đổi

Trang 12

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số của các điểm Gauss 20

Bảng 3.1 Thông số kết cấu tấm composite nhiều lớp 36

Bảng 3.2 Thông số nền Pasternak 36

Bảng 3.3 Thông số các loại tải trọng 37

Bảng 3.4 Độ võng không thứ nguyên ở tâm của tấm *3 ( )42100 /w = E whqa tải hình sin 39

Bảng 3.5 Tần số dao động đầu tiên không thứ nguyên * ( 2 )2/ /ahE =  với E1/E =2 40 thay đổi theo tỉ số a/h 41

Bảng 3.6 Tần số dao động đầu tiên không thứ nguyên * ( 2 )2/ /ahE =  với a h =/ 5thay đổi theo tỉ số E1/E 422Bảng 3.7 Bảng so sánh tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên 5 mode đầu tiên của tấm với /a h =10với lưới chia 16x16 44

Bảng 3.8 Chuyển vị tại tâm tấm (mm) với các hệ số K khác nhau 47

Bảng 3.9 Thông số kết cấu tấm composite laminate 48

Bảng 3.10 Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của tấm composite laminate 48

Bảng 3.11 Hội tụ chuyển vị tại tâm tấm (mm) theo các mức lưới chia phần tử 49Bảng 3.12 Sự hội tụ của chuyển vị (mm) theo các bước thời gian t 49

Bảng 3.13 Hội tụ chuyển vị tại tâm tấm (mm) khi chiều dài a của tấm thay đổi

50

Bảng 3.14 Chuyển vị lớn nhất của tấm (mm) khi T thay đổi 52

Bảng 3.15 Chuyển vị lớn nhất của tấm (mm) composite khi thay đổi nhiệt độ một mặt 53

Bảng 3.16 So sánh chuyển vị tại tâm tấm (mm) khi độ cứng nền kwf thay đổi 55Bảng 3.17 So sánh chuyển vị của tấm (mm) khi hệ số ksf thay đổi 57

Trang 13

Bảng 3.20 So sánh chuyển vị tại tâm tấm (mm) khi số lớp tấm thay đổi 64Bảng 3.21 So sánh chuyển vị tại tâm tấm (mm) khi vận tốc tải trọng V thay đổi

65Bảng 3.22 So sánh chuyển vị tại tâm tấm (mm) khi giá trị lực di chuyển P thay

Trang 14

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

MEM Phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method) Q9 Phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element)

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) FEM-9 Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử 9 nút DQM Phương pháp vi phân cầu phương

DOF Bậc tự do (Degree of Freedom)

HSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-Order Shear Deformation Theory)

FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-Order Shear Deformation Theory)

Ma trận và vectơ

u Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ của kết cấu tấm

κ Véctơ độ cong

d Véctơ chuyển vị nút của phần tử

𝛾 Ma trận biến dạng cắt M Ma trận khối lượng tổng thể K Ma trận độ cứng tổng thể C Ma trận cản tổng thể Me Ma trận khối lượng phần tử Ke Ma trận độ cứng phần tử Ce Ma trận cản phần tử

Trang 15

Peff Ma trận tải trọng hiệu dụng

Keff Ma trận độ cứng hiệu dụng

Ký hiệu

a Chiều dài tấm theo phương x b Chiều dài tấm theo phương y E Module đàn hồi của vật liệu 𝛼 Hệ số giãn nở nhiệt

G Module chống cắt đàn hồi của vật liệu 𝜈 Hệ số Poisson của vật liệu

𝜌 Trọng lượng riêng của vật liệu tấm

h Chiều dày tấm

𝛽x Góc xoay của mặt trung hịa tấm quanh trục y

𝛽y Góc xoay của mặt trung hịa tấm quanh trục x

𝜅s Hệ số hiệu chỉnh cắt

u, v, w Chuyển vị của tấm theo phương x, y, z

V Vận tốc của tải trọng di động

Td Nhiệt độ mặt dưới của tấm 0K

Tt Nhiệt độ mặt trên của tấm 0K kwf Hệ số độ cứng nền

ksf Sức kháng cắt

cf Hệ số cản của nền

P Tải trọng tập trung

Trang 16

CHƯƠNG 1.

TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu

Vật liệu composite được tổng hợp từ hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau tạo nên vật liệu mới có tính vượt trội Các vật liệu composite thông thường được cấu tạo bởi hai vật liệu: vật liệu tăng cường (reinforcement material) và vật liệu nền (base material) Do có nhiều đặc tính vượt trội nên tấm composite được áp dụng vào nhiều lĩnh vực trong đời sống và nhiều cơng trình nghiên cứu về tấm composite của các nhà khoa học cũng ra đời Nhiều phương pháp khác nhau đã được sử dụng để có thể nghiên cứu tấm composite như: Phương pháp vi phân cầu phương (Differential Quadrature Method – DQM), Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM), Phương pháp Ritz (Ritz Method) Tuy nhiên các phương pháp nêu ở trên vẫn còn mang nhiều hạn chế, từ đó Leissa và Narita [1, 2], đã phát triển bài tốn phân tích ứng xử của tấm hình vành khăn và ứng xử của nền bán khơng gian đàn hồi chịu tải di động So với các phương pháp giải tích giải nghiệm chính xác, phương pháp phần tử chuyển động (Moving Elenment Method – MEM) cho thấy được sự hiệu quả, giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và tốn ít tài ngun Tuy nhiên khi tấm composite sử dụng ngoài trời hay những nơi có nhiệt độ thay đổi đột ngột, ta cần khảo sát về độ bên, khả năng chịu lực của tấm composite có vì vậy yếu tố về nhiệt độ cần được lưu ý them và sự ảnh hưởng của nhiệt độ vào phân tích dao động của tấm composite do tải trọng động sử dụng phương pháp MEM chưa được thực hiện, Vì vậy trong luận văn này sẽ được nghiên cứu và trình bày

1.2 Tình hình sử dụng, nghiên cứu vật liệu composite trong và ngoài nước 1.2.1 Tình hình sử dụng vật liệu composite trong và ngoài nước

Trang 17

trong nhiều lĩnh vực như: lĩnh vực hàng không (chế tạo thân vỏ máy bay) (Hình 1.1a), trong y học (chế tạo răng, xương nhân tạo), trong quốc phòng (áo giáp chống đạn), trong công nghiệp chế tạo ô tô (Hình 1.1b), trong cơng nghiệp năng lượng (tấm cách nhiệt, tua bin, lị phản ứng) (Hình 1.1c) và trong xây dựng (Hình 1.1d) Vì vậy việc sử dụng tấm vật liệu này đang ngày càng phổ biến trên thế giới

Trong nước, vật liệu composite được áp dụng ở hầu hết các ngành, các lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân Tính riêng nhựa dùng để sản xuất vật liệu composite đã đạt 5.000 tấn mỗi năm, tại các khoa răng hàm mặt vật liệu composite đã được sử dụng vào việc ghép răng thưa, các ngành thiết bị, giáo dục, phân cách đường giao thông, hệ thống tàu, … đã và đang ứng dụng vật liệu composite

Hình 1.1 Ứng dụng của tấm vật liệu composite

a) Công nghiệp chế tạo máy bay b) Công nghiệp chế tạo ô tơ

Trang 18

1.2.2 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Tấm đã được ứng dụng rộng rãi khơng chỉ trong lĩnh vực xây dựng mà cịn trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống, vì vậy mà được các nhà khoa học trên thế giới chú ý và nghiên cứu từ lâu

Trong các bài báo của Leissa và Narita [1], [2] đã thực hiện bài toán khảo sát dao động của tấm composite chữ nhật với liên kết tựa đơn ở các cạnh sử dụng phương pháp Ritz (Ritz Method), Liew và cộng sự [3] đã phân tích dao động của tấm composite sử dụng phương pháp vi phân cầu phương (Differential Quadrature Method-DQM) Ferreira và cộng sự [4] dựa trên lý thuyết cắt bậc nhất và hàm bán kính cơ sở căn bậc hai (Multiquadric Radial Basis Function) để phân tích dao động của tấm dày composite đối xứng Đến Malekzadeh và cộng sự [5] đã trình bày phương pháp phân tích ứng xử của tấm composite dưới tác dụng tải trọng chuyển động dựa trên lý thuyết đàn hồi 3D (Three-Dimensional Elasticity Theory)

Trang 19

[8] Phân tích biến dạng cắt của tấm composite dưới tác dụng nhiệt độ sử dụng phương pháp ứng suất cắt bậc cao HSDT được thực hiện bởi Shen và cộng sự [9]

Bên cạnh đó, với các bài tốn tải trọng di chuyển trên kết cấu có chiều dài lớn mà mơ hình tính tốn của kết cấu trong phương pháp FEM có chiều dài hữu hạn, điều đó gây ra khó khăn khi tải trọng di chuyển đến vùng biên và vượt ra ngoài biên của mơ hình tính tốn Các kết quả tính tốn gần biên được loại bỏ vì sự khơng chính xác do ảnh hưởng của điều kiện biên Trong cố gắng để khắc phục hạn chế trên, phương pháp cắt và dán (Cut-and-paste FEM Method) được đề xuất nhưng địi hỏi các phần tử phải có chiều dài giống nhau Điều này sẽ khơng thơng dụng với bài tốn có nhiều tải trọng di chuyển với các khoảng cách khác nhau Phương pháp phần tử chuyển động – MEM được áp dụng để thay thế các phương pháp giải tích, phần tử hữu hạn – FEM giải quyết các bài toán về tải trọng động trong thực tế như mặt đường, đường sắt, sân bay nổi trên mặt nước, …

1.2.3 Tình hình nghiên cứu trong nước

Một số cơng trình nghiên cứu của các nhà khoa học, đã giải quyết một số bài toán tấm và dầm với tải trọng di động:

Phân tích dao động tĩnh và tự do của tấm Reissner–Mindlin được thực hiện bởi T Nguyen-Thoi và cộng sự [10], Phân tích dao động của tấm dưới tác dụng tải trọng động bằng phần tử 3 nút phương pháp phần tử hữu hạn FEM H Luong-Van và cộng sự [11] Nghiên cứu tấm composite trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyết biến dạng các lớp trong P Phung-Van và cộng sự [12] và phân tích ứng xử của tấm composite trên nền Pasternak dưới tác dụng tải trọng di động sử dụng phần tử hữu hạn MIN3 H.H Phan-Dao và cộng sự [13]

1.3 Tính cấp thiết của đề tài

Trang 20

nhất đối với những bài toán tải trọng trên các cấu kiện dầm, tấm Các bài toán này sẽ được giải quyết đơn giản hơn về thuật toán và ít tốn kém hơn về chi phí tính toán máy tính Bên cạnh đó việc ứng dụng vật liệu composite trong cuộc sống ngày càng phổ biến vì vậy việc nghiên cứu về ứng xử động của nó được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm và phát triển và các nghiên cứu chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản khơng có xét đến ảnh hưởng của nhiệt khi tấm, dầm chịu tải trọng di động Vì vậy, học viên dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thái Bình và PGS.TS Lương Văn Hải, đã tiến hành lên ý tưởng cho việc phát triển những nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) của tấm vật liệu composite chịu ảnh hưởng của yếu tố nhiệt độ dưới tác dụng của tải trọng di động

1.4 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 1.4.1 Mục tiêu

Phân tích ứng xử của composite đặt trên nền Pasternak chịu tải trọng động với

vận tốc không đổi cho trước dọc theo trục x của tấm với các thông số vật liệu và hệ

số nền được xác định, có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ lên tấm

1.4.2 Hướng nghiên cứu

Để hoàn thành được mục tiêu, luận văn đã được thực hiện tuần tự theo hướng sau:

• Thiết lập phương trình chủ đạo cho bài tốn tấm composite nhiều lớp dưới tác dụng của tải trọng và nhiệt độ, thành lập ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản, vecto lực tác dụng

• Phát triển thuật tốn, sử dụng ngơn ngữ Matlab để lập trình, xây dựng phương trình tính tốn, giải phương trình tổng thể và phân tích kết quả

• Phân tích và đối chiếu các kết quả thu được với các kết quả của các bài báo đi trước để xác định được độ tin cậy và tính tối ưu

Trang 21

1.5 Cấu trúc của luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm composite chịu tải trọng động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày lý thuyết về tấm composite, tấm composite trên nền Pasternak, phát triển phương trình chủ đạo sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để phân tích động lực học tấm composite trên nền Pasternak chịu tải trọng di động có xét ảnh hưởng của nhiệt độ

Chương 3: Trình bày các ví dụ số các bài tốn trong q trình nghiên cứu

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Danh mục cơng trình khoa học

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Trang 22

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Bài tốn tấm chịu tải trọng di chuyển 2.1.1 Mơ hình nền đàn nhớt Pasternak

Các cơng thức và lý thuyết trong chương này được tham khảo từ H Luong-Van [14] Trong các nghiên cứu đã được thực hiện trước đây có sử dụng mơ hình nền Winler để mơ hình nền đất (giả thiết nền bao gồm hệ thống các lị xo độc lập, khơng có sự tương tác qua lại giữa các lò xo) Hạn chế của nền Winler so với nền Pasternak là sự không liên tục trong chuyển vị của nền giữa bề mặt chịu tác động và bề mặt không chịu tác động của tải trọng (như trong Hình 2.1a và Hình 2.1b)

Hình 2.1 a) Biến dạng nền Winkler, b) Biến dạng nền Pasternak

Để khắc phục những điểm hạn chế của nền Winkler, nền Pasternak đã được các nhà khoa học tìm hiểu và nghiên cứu Trong mơ hình nền Pasternak một lớp kháng cắt không bị nén theo phương đứng và chỉ xuất hiện ứng suất cắt liên kết đỉnh của các lò xo Phản lực của nền Pasternak lên kết cấu tấm được thể hiện dưới dạng toán học theo các nghiên cứu đã được công bố trong A Tounsi và cộng sự [15], A M Zenkour và cộng sự [16]:

2

wf sf f.

p=kw k−  +w c w (2.1)

trong đó:

2 - đạo hàm cấp 2 theo phương x và phương y xác định theo công thức:

22222

/ x / yT



 =    (2.2)

wf

Trang 23

sf

k - thông số nền thứ hai (độ cứng lớp kháng cắt của nền Pasternak);

f

c - hệ số cản của nền;

w - chuyển vị của tấm;

w- vận tốc chuyển vị của tấm

2.1.2 Tấm composite trên nền đàn nhớt Pasternak

Tấm composite là loại vật liệu thông dụng, phổ biến, sử dụng nhiều, rộng rãi và được cấu tạo từ nhiều lớp vật liệu composite có hướng sợi khác nhau xếp chồng lên nhau để đạt được các đặc tính ưu việt mong muốn như chống va đập, độ cứng của tấm lớn, bền bỉ tuổi thọ cao, nhẹ dễ dàng mang vác và vận chuyển, chống thấm và ăn mòn do các tác nhân xấu, v.v… (như thể hiện ở Hình 2.2)

Trang 24

nằm trong vật liệu nền; (3) được cấu tạo bởi nhiều lớp mỏng vật liệu khác nhau, bao gồm cả hai loại vật liệu composite trên Các vật liệu tăng cường và vật liệu nền có thể là kim loại và khơng kim loại Vì thế có có bốn dạng kết hợp: kim loại trong vật liệu nền là không kim loại, không kim loại trong vật liệu nền là kim loại, kim loại trong vật liệu nền là kim loại, không kim loại trong vật liệu nền là không kim loại (như trong Hình 2.3)

Hình 2.3 Các loại của vật liệu composite

a) Composite hạt, b) Composite sợi, c) Composite phiến, d) Composite Vẩy e) Composite điền đầy

Trang 25

Có 2 dạng kết cấu tấm composite nhiều lớp: tấm composite có góc sợi chéo (cross-ply) và tấm composite có góc sợi xiên (angle-ply)

➢ Tấm composite nhiều lớp có góc sợi chéo (cross-ply) là tấm bao gồm các lớp laminate có cùng chiều dày và thuộc tính vật liệu nhưng có các trục chính vật liệu hợp với hệ trục tọa độ tổng thể các góc 00 hoặc 900, tức là phương góc sợi của các lớp laminate trong hệ trục tọa độ tổng thể là 00 hoặc 900 ( = ,00 0

90

 = ) ➢ Tấm composite nhiều lớp có góc sợi xiên (angle-ply) có cấu tạo cũng giống như

tấm composite có góc sợi chéo, nhưng ở dạng này phương góc sợi của các lớp laminate trong hệ trục tọa độ tổng thể có thể dao động trong khoảng từ 00 đến 900

(00   900)

Xét tấm composite chiều dài a , chiều rộng b , chiều dày h đặt trên nền

Pasternak và chịu tác dụng của tải trọng di chuyển theo phương x qua tâm tấm như

Hình 2.4 Hệ trục tọa độ Oxyz được chọn sao cho mặt phẳng Oxytrùng với mặt trung hịa của tấm và mơ hình tấm có miền hình học 2

R

  và trục z vng góc với mặt

phẳng tấm Trường chuyển vị u của một điểm bất kỳ trong mặt phẳng trục trung

hòa của tấm và các thành phần chuyển vị u , v và w theo phương x, y và z tại một

điểm bất kì trong tấm lần lượt được xác định theo công thức (2.7) Các trường biến dạng của tấm được thể hiện ở công thức (2.3), (2.4)

Trang 26

00000,,0,,0,0,,, = xxxxyyyyxyyxyxyxxx xyy ymyxx yy xuvzuvuvzzuv          =  = +        + +     + = + +  + εεκ(2.3) 0000,000,w0010www0001xxzxxsyzyyyxyuvxxwyy      +   +        =  =   = =   =+   +         γB u (2.4) trong đó:

εm - trường biến dạng màng của tấm được xác định theo công thức:

000,0,00,0,0 0 0 0= 0 0 0 00 0 0εB uxmymyxxyuxvuvwyuvyx             =  =      +                (2.5)

κ - độ cong của tấm được xác định theo công thức:

00,,0,,0 0 0 00 0 0 00 0 0x xy ybx yy xxyuxvwyyxκB u                  = =  = +                 (2.6)

Trang 27

Các thành phần chuyển bị u v w, , theo phương x y z, , tại một điểm bất kì trong tấm được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên trục trung hòa như sau:

()()()( )000, , ( , ) ( , ), , ( , ) ( , ) , , ,2 2, , ( , )xyu x y zu x yzx yh hv x y zv x yzx yx yzw x y zw x y= + = +   −     =(2.7)

Hình 2.4 Tấm composite trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển

Tấm composite được cấu tạo bởi các lớp với hướng sợi khác nhau ghép chồng lên nhau, gọi (x y z là hệ tọa độ chung để thiết lập phương trình tổng quát của tấm , , )

và (x x x1, ,23) là hệ tọa độ vật liệu tại lớp thứ k của tấm sao cho trục x song song 3

với trụcz Hướng của trục x1 xoay một góc + (ngược chiều kim đồng hồ) với trục

x như Hình 2.5:

x h/2 h/2

Trang 28

Hình 2.5 Hệ tọa độ của vật liệu lớp thứ k và hệ tọa độ chung

Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của lớp thứ k trong hệ tọa độ của vật

liệu (x x x1, ,23) được trình bày như sau:

( ) ( ) ( )11121612222616266655454544000000000000kkkxxyyxyxyxzxzyzyzQQQQQQQQQQQQQ   =     (2.8) trong đó:

Các hằng số của vật liệu được cho bởi công thức:

11222111222122112211221661255134423162645,,111,,,0EEEQQQQGQGQGQQQ     ===−−−======(2.9)

E1 - môđun đàn hồi của vật liệu theo hướng trục 1; E - môđun đàn hồi của vật liệu theo hướng trục 2; 2

G - môđun kháng cắt trong mặt phẳng 1-2; 12

Trang 29

G - môđun kháng cắt trong mặt phẳng 1-3; 13

 12, 21- các hệ số poisson

Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của lớp thứ k trong hệ tọa độ của vật

liệu (x x x1, ,23) được quy đổi về hệ tọa độ chung (x y z của tấm được trình bày như , , )

sau: ( ) ( ) ( )111216121226162666554545440 00 00 00 0 00 0 0kkkxxyyxyxyxzxzyzyzQQQQQQQQQQQQQ                     =                            (2.10)

trong đó: Qij- hằng số vật liệu chuyển đổi của lớp thứ k và được xác định theo

cơng thức đã được trình bày trong H Luong-Van [14]

()()()()()()()422411126622112244112266121242241112662222331112661222661631112661226

cos22sincossin

4sincossincos

sin22sincoscos

2sin cos2sincos

2sincosQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ             =+++=+−++=+++=−−+−+=−−+( − )()()()32266224411121266666622445544554445224455552sin cos

22sincossincos

cossincos sinsincosQQQQQQQQQQQQQQQQQ       +=+−−++=+=−=+(2.11)

 - là góc của hướng sợi

Trang 30

() ( ) ( )( )TTTΩTTT2TwΩΩΩΩTΩδδδκ d Ωγδd Ωδd Ωδd Ωδd Ωδd Ωmmbmmmbbsfsffw k ww kww c wDDεεκγDDDu muub    +    +−+=(2.12) trong đó:

b( )x y, là véc tơ tải trọng được xác định:

() T

00 P(xS) y 000

= −−

b (2.13)

S – quãng đường di chuyển của tải trọng tại thời điểm t;

( )

 - hàm Dirac delta;

P – lực tập trung di chuyển dọc theo trục x qua trọng tâm tấm

Dm- ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng màng xác định theo công thức:

11112161222261162666dkkkznmkzQQQQQQzQQQD+==    (2.14) n - số lớp của tấm composite;

zk - tọa độ theo phương z của lớp thứ k

Dmb- ma trận vật liệu kết hợp biến dạng màng và biến dạng uốn xác định công thức: 11112161222261162666dkkkznmbkzQQQz QQQzQQQD+==    (2.15)

Trang 31

111121621222261162666dkkkznbkzQQQzQQQzQQQD+==    (2.16)

Ds- ma trận vật liệu biến dạng cắt xác định theo công thức: 1555545451 45 45 44 44κκdκκkkkznssskzssQQzQQD+==  (2.17) s55=s45=s44= 5/6 – hệ số hiệu chỉnh cắt m là ma trận khối lượng: 221 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0120 0 0 012hhh    =      m (2.18)

trong đó:  là khối lượng riêng của vật liệu, h là chiều dày của tấm

2.2 Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) bài toán tấm chịu tải trọng động

2.2.1 Phần tử đẳng tham số

Trang 32

Luận văn này sẽ được nghiên cứu dựa trên phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral

nine-node element – Q9 thuộc loại đẳng tham số để mơ hình tấm composite nhiều

lớp chịu tải trọng di chuyển Trong luận văn sẽ đặt cho cạnh 1-2 có  = − , cạnh 3-14 có = , cạnh 1-4 có 1  = − và cạnh 2-3 có1  = , để thuận lợi cho các phép tích 1phân sau này và trong việc chuẩn hóa tọa độ, được thể hiện như hình sau:

Hình 2.6 a) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể (x, y);

b) Phần tử tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên ( , ) 

Các hàm nội suy Lagrange Ni (i = 19) của phần tử Q9 được cho bởi công

thức: ()()()()()()()()()()()()()()()()()()1234225622782291111, 11441111, 11441111, 11441111, 11441114NNNNNNNNN                     =−−=+−=++=−+=−−=−+=−+=−−=−−(2.19)

Dạng hình học của phần tử đẳng tham số được cho bởi các tổ hợp tuyến tính là:

Trang 33

9911; i iiiiixN xyN y=== = (2.20)

trong đó: (x y là tọa độ của nút thứ i (i = 1 i, i)  9) trong hệ tọa độ tổng thể ( )x y , Đại lượng chuyển vị độc lập phần tử được nội suy theo chuyển vị nút tương ứng:

9001iiiuN u== (2.21) 9001iiivN v== (2.22) 9001iiiwN w== (2.23) 91xixiiN == (2.24) 91yiyiiN == (2.25)

trong đó: u v w0i, 0i, 0i, xi, yi- lần lượt là các thành phần chuyển vị nút i của phần tử

Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ được cho trong dạng sau:

119122291299 xyNNNxyxyxyNNNxyJ              ==       (2.26)

Quan hệ giữa đạo hàm của các hàm dạng Ni trong hệ tọa độ tự nhiên O với các đạo hàm trong tọa độ tổng thể Oxy lần lượt là:

Trang 34

222222T1222222iiiiiiiiNNNNxx yNNNNy xy    −−        =           JJ (2.28) trong đó: 1 xxyyJ  −  =  (2.29) T xyxyJ  −     =     (2.30)

Định thức của ma trận Jacobi trong công thức tích phân được chuyển đổi như sau: 1 1ΩΩ1 1dΩ d dx y det d dJ  − −= =  (2.31)

Có thể dùng phương pháp tích phân để giải cơng thức tích phân (2.31), tuy nhiên đối với các hàm phức tạp lại rất khó khăn khi dùng phương pháp tích phân để giải Đặc biệt, khi ,   biến thiên theo đường cong Để giải quyết các vấn đề trên, phương pháp cầu phương Gauss đã được sử dụng và áp dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử hữu hạn Cơng thức (2.31) được tính bằng phương pháp Gauss trong mặt phẳng: ()()1 1111 1, d d w w , nnijijijf     f  ==− −  (2.32) trong đó:

Trang 35

wi, wj – các trọng số tương ứng;

n – số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số của các điểm Gauss Số điểm

Gauss n

Tọa độ điểm Gauss

( i, j)Trọng số wi, wj1 r1=0 2 2 r1=r2=0.57735 02691 1 3 r1=r3=0.774596669241483 0.5555555555555556 r2=0 0.8888888888888889

Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm

( , )

f   là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng (2n −1) Trong phép cầu phương

Gauss, vị trí các điểm Gauss được xác định sao cho với một số điểm n đã cho thì

đạt được độ chính xác lớn nhất Các điểm Gauss được đặt đối xứng với tâm của khoảng tích phân và các trọng số là như nhau với các điểm Gauss đối xứng nhau

2.2.2 Bài toán tấm composite nhiều lớp trên nền Pasternak chịu tải trọng di động

Tấm composite được rời rạc hóa thành Ne phần tử tứ giác 9 nút đẳng tham số

(Q9) sao cho ( )1Ω Ne Ωee== và Ω( )i Ω( )j , ij

    như thể hiện trên hình:

Trang 36

Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) đối với bài toán này là sử dụng một hệ tọa độ chuyển động ( )r s, với gốc tọa độ được gắn tải trọng và chuyển động cùng vận tốc với tải trọng Mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động ( )r s và hệ tọa độ ,cố định ( )x y : ,

rx S

sy

= −

= (2.33)

trong đó: S là quãng đường di chuyển của tải trọng tại thời điểm tức thời t

Khi tải trọng chuyển động với vận tốc ban đầu V0 và gia tốc a thì mối quan hệ

giữa hai hệ tọa độ được viết:

2012rx V tatsy= − −=(2.34)

Mối quan hệ vi phân của r theo t được xác định bởi:

( 0 )rVatvt = − + = − (2.35)

trong đó: v=V0+atlà vận tốc của tải trọng tại thời điểm t

Mối quan hệ của trường chuyển vị giữa hệ tọa độ chuyển động ( )r s và hệ tọa ,độ cố định ( )x y : ,( )()( )()( )()( )()( )()000000, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,xxyyur sux yv r svx yw r swx yr sx yr sx y  =====(2.36)

Trang 37

( )( )0 , 0 ,u x yu r sxr =  (2.37) ( )( )0 , 0 ,v x yv r sxr =  (2.38) ( )( )0 , 0 ,w x yw r sxr =  (2.39) ( ), ( ),xx yxr sxr  =  (2.40) ( ), ( ),yx yyr sxr  =  (2.41) ( )( )0 , 0 ,ux yur sys =  (2.42) ( )( )0 , 0 ,vx yv r sys =  (2.43) ( )( )0 , 0 ,w x yw r sys =  (2.44) ( ), ( ),xx yxr sys  =  (2.45) ( ), ( ),yx yyr sys  =  (2.46) ( , , )( , , )( , , )w x y tw r s tw r s twvttr==− (2.47) (x y t, , )(r s t, , )(r s t, , )vttruuuu ==− (2.48) ()()()()()22222222, ,, ,, ,, ,, ,2x y tr s tr s tr s tr s tvvatrr trtuuuuuu ==−−+  (2.49)

Trang 38

() ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )TTTΩ222T222ΩTT2TwΩΩΩTΩδδδd d,,,,δ2d d,,δd dδd dδd dδ, d deeeemmbmmmbbsfsffr sr sr sr sr svvar srr trtw r sw r sw k w r sw kw r sw cvr strr sr s     +   −−++ −+  − =DDεεκγDDκDγuuuuu mu b(2.50)trong đó: ( )r s,

b là véc tơ tải trọng được biến đổi sang hệ tọa độ (r, s) được xác định:

( )( ) () T

, 0 0 δ δ 0 0 0

r sPrs

b = −  (2.51)

Trường chuyển vị u và chuyển vị theo phương đứng w tại một điểm trong phần

tử được nội suy từ các thành phần chuyển vị nút của phần tử lần lượt được viết là:

( )eu=Nd (2.52) ( )eww=N d (2.53) trong đó:

N – ma trận hàm dạng được xác định bởi công thức:

1919191919 5 450 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 00 0 0 0 00 0 0NNNNNNNNNNN    =    (2.54)

Nw – véc tơ hàm dạng được xác định bởi công thức:

0 0 1 0 0 0 0 9 0 01 45

wNN

N =  (2.55)

Trang 39

T( )01010111 09090999 45 1exyxyuvw   uvw   = d (2.56)

Các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử được trình bày ở dạng ma trận như sau:

( )emmε =B d (2.57) ( )ebκ B d= (2.58) ( )esγ B d= (2.59) trong đó:

Bm – ma trận gradient biến dạng màng xác định bởi công thức:

1,9,m1,9,1,1,9,9, 3 450 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0rrsrsrrrNNNNNNNNB  =    (2.60)

Bb – ma trận gradient biến dạng uốn xác định bởi công thức:

1,9,b1,9,1,1,9,9, 3 450 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0rrsssrsrNNNNNNNNB  =    (2.61)

Bs – ma trận gradient biến dạng cắt xác định bởi công thức:

1,19,91,19,9 2 45000 000000 000rrsssNNNNNNNNB=  (2.62)

Trang 40

() ( )( )( ) ( ) ( )()( )( )( )( )( )( )TΩTT,wwΩΩTTTΩTTTwww,,ΩΩ2Tdet d d2 det d d det d d( det d ddet d d det d deeeeeeeerfmmbmmbsmbbbssfsfww rrww ssvckkvmN NJdmN NJN NJdDDBBBBDDBJDBN NJN NN NJmN        + − + +          +      − + +( )( )( )( )( )T,,ΩΩTT,ΩΩdet d d det d ddet d d ) ( , ) det d deeeerrrefww rrac vr sNJmN NJN NJdN bJ      − −=(2.63)

Phương trình chuyển động của phần tử tấm được viết gọn lại là:

( ) ( )ee ( ) ( )ee ( ) ( )ee ( )e

M d +C d +K d =P (2.64)

trong đó:

M(e) – ma trận khối lượng của phần tử tấm chuyển động xác định công thức sau:

( ) ()( )TΩdet d deeM =m  N NJ   (2.65)

C(e) – ma trận cản của phần tử tấm chuyển động xác định theo công thức sau:

( )( )( )TT,wwΩΩ2det d ddet d deeerfvcC = − m  N NJ  +  N NJ   (2.66)

K(e) – ma trận độ cứng của phần tử tấm chuyển động xác định theo công thức sau: