Phân tích tấm chức năng fgm trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng cơ và nhiệt sử dụng phương pháp phần tử chuyễn động mem

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA LÊ HỒI PHÚC PHÂN TÍCH TẤM CHỨC NĂNG FGM TRÊN NỀN CÓ ĐỘ CỨNG BIẾN THIÊN CHỊU TẢI TRỌNG CƠ VÀ NHIỆT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG MEM Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2023 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: Cán hướng dẫn: PGS TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân Cán chấm nhận xét 1: TS Trần Minh Thi Cán chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Văn Chúng Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày 13 tháng 01 năm 2023 Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm: PGS TS Hồ Đức Duy - Chủ tịch TS Nguyễn Thái Bình - Thư ký PGS TS Nguyễn Văn Hiếu - Ủy viên TS Trần Minh Thi - Phản biện TS Nguyễn Văn Chúng - Phản biện CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: LÊ HOÀI PHÚC MSHV: 1970678 Ngày, tháng, năm sinh: 20/05/1994 Nơi sinh: TP HCM Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201 I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích chức FGM có độ cứng biến thiên chịu tải trọng nhiệt sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM (Analysis of functionally graded material FGM plate on a variable stiffness foundation under thermal and dynamic loadings using Moving Element Method MEM) II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Sử dụng mơ hình tính tốn phần tử chuyển động để phân tích ứng xử động lực học chức FGM có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng nhiệt độ tải trọng di động Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để thiết lập cơng thức tính tốn cho ví dụ số Kết ví dụ số đưa kết luận quan trọng ứng xử động lực học chức FGM có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng nhiệt độ tải trọng di động III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 05/09/2022 IV NGÀY HOÀNH THÀNH NHIỆM VỤ: 27/12/2022 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân Tp HCM, ngày tháng năm 2023 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN PGS TS Lương Văn Hải CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO TS Cao Tấn Ngọc Thân TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ii LỜI CẢM ƠN Năm năm giảng đường Đại học gần ba năm chương trình Sau Đại học, tơi cảm thấy hạnh phúc học tập, nghiên cứu khoa học trường thân yêu mang tên trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Tôi quên bảo tận tình, tình cảm yêu thương, quan tâm Q Thầy Cơ Trường nói chung đặc biệt Khoa Kỹ thuật Xây dựng nói riêng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến tồn thể Q Thầy Cơ Đặc biệt nhất, tơi xin gửi lời cám ơn, tình cảm q trọng, chân thành đến Thầy PGS TS Lương Văn Hải Thầy TS Cao Tấn Ngọc Thân Sự hướng dẫn tận tình tinh thần nghiên cứu khoa học nghiêm túc điều mà may mắn nhận từ Thầy suốt thời gian thực Luận văn thạc sĩ Tôi hạnh phúc muốn nói lời cảm ơn, yêu thương gửi đến gia đình anh chị, bạn bè đồng khóa động viên tinh thần tôi, giúp đỡ bước đường học tập nghiên cứu Cuối cùng, Luận văn thạc sĩ hoàn thành thời gian quy định với nỗ lực thân, nhiên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô dẫn thêm để bổ sung kiến thức hồn thiện thân Xin trân trọng cảm ơn Tp HCM, ngày 27 tháng 12 năm 2022 Lê Hồi Phúc iii TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Kết cấu chịu tác động tải trọng di động ứng dụng rộng rãi ngành xây dựng giao thông Do tính ứng dụng rộng rãi thực tiễn, nên vấn đề phân tích ứng xử động nhận nhiều quan tâm nhà nghiên cứu nước Các nghiên cứu trước thường mơ hình kết cấu có độ cứng đồng nhất, chịu tải học điều kiện bình thường, bỏ qua yếu tố ảnh hưởng nhiệt độ lên kết cấu Tuy nhiên, độ cứng đồng phù hợp với mơ hình ứng xử đơn giản hóa Do đó, việc nghiên cứu mơ hình có độ cứng biến thiên Luận văn nhằm mơ xác đặc tính ứng xử lớp đất không đồng thực tế Luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề liên quan đến ảnh hưởng biến đổi nhiệt độ đến kết cấu tấm, để hiểu rõ ứng xử tải trọng nhiệt, tạo sở ứng dụng rộng rãi kết cấu chịu ảnh hưởng nhiệt độ Ý tưởng Luận văn nhằm phát triển phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) với nhiều ưu điểm phương pháp phần tử hữu hạn truyền thống (Finite Element Method – FEM), phần tử xem di chuyển tải trọng xem đứng yên trên có độ cứng biến thiên, bên cạnh có xét đến yếu tố nhiệt độ tác dụng lên mặt kết cấu Do đó, Luận văn thực với mục đích tập trung phân tích ứng xử động kết cấu vật liệu chức (Functionally Graded Material – FGM) theo mơ hình dày Reissner-Mindlin có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển, đồng thời có xét đến ảnh hưởng nhiệt độ phương pháp MEM Các kết nghiên cứu Luận văn hy vọng tài liệu tham khảo hữu ích nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho công việc thiết kế, thi công bảo dưỡng kết cấu thực tế iv ABSTRACT Plate structures under the influence of moving loads are present widely within the construction and transportation industries Owing to their practical characteristics, analyses of a plate with moving loads have attracted major interests from national and international researchers Previous studies mostly model plates on constant stiffness foundations with mechanical loadings applied under normal conditions, neglecting the effects of temperature Nevertheless, constant stiffnesses should only be suitable for simplified foundation models; therefore, in order to provide a more apprehensible representation of heterogenous ground layers found in real-world scenarios, this thesis employs a variable stiffness function into its foundation model Furthermore, this study also examines the effects that tempature changes impose onto plate structures, to better understand the influence of temperature loadings and present a case for wider utilization of plates resilient to temperature fluctuations The Moving Element Method (MEM) will be applied into all analyses undertaken within the scope of this thesis to demonstrate its advantanges over the traditional Finite Element Method (FEM), where plate elements shall be considered moving on a variable stiffness foundation under an assumed static load, with temperature effects accounted for on the plate’s surface To summarize, the purpose of this thesis is to analyze dynamic reactions of a Functionally Graded Material (FGM) plate structure modelled after the Reissner-Mindlin thick plate, on a variable stiffness foundation under a moving load, while simultaneously considering the effects of temperature changes using MEM Results presented in this thesis will hopefully be one of the more reliable resources to facilitate the design, construction and maintenance of structures in real-world applications v LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng việc tơi thực hướng dẫn Thầy PGS TS Lương Văn Hải Thầy TS Cao Tấn Ngọc Thân Các kết Luận văn thật chưa công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm công việc thực Tp HCM, ngày 27 tháng 12 năm 2022 Lê Hoài Phúc vi MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i LỜI CẢM ƠN ii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii ABSTRACT iv LỜI CAM ĐOAN v MỤC LỤC vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ .x DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xii MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xiv CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 GIỚI THIỆU .1 1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 1.2.1 Các cơng trình nghiên cứu giới kết cấu chịu tải di chuyển 1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu giới kết cấu FGM 1.2.3 Các cơng trình nghiên cứu nước 1.2.4 Tính cấp thiết đề tài 1.3 MỤC TIÊU VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU 1.3.1 Mục tiêu 1.3.2 Hướng nghiên cứu .8 1.4 CẤU TRÚC DỰ KIẾN TRONG LUẬN VĂN CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 MÔ TẢ VỀ BÀI TOÁN 2.2 BÀI TOÁN TẤM CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN 10 vii 2.2.1 Lý thuyết Mindlin 10 2.2.2 Mơ hình Pasternak biến thiên .11 2.2.3 Biến dạng mối quan hệ biến dạng – chuyển vị .13 2.2.4 Biến dạng mối quan hệ ứng suất biến dạng .14 2.2.5 Lý thuyết FGM chịu ảnh hưởng nhiệt độ 16 2.2.6 Tấm FGM Paternak biến thiên 21 2.3 PHƯƠNG PHÁP MEM CHO BÀI TOÁN TẤM FGM CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN VÀ ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ 24 2.3.1 Phần tử đẳng tham số 24 2.3.2 Phương pháp MEM cho kết cấu FGM có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển ảnh hưởng nhiệt độ 28 2.4 PHƯƠNG PHÁP NEWMARK .36 2.4.1 Phương pháp tìm nghiệm dạng gia tốc .36 2.4.2 Phương pháp tìm nghiệm dạng chuyển vị .37 2.5 THUẬT TOÁN SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 38 2.5.1 Thông số đầu vào 38 2.5.2 Giải toán theo dạng chuyển vị .40 2.5.3 Độ ổn định hội tụ theo phương pháp Newmark 40 2.6 LƯU ĐỒ TÍNH TỐN 41 CHƯƠNG KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 42 3.1 CÁC BÀI TOÁN SỐ TRONG LUẬN VĂN 42 3.2 KIỂM CHỨNG CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 44 3.2.1 Bài tốn 1: Phân tích ứng xử FGM chịu tác dụng tải trọng tĩnh 44 3.2.2 Bài tốn 2: Phân tích dao động tự nhiên không thứ nguyên FGM 46 3.2.3 Bài tốn 3: Phân tích ứng xử FGM chịu tác dụng tải trọng di động Pasternak chịu ảnh hưởng nhiệt độ 52 3.3 PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA TẤM FGM 54 viii 3.3.1 Bài toán 1: Khảo sát hội tụ chuyển vị theo bước lặp thời gian t .55 3.3.2 Bài toán 2: Khảo sát ứng xử động lực học FGM chịu tải trọng di động môi trường nhiệt độ hệ số độ cứng kwf thay đổi 56 3.3.3 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf hệ số cản cf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ 58 3.3.4 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf biến thiên hệ số cản cf thay đổi chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ 60 3.3.5 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ với hệ số tương quan α thay đổi 62 3.3.6 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ số mũ n thay đổi .63 3.3.7 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ chiều dày h thay đổi 65 3.3.8 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ số tỷ lệ thể tích n thay đổi 67 3.3.9 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ vận tốc lực di chuyển V thay đổi 69 3.3.10 Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động lực học FGM có độ cứng kwf biến thiên chịu tải trọng di động có ảnh hưởng nhiệt độ giá trị tải di chuyển P thay đổi 71 Phụ lục 89 %Foundation parameters -kf=0; %(N/m3) cf=0;%(N.s/m3) %Matrix containing the density of the material and thickness -[ C11, C22, C12, C21, C66, M11, M22, M33 ]= Coefficient(t,Ez,ro_z,nuy,kapa) m=[M11 0; M22 0; 0 M33]; Db=int(Ez*((z)^2),(z),-t/2, t/2)/((1-nuy^2))*[1 nuy 0; nuy 0; 0 (1-nuy)/2]; Ds=int(Ez,z,-t/2, t/2)*kapa/2/(1+nuy)*[1 0;0 1]; Db=eval(Db) Ds=eval(Ds) % % % % % % % [gcoord,ele]=mesh2d_rectq9(Ly,nx,ny,lx,ly); %Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;%3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;%number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %Loop for the total number of elements -for iel=1:nel for i=1:4 nd_corner(i)=ele(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xc(i)=gcoord(nd_corner(i),1); % extract x value of the node yc(i)=gcoord(nd_corner(i),2); % extract y value of the node end xcoord=[xc (xc(1)+xc(2))/2 (xc(2)+xc(3))/2 (xc(3)+xc(4))/2 (xc(4)+xc(1))/2 (xc(1)+xc(2)+xc(3)+xc(4))/4]; ycoord=[yc (yc(1)+yc(2))/2 (yc(2)+yc(3))/2 (yc(3)+yc(4))/2 (yc(4)+yc(1))/2 (yc(1)+yc(2)+yc(3)+yc(4))/4]; end K=zeros(edof,edof); M=zeros(edof,edof); %Numerical integration -for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); %Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoord,ycoord); % compute Jacobian detjacob=det(jacob2); % determinant of Jacobian Phụ lục 90 invjacob=jacob2\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds ,d2Ndr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacob);%derivatures in physic coordinate [Bm,Bb,Bs,B,N,Nw,dNdr,dNwdr,d2Ndr2]=memkine2d(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2N dxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K=K+(Bb'*Db*Bb+Bs'*Ds*Bscf*vo*Nw'*dNwdr+kf*Nw'*Nw)*wtx*wty*detjacob;% element stiffness matrix % M=M+(N'*m*N)*wtx*wty*detjacob;% element mass matrix end end KOS=sparse(sdof,sdof); MOS=sparse(sdof,sdof); for i=1:ny for j=1:nx ie=nx*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nx+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nx+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nx+1)*2; ix=memindexos(ele(ie,:),nnel,ndof); [KOS]=hpsystemmatrix(KOS,K,ix); [MOS]=hpsystemmatrix(MOS,M,ix); end end [ nodes ] = coordinate_element( nx,ny ); [ gcoord ] = coordinate_nodes( Lx,Ly,nx,ny,nodes,snodes,0 ); FOS=sparse(1,sdof); for e=1:nel X=gcoord(1,nodes(e,:)); Y=gcoord(2,nodes(e,:)); [ index ] = connection( nodes(e,:) ); Fe=zeros(1,edof); for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2); % weight in y-axis Phụ lục 91 [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); %Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoord,ycoord); % compute Jacobian detjacob=det(jacob2); % determinant of Jacobian N_load = zeros(1,45); N_load(3:5:45) = N(:); Fe=Fe+N_load*f*wtx*wty*detjacob; end end FOS(index)=FOS(index)+Fe; % lap ghep vao ma tran toan cuc end %FOS=zeros(sdof,1); %FOS(5*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=f; %FOS(5*((2*nx+1)*ny+nx/2+1)-2,1)=f; %FOS(5*((2*nx+1)*ny+3*nx/2+1)-2,1)=f; %Boudary condition -option='SS-SS-SS-SS'; [ bcdof ] = boundary_condition( nx,ny,option ); [ KOS, FOS ] = apply_condition( KOS,FOS,bcdof ); D0=Ec*t^3/(12*(1-nuy^2)*f*Lx^4); %khong thu nguyen FOS' U=KOS\FOS' for i=1:nx*2+1 y1(i)=U(5*((2*nx+1)*ny+i)-2); end yx=y1' ypeak=Em*t^3*min(yx) % ypeak=min(yx) Phụ lục 92 Chương trình tốn phân tích dao động tự FGM clear all clc format long syms z Lx=1;% length of x direction (m) chieu dai theo phuong x Ly=1;% length of y direction (m) chieu dai theo phuong y nx=5;% (columns) number of element along x direction so phan tu theo phuong x ny=5;% (rows) number of element along y direction so phan tu theo phuong y lx=Lx/nx;% side length of x direction chieu dai phan tu theo phuogn x ly=Ly/ny;% side length of y direction chieu dai phan tu theo phuong y ndof=3;%numder of DOFs per node so bac tu nnel=9;%number of nodes per element so but cua phan tu nel=nx*ny;% total element tong so phan tu nnode=(2*nx+1)*(2*ny+1);% total number of nodes in total elements tong so not cua tat ca cac phan tu edof=nnel*ndof;% DOFs per element so bac tu cua moi not sdof=nnode*ndof;% total of Plates DOFs ton so bac tu cua t?ms %FGM plate parameters dac trung cua tam FGM Ec=151*10^9; %Pa Em=70*10^9; %Pa nuy=0.3;%poison's ratio ro_c=3000; %kg/m3 ro_m=2702; %kg/m3 t=0.05;% thickness of the plate (m) k=10 % he so ty le the tich kapa=5/6; %shear correction factor Ez =(Ec - Em)*((z/t+1/2)^k)+Em % E=int(Ez,z,-t/2,t/2); % E=eval(E) ro_z =(ro_c - ro_m)*((z/t+1/2)^k) + ro_m; % ro=int(ro_z,z,-t/2,t/2); % ro=eval(ro) % Gz = Ez/2/(1+nuy); %Load parameters -f=-1;%load vo=0;% initial velocity of load(m/s) v=27.78;% velocity of load(m/s) a=0;%acceleration %Foundation parameters -kf=0; %(N/m3) cf=0;%(N.s/m3) %Matrix containing the density of the material and thickness -[ C11, C22, C12, C21, C66, M11, M22, M33 ]= Coefficient(t,Ez,ro_z,nuy,kapa) m=[M11 0; M22 0; Phụ lục 93 0 M33]; Db=int(Ez*(z^2),z,-t/2, t/2)/((1-nuy^2))*[1 nuy 0; nuy 0; 0 (1-nuy)/2]; Ds=int(Ez,z,-t/2, t/2)*kapa/2/(1+nuy)*[1 0;0 1]; %Mindlin Plate meshing -[gcoord,ele]=mesh2d_rectq9(Ly,nx,ny,lx,ly); %Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;%3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;%number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %Loop for the total number of elements -for iel=1:nel for i=1:4 nd_corner(i)=ele(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xc(i)=gcoord(nd_corner(i),1); % extract x value of the node yc(i)=gcoord(nd_corner(i),2); % extract y value of the node end xcoord=[xc (xc(1)+xc(2))/2 (xc(2)+xc(3))/2 (xc(3)+xc(4))/2 (xc(4)+xc(1))/2 (xc(1)+xc(2)+xc(3)+xc(4))/4]; ycoord=[yc (yc(1)+yc(2))/2 (yc(2)+yc(3))/2 (yc(3)+yc(4))/2 (yc(4)+yc(1))/2 (yc(1)+yc(2)+yc(3)+yc(4))/4]; end K=zeros(edof,edof); M=zeros(edof,edof); %Numerical integration -for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); %Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoord,ycoord); % compute Jacobian detjacob=det(jacob2); % determinant of Jacobian invjacob=jacob2\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds ,d2Ndr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacob);%derivatures in physic coordinate [Bb,Bs,Nw, dNwdr, N, dNdr, d2Ndr2]=memkine2d(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K=K+(Bb'*Db*Bb+Bs'*Ds*Bs+vo^2*N'*m*d2Ndr2-a*N'*m*dNdrcf*vo*Nw'*dNwdr+kf*Nw'*Nw)*wtx*wty*detjacob;% element stiffness matrix M=M+(N'*m*N)*wtx*wty*detjacob;% element mass matrix Phụ lục 94 end end %Stiffness matrix of plate -KOS=zeros(sdof,sdof); MOS=zeros(sdof,sdof); for i=1:ny for j=1:nx ie=nx*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nx+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nx+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nx+1)*2; ix=memindexos(ele(ie,:),nnel,ndof); [KOS]=hpsystemmatrix(KOS,K,ix); [MOS]=hpsystemmatrix(MOS,M,ix); end end %Load vector -FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate %Boudary condition -option='SS-SS-SS-SS';%maping to infinity for clamped edge [ bcdof ] = boundary_condition( nx,ny,option ); %Frequency -[L,X]=eigens(KOS,MOS,bcdof); U = X(:,1); % freq=sqrt(L(1:5))*sqrt(ro*t*Ly^4/D) % D=E*t^3/12/(1-nuy^2); % freq=sqrt(L(1:5))*sqrt(ro*t*Ly^4/D) freq=sqrt(L(1:5))*sqrt(12*(1-nuy^2)*ro_c*Lx^2*Ly^2/(pi^4*Ec*t^2)) %Plot 3D mode shape % % W=full(U(1:3:end))*D/(f*Ly^2); % W=full(U(1:ndof:end)); % [ nodes ] = coordinate_element( nx,ny ); % [ gcoord ] = coordinate_nodes( Lx,Ly,nx,ny,nodes,nnode,0 ); % nodess=[]; % for j=1:2*ny % for i=1:2*nx % nodess=[nodess;(j-1)*(2*nx+1)+i (j-1)*(2*nx+1)+i+1 % (j-1)*(2*nx+1)+2*nx+2+i (j1)*(2*nx+1)+2*nx+1+i]; % end % end % figure('color',[1 1]) % hh=trisurf(nodess,gcoord(1,:),gcoord(2,:),W) % shading interp % colorbar Phụ lục 95 % colormap hot; %colormap cool; %colormap bone(64);%colormap white; % set(hh,'edgecolor','k'); %set(hh,'edgecolor','b') % title('Mode 1','fontsize',13,'color','r'); Phụ lục 96 Chương trình tốn phân tích ứng xử động FGM có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di dộng ảnh hưởng nhiệt độ phương pháp MEM clear all clc format long syms z Lx=20;% length of x direction (m) Ly=10;% length of y direction (m) nx=20;% (columns) number of element along x direction ny=10;% (rows) number of element along y direction lx=Lx/nx;% side length of x direction ly=Ly/ny;% side length of y direction ndof=3;%numder of DOFs per node nnel=9;%number of nodes per element nel=nx*ny;% total element nnode=(2*nx+1)*(2*ny+1);% total number of nodes in total elements edof=nnel*ndof;% DOFs per element sdof=nnode*ndof;% total of Plates DOFs %FGM plate (SUS304/ZrO2) parameters dac trung cua tam FGM nuy=0.3;%poison's ratio ro_c=8166; %kg/m3 ro_m=3000; %kg/m3 t=0.1;% thickness of the plate (m) k=1; % he so ty le the tich %(SUS304 ceramic /ZrO2 metal)Temperature-dependent coefficients %E ceramic (SUS304) E0c=201.04*10^9;%Pa Eac=0;%Pa E1c=3.079*10^(-4);%Pa E2c=-6.534*10^(-7);%Pa E3c=0;%Pa %E metal (ZrO2) E0m=244.27*10^9;%Pa Eam=0;%Pa E1m=-1.371*10^(-3);%Pa E2m=1.214*10^(-6);%Pa E3m=-3.681*10^(-10);%Pa %a ceramic (SUS304) a0c=12.330*10^(-6);%1/K aac=0;%1/K a1c=8.086*10^(-4);%1/K a2c=0;%1/K a3c=0;%1/K %a metal (ZrO2) Phụ lục 97 a0m=12.766*10^(-6);%1/K aam=0;%1/K a1m=-1.491*10^(-3);%1/K a2m=1.006*10^(-5);%1/K a3m=-6.778*10^(-11);%1/K Tc=400;% K Tm=400;% K Kc=12.04; %Xem bang de tim so phu hop Km=2.78; %Xem bang de tim so phu hop Kcm=Kc-Km; CC=1-Kcm/((k+1)*Km)+(Kcm^2)/((2*k+1)*(Km^2))(Kcm^3)/((3*k+1)*(Km^3))+(Kcm^4)/((4*k+1)*(Km^4))(Kcm^5)/((5*k+1)*(Km^5)); L=(z/t+1/2); n=1/CC*(LKcm/((k+1)*Km)*(L^(k+1))+(Kcm^2)/((2*k+1)*(Km^2))*(L^(2*k+1))(Kcm^3)/((3*k+1)*(Km^3))*(L^(3*k+1))+(Kcm^4)/((4*k+1)*(Km^4))*(L^( 4*k+1))-(Kcm^5)/((5*k+1)*(Km^5))*(L^(5*k+1))); Tz=Tm+(Tc-Tm)*n; deltaT=Tz-300; Ec=E0c*(Eac*Tc^-1+1+E1c*Tc+E2c*Tc^2+E3c*Tc^3);%Pa Em=E0m*(Eam*Tm^-1+1+E1m*Tm+E2m*Tm^2+E3m*Tm^3);%Pa Ez =(Ec - Em)*((z/t+1/2)^k)+Em; ac=a0c*(aac*Tc^-1+1+a1c*Tc+a2c*Tc^2+a3c*Tc^3);%1/K am=a0m*(aam*Tm^-1+1+a1m*Tm+a2m*Tm^2+a3m*Tm^3);%1/K az =(ac - am)*((z/t+1/2)^k)+am;%1/K %internal forces generated by temperature Mt=int(Ez*z*az*deltaT,z,-t/2,t/2)/((1-nuy^2))*[1 nuy 0; nuy 0; 0 (1-nuy)/2]*[1;1;1]; % E=int(Ez,z,-t/2,t/2); % E=eval(E) ro_z =(ro_c - ro_m)*((z/t+1/2)^k) + ro_m; % ro=int(ro_z,z,-t/2,t/2); % ro=eval(ro) kapa=5/6; %shear correction factor % G=Emodule/2/(1+nuy); %flexural rigidity of the plate % D=Emodule*t^3/12/(1-nuy^2); %shear modulus %Load parameters -f=1000000;%load (N) vo=1*20;% initial velocity of load(m/s) v=1*20;% velocity of load(m/s) a=0;%acceleration %Foundation parameters -%kwf=1*10^7; %(N/m3) %cf=1*10^4;%(N.s/m3) kwf=9.5e7; %(N/m3) ksf=1*10^5;%(N/m3 Phụ lục 98 nsm=1; anpha=0.5; cf=1e6;%(N.s/m3) %Newmark tolerance -tole=10^(-6); %tolerance to=1;%total analysis time (s) deltat=0.0025;%time step %Matrix containing the density of the material and thickness -[ C11, C22, C12, C21, C66, M11, M22, M33 ]= Coefficient(t,Ez,ro_z,nuy,kapa) m=[M11 0; M22 0; 0 M33]; %Material matrix related to bending deformation and shear deformation -Db=int(Ez*(z^2),z,-t/2, t/2)/((1-nuy^2))*[1 nuy 0; nuy 0; 0 (1-nuy)/2]; Ds=int(Ez,z,-t/2, t/2)*kapa/2/(1+nuy)*[1 0;0 1]; %Mindlin Plate meshing -[gcoord,ele]=mesh2d_rectq9(Ly,nx,ny,lx,ly); %Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;%3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;%number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); %Loop for the total number of elements -for iel=1:nel for i=1:4 nd_corner(i)=ele(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xc(i)=gcoord(nd_corner(i),1); % extract x value of the node yc(i)=gcoord(nd_corner(i),2); % extract y value of the node end xcoord=[xc (xc(1)+xc(2))/2 (xc(2)+xc(3))/2 (xc(3)+xc(4))/2 (xc(4)+xc(1))/2 (xc(1)+xc(2)+xc(3)+xc(4))/4]; ycoord=[yc (yc(1)+yc(2))/2 (yc(2)+yc(3))/2 (yc(3)+yc(4))/2 (yc(4)+yc(1))/2 (yc(1)+yc(2)+yc(3)+yc(4))/4]; x0f=xcoord(1,9); k0f=kwf*(1-anpha*(x0f/Lx)^nsm); %kwf bien thien %k0f=kwf; %kwf hang so end K1=zeros(edof,edof); K=zeros(edof,edof); M=zeros(edof,edof); C=zeros(edof,edof); FT=zeros(edof,1); Phụ lục 99 %Numerical integration -for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); %Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoord,ycoord); % compute Jacobian detjacob=det(jacob2); % determinant of Jacobian invjacob=jacob2\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix [dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds ,d2Ndr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacob);%derivatures in physic coordinate [Bb,Bs,Nw, dNwdr, d2Nwdr2, d2Nwds2, N, dNdr, d2Ndr2]=memkine2d(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N); K1=K1+(Bb'*Db*Bb+Bs'*Ds*Bs+vo^2*N'*m*d2Ndr2-a*N'*m*dNdrcf*vo*Nw'*dNwdr+k0f*Nw'*Nwksf*(Nw'*d2Nwdr2+Nw'*d2Nwds2))*wtx*wty*detjacob;% element stiffness matrix at initial time K=K+(Bb'*Db*Bb+Bs'*Ds*Bs+v^2*N'*m*d2Ndr2-a*N'*m*dNdrcf*v*Nw'*dNwdr+k0f*Nw'*Nwksf*(Nw'*d2Nwdr2+Nw'*d2Nwds2))*wtx*wty*detjacob;% element stiffness matrix M=M+(N'*m*N)*wtx*wty*detjacob;% element mass matrix C=C+(-2*v*N'*m*dNdr+cf*Nw'*Nw)*wtx*wty*detjacob;% element damping matrix FT=FT+(Bb'*Mt)*wtx*wty*detjacob; end end %Stiffness, mass, damping matrix of plate KOS1=zeros(sdof,sdof); KOS=zeros(sdof,sdof); MOS=zeros(sdof,sdof); COS=zeros(sdof,sdof); FOST=zeros(sdof,1); for i=1:ny for j=1:nx ie=nx*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nx+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nx+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nx+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nx+1)*2; Phụ lục 100 ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nx+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nx+1)*2; ix=memindexos(ele(ie,:),nnel,ndof); disp('Finding [KOS1]'); [KOS1]=hpsystemmatrix(KOS1,K1,ix); disp('Finding [KOS, MOS, COS]'); [KOS,MOS,COS]=hpmatrix(KOS,MOS,COS,K,M,C,ix); disp('Finding [FOST]'); [FOST]=hpsystemmatrixf(FOST,FT,ix); end end %Load vector -FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate %FOS(3*((2*nx+1)*ny+nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 1/4 of the center line of the plate %FOS(3*((2*nx+1)*ny+3*nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 3/4 of the center line of the plate FOS=FOS-FOST;%Load by temperature STEP =0; FOS1=zeros(sdof,1); FOS1(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate %FOS1(3*((2*nx+1)*ny+nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 1/4 of the center line of the plate %FOS1(3*((2*nx+1)*ny+3*nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 3/4 of the center line of the plate FOS1=FOS1-FOST;%Load by temperature %Boudary condition -option='C-C-C-C';%maping to infinity for clamped edge %option='F-SS-F-SS';%maping to infinity for clamped edge [ bcdof ] = boundary_condition( nx,ny,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdof ); %Displacement at initial time yini1=KOS1\FOS1; y=zeros(sdof,to/deltat); y1d=zeros(sdof,to/deltat); y2d=zeros(sdof,to/deltat); yini=zeros(sdof,1);% the initial displacement of the system for i=1:sdof yini(i)=yini1(i); end y(:,1)=yini; % : denotes an entire row or column %Newmark constant beta=1/4; alpha=1/2; a0=1/(beta*deltat^2); a1=alpha/(beta*deltat); Phụ lục 101 a2=1/(beta*deltat); a3=1/(2*beta)-1; a4=alpha/beta-1; a5=deltat/2*(alpha/beta-2); a6=deltat*(1-alpha); a7=alpha*deltat; tt=0:deltat:to-deltat; h=0; step=0; for i=1:(to-deltat)/deltat fprintf('STEP=%d/%d',i,(to-deltat)/deltat); y(:,i+1)=y(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i); y2d(:,i+1)=y2d(:,i); h=h+deltat; for j=1:10000000 d1=y(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,i+1); d2=y1d(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,i+1); d3=y2d(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,i+1); FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate with changeable intensity KK=KOS+a0*MOS+a1*COS; FF=FOS+MOS*(a0*y(:,i)+a2*y1d(:,i)+a3*y2d(:,i))+COS*(a1*y(:,i)+a4*y 1d(:,i)+a5*y2d(:,i)); [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdof );%apply boundary for clamped edge mapping to infinity y(:,i+1)=KK\FF; y2d(:,i+1)=a0*(y(:,i+1)-y(:,i))-a2*y1d(:,i)-a3*y2d(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i)+a6*y2d(:,i)+a7*y2d(:,i+1); e1=abs((y(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,i+1)-d1)/d1); e2=abs((y1d(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,i+1)-d2)/d2); e3=abs((y2d(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,i+1)-d3)/d3); step=step+1; if e1