Ôn tập cuối năm 2

Dạng 4: Hình học Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , A đường trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt AB E cắt AC F Kẻ AH  BC ( H  BC ), AH F H cắt EF I Chứng minh rằng: B   ABM a BAM M I   b ACB  AEF từ suy MBE#MFC E c AB AE  AC AF S ABC  AM    S  AI  AFE d Lời giải   a) Ta có ABM cân M  ABM BAM         b) Có ACB  ABC 90  AEF  BAM ; BAM  ABC  ACB  AEF  MBE#MFC ( g  g ) c) ABC#AFE ( gg )  AB AC  AF AE  AB AE  AC AF  AI  EF  EF 2 AI    d) AEI cân I ( AEI EAI  ACB )  EI IA  AIF cân I Ta lại có: BC 2 AM Do AFE ”ABC  S ABC  BC   AM      S AFE  EF   AI  C Bài 2: AD 6cm , Cho hình chữ nhật có AB 8cm Hai đường chéo AC BD cắt O Qua D kẻ đường thẳng d vng góc với BD , d cắt BC E a Chứng minh BDE ”DCE b Kẻ CH vng góc với DE H Chứng ABCD minh rằng: DC CH DB c Gọi K giao điểm OE HC Chứng minh K trung điểm HC Tính tỉ số diện tích tam giác EHC diện tích tam giác B C O A K I E D BED d Chứng minh ba đường thẳng OE , CD, BH đồng quy Lời giải a) Ta có BDE DCE ( gg ) b) Vì DCB”CHD  c) Ta có CD DB   CD CH DB CH DC CH / / BD(  BD)  HK KE KC   OD OE OB (định lý TaLet ) mà OB OD (do ABCD hình chữ nhật)  HK CK  đpcm - Tính BD 10cm, CD 8cm Từ câu b) , ta có: CH CD : BD 64 :10 6, 4(cm) Lại có: ECH ”EBD( gg )  S ECH  CH   6,  256      S EBD  BD   10  625 d Gọi I giao điểm BH CD , O ' giao điểm EI BD , K ' giao điểm EI CH Ta chứng minh O ' trung điểm BD Vì: CH / / BD  O ' B BI BD DE O ' D      O ' B O ' D HK ' HI HC HE HK ' hay O ' trung điểm BD  EI qua O Do OE , CD, BH đồng quy Bài 3: Cho tam giác ABC vng A , có BC 5cm A , AC 3cm Trên tia đối tia CB lấy điểm M D cho CD 6cm Qua D kẻ đường vng góc với BD cắt AC E B H D C a Chứng minh ABC DEC b Kẻ AH  BC ( H  BC ); DK  CE (K  CE ) K Chứng minh rằng: CH CD CK CA c Tính độ dài CE KD  d Vẽ đường phân giác BM ABC ( M  BC ) E MA EK  Chứng minh MC ED Lời giải a ABC ”DEC ( gg ) b AHC ”DKC ( gg ) c ABC ”DEC   HC AC   CH CD CK CA CK DC CE CD  BC AC 2  CE 10(cm) Vì tam giác DCE vuông D, áp dụng pitago  DE 8(cm) DKE ”CDE  KD DE     KD 4,8(cm) CD CE 10 AB MA  (1) d Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: BC MC ABC ”KED(2)  MA EK  MC ED Bài 4: Cho ABC có H A  900 , đường cao AM, BP, CN cắt H Chứng minh rằng: a BM BC BP.BH ; BPM ”BHC N b PAB”NAC; PAN ”BAC P A  c NA tia phân giác PNM  90 d Gọi S diện tích tam giác BHC, tính Q BC AH  AB.CH  AC.BH theo S B C M Lời giải a BMH ”BPC ( gg )  BM MH BH   BP PC BC  BPM ”BHC (cgc) PA AB    PAB”NAC ( gg )  NA AC    PAN ”BAC (cgc)  N    C  PAN BAC  1 b  C   BMN ”BAC ( B  : chung )  BA  BM  BAM ”BCN ( gg ) N BC BN c Ta chứng minh d BC AH BC.( HM  AM ) BC.HM  BC AM 2 S  S ABC  Q 6S  2( S ABC  S AHC  S AHB ) 2S         S HBC Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD, A B A D  900 ; BC  AB  CD M trung điểm H AD, I thuộc cạnh BC cho BI BA I a Chứng minh AID vuông N M b AMB”CMD 2 c AD 4 AB.CD K d AI cắt BM H, DI cắt CM K Chứng minh MI HK Lời giải D 0   AID 900  I  I 900  180  B  180  C 900 2 a b   N  hoac : B  M  AMB”CMD  C 1  AB  CD      MN  BC  BMC AB  CD  ma : BC   Gọi N trung điểm BC vuông M MN   M  900  M      C1 M   Vậy: co : C1  M 90  (đpcm) c) AD 4 AB.CD  AD AD  AB.CD  AM AD  AB.CD  AMB ”MCD (cau.b) 2  d) MI HK  MHIK : hinh.chu.nhat  MKI 90  MC trung trực DI   MI MD  AD(AID )   IC ID (ICD ) Có: C Bài 6: D  Cho ABC cân A ( A  90 ) Kẻ Cx vng góc với BC C , Cx cắt tia BA D a Chứng minh A trung điểm BD b Kẻ BH  AC H , Cy / / BH , Cy  BA K Chứng minh rằng: AB  AH AK A c Kẻ BE phân giác góc ABC , Ct / / BE , Ct giao với tia BA I Chứng minh rằng: E AE.BI  AB.EC H B K I Lời giải  C  900  C   ABC C   a)   ABC 900  C      C1 D1  AD  AC  AB D  ABC 900   b) AB  AH AK  AB.AB  AH AK  AB AC  AH AK  ABH #ACK BE / /CK c) AE.BI  AB.EC  AE AB  AB      BC BI  BIC EC BI  BC  cân giải:  I BE / / CI  B   ( slt ) EBC BCI       I1 BCI  BIC   EBC  B ( BE phan.giac)   Ta có: cân B +) Có BE phân giác góc B C  AE AB   AE.BC  AB.EC  AE.BI  AB.EC (do : BC BI ) EC BC Cách khác: Hoặc dùng Talet Ct / / BE  đpcm Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, AB = B 6cm, AC = 8cm, đường cao AH, đường H phân giác AD a Tính AD, CD Chứng minh rằng: AB.BI BD.BH Lời giải b c AD AB AD  AD 3       DC BC AD  DC CD 5 ABD#HBI ( gg )  AB BD   AB.BI BH BD HB BI  I D ABD#HBI  ma : I I A c Chứng minh: AID cân a 10 b Gọi I giao điểm AH BD BC 10; I      I D1  AID 2  cân A Bài 3: D C Cho tam giác ABC vuông cân A Trên B cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD  CM , BD H cắt CA E Chứng minh rằng: D a EB.ED EA.EC M b BD.BE  CA.CE BC  c ADE 45 E A Lời giải a ABE ”DCE ( gg )  EB.ED  AE.CE b Ta có: M trực tâm tam giác BEC  EM  BC H +) EBH ”CBD( gg )  BE.BD BH BC +) EHC ”BAC ( gg )  CE.CA HC.BC  BE.BD  CE.CA BC ( BH  HC ) BC   c Ta chứng minh: EDA ECB  EAD”ECB ( gg ) EA EM   EH EC    FA.EC ED.EB  ED EM  EDM ”EHB ( gg )   EH EB  Ta có: EAM ”EHC ( gg )     EDA ECB 450 Bài 3: EA ED    EB EC   EAD”EBC (cgc)  : chung  E  C Cho hình vng ABCD Gọi E điểm B E C cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường I K thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI G CMR: A G D a AE EF tứ giác EGKF hình thoi b AKF ”CAF ; AF KF FC F c Khi E thay đổi BC Chứng minh EK BE  DK chu vi tam giác EKC không đổi Lời giải a ABE ADF ( gcg )  EA FA +) FEA vuông cân A  AI  FE +) IEG IFK ( gcg )  IG IK vuông cân A  AI  FE Tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường nên hình thoi b Có:  : chung  F FA FK   FA2 FK FC   AKF ”CAF ( gg )  ACF KAF  FC FA 45  c Ta có tứ giác EGFK hình thoi  KE KF KD  DF KD  BE Chu vi EKC KC  CE  EK KC  CE  KD  BE 2BC ( không đổi ) Bài 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M, E N trung điểm BC, AC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác Chứng minh rằng: a OMN ”HAB tìm tỉ số đồng dạng b So sánh AH OM c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh: HAG”OMG d H, G, O thẳng hàng GH 2GO A N H G O B D M Lời giải a Ta có: MN / / AB; OM / / AD MN  Tỉ số đồng dạng là: AB b OMN ”HAB  AH 2.OM    HAG OMG ( slt )  HAG, OMG, co : AH AG   2(tinh.chat.duong trung tuyen)  OM MG   HAG”OMG (cgc) c)     d HAG”OMG  AGH OGM  MGO  MGH 180  H , G, O thẳng hàng GH GA  2  GH 2.GO Ta có GO GM 10 C Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân A, M B điểm tùy ý AC, kẻ Cx vng góc với BM H Cx cắt tia BA E, gọi F F trung điểm BC Chứng minh: I a AFH cân b EA.EB EH FC M A C c Khi M di chuyển AC, chứng minh H số đo góc AHE khơng đổi d Biết AB =5cm E Tính T CA.CM  BM BH Lời giải FA FH  BC a  EAH ”ECB EA EC    b EH EB  EAC ”EHB( gg ) EA EC     EH EB   AHE EBC 450 (khong doi)   c E : chung  d CM CA  BM BH CI CB  BI BC giải: Xét BEC , có M trực tâm tam giác BEC  EM  BC I +) BMI ”BHC ( gg )  BI BC BH BM +) Tương tự: CM CA CI CB  T BC Bài 3: 11 Cho hình chữ nhật MNPQ M  MN  NP  ; MH  QN H N 1 F a Chứng minh: MNH #NQP E b Chứng minh: MN QN NH H c Lấy E , F trung điểm I Q NH , MH Chứng minh MNE#QMF P d MH cắt PQ I Tính diện tích tam QI  IP giác MNI , biết diện tích QHI 3cm2 Lời giải c) MNE#QMF  cgc  d) QHI #NHM ( g  g )  HN 3QH ; MH 3HI  MI 4 HI 1  S MNI  MI NH  4.3.HI QH 12.SQHI 12.3 36cm 2 Bài 3: Thanh Oai, năm học 2017 - 2018 Cho tam giác ABC có AB  AC , D nằm A   A C cho ABD  ACB D a Chứng minh ADB#ABC từ suy F AB  AC AD b Biết S ABC 16cm , AB 6cm, AC 8cm M B Tính S ABD ? c Phân giác góc A cắt BC E, cắt FD EB  BD F Chứng minh FB EC d Qua A kẻ đường thẳng vng góc với 12 E C AE cắt BC M Chứng minh MB.EC MC.EB Lời giải a) Ta có: ADB#ABC ( gg )  AB  AC AD S ABD       S ABD 9cm b) Ta có: S ABC   16 FD AD EB AB FD EB  ;    c) Chứng minh FB AB EC AC FB EC d) Có AM  AE  AM phân giác ABC  MB AB  MC AC EB AB MB EB     MB.EC MC.EB Có EC AC MC EC (đpcm) Bài 3: Lê Q Đơn, năm học 2017 - 2018 Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy D C BE  AB điểm E cho Đường thẳng DE cắt CB kéo dài K H a Chứng minh ADE#BKE b Gọi H hình chiếu C DE Chứng minh: AD.HD HC AE A E B c Tính diện tích tam giác CDK AB 6cm d Chứng minh: CH KD CD  CB.KB K Lời giải ADE BKE     ADE ”BKE ( gg )   DAE EBK 900   ADE ,  BKE a) Xét có: AED HDC  ( slt )    DHC ”EAD( gg )  HD AD HC EA   DAE  CHD  90  b) Xét HDC AED , có: 13 AED EDC  ( slt )    CDK #AED ( gg )   DAE  DCK  90  c) Xét CDK AED , có: 2 S 9  CD   AB  9  CDK       SCDK  S AED  AE AD  AB AB  SCDK  6.6 27(cm ) S AED  AE   AE  4 8 d) Xét KCH KDC , có:    KHC KCD 900 KC HC  KCH #KDC ( gg )    CH KD KC.DC   KD DC : chung CKD  CH KD  CB.KB KC DC  DC.KB DC ( KC  KB )  CH KD  CB.KB DC BC BC (đpcm) 14 Bài 3: Nam Từ Liêm, năm học 2017 - 2018  Cho ABC có A 90 ( AB  AC ) Kẻ AH  BC B ( H  BC ) Kẻ HD cho AHD 450 ( D  AC ) H a Chứng minh AHB#CAB b Chứng minh: AC CH BC AD AB  c Chứng minh: DC BC A D C d Biết chu vi AHB 15cm , chu vi AHC 20cm Tính chu vi ABC Lời giải a) AHB#CAB( gg ) b AHC#BAC ( gg )  AC CH BC AD AB  c Chứng minh: DC BC AHC  AH  AD AHD 450  HD HC CD Vì phân giác mà AHC#BAC ( gg )  AH AB AD AB    (dpcm) HC BC DC AC d Biết chu vi AHB 15cm , chu vi AHC 20cm Tính chu vi ABC Ta có Áp AHB”CHA(#CAB)  dụng định lý  AB 3 x PAHB AB 15 AB AC      x   PCHA AC 20 4  AC 4 x Pytago cho tam giác vng ABC, tính - Chu vi ABC 12 x - Lại có: AC CH BC (cmt )  CH  (4 x) 3, x; AH  (4 x )  (3, x) 2, x 5x PACH  AC  CH  AH 20  2, x  3, x  x 20  x  15 25  PABC 12 x 25(cm) 12 BC 5 x Bài 3: Lương Thế Vinh, năm học 2017 - 2018 ˆ Cho ABC có A 90 , đường cao AH A a Chứng minh: ABC HBA E b Cho BH 4cm, BC 13cm Tính AH , BH F c Gọi E điểm tỳ ý AB , đường thẳng qua H vng góc với HE cắt cạnh AC F B H C Chứng minh rằng: AE.CH  AH FC d Xác định vị trí E AB để đoạn thẳng EF có độ dài ngắn Lời giải a ABC#HBA( gg ) b ABC#HBA( gg )  AB BC AC AB 13     HB BA HA AB  AB 4.13 52  AB 2 13(cm) Dùng pytago  AH 6(cm)   c ABC#HBA  HAB  ACB   EH  HF  EHF 900  EHA  AHF 900 0       - AHC 90  AHF  FHC 90  EHA FHC ( phu AHF )  HAB  ACB(cmt ) AE AH  AHE#CHF ( gg )    AE.CH  AH CF  EHA  FHC ( cmt ) CF CH  AHE ,  CHF  - Xét có:  AHB  AHC 900 AH BH ABH , CHA, co :   ABH #CAH ( gg )   (1) ABH HAC   CH AH ( phu BAH )   d Xét Ta có AEH ”CFH (c)  AH EH BH EH  (2)   CH FH AH FH   EHF  AHB 900 EF HE  HEF , HBA, co :  BH EH  HEF #HBA   BA HB    AH FH Xét 16 Mà AB, HB không đổi nên để đoạn EF ngắn đoạn HE ngắn HE ngắn  HE  AB Bài 3: Cho ABC nhọn ( AB  AC ), A đường cao BD CE cắt H a Chứng minh: AE AB  AD AC D b Chứng minh: ADE#ABC M E  c Giả sử A 45 ; So sánh diện tích H tam giác ADE diện tích tứ giác BEDC B N F d Gọi M , N giao điểm DE với AH BC Chứng minh rằng: MD.NE ME.ND Lời giải a AEC#ADB( gg )  AE AB  AD AC b ADE#ABC (cgc)  c A 45  ADB vuông cân D Áp dụng pytago  AD   AD  BD  AB  AD  AB      AB  S 1  AD  ADE#ABC  ADE     S ADE  S ABC S ABC  AB  2 Mà S ADE  S BEDC S ABC  S ADE S BEDC  S ABC  S ADE S BDEC Lại có: d Gọi giao điểm AH BC F  AF đường cao ABC - Tương tự câu b, chứng minh     BFE BAC CFD   BEF #BCA; CDF #CBA    EFM DFM  FM     ma : BFE  EFM 90 ; CFD  DFM 90  17 C đường phân giác FED , mà FM  FN  FN đường phân giác FED - Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác FED có phân giác FM phân FD MD ND    MD.NE ME.ND  giác ngồi FN nên ta có: FE ME NE đpcm Bài 3: Cho ABC nhọn , AD trung tuyến, M trung A điểm AD Tia BM cắt cạnh AC P, đường thẳng song song với AC kẻ từ D cắt BP I P Q AP a Chứng minh PA DI , tính tỉ số PC M N I b Tia CM cắt AB Q Chứng minh PQ // BC c Từ D kẻ đưởng thẳng song sog với AB cắt CM N Chứng minh PQ.MB BC.MP B D d Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP ABC Lời giải a APM DMI ( gcg )  PA DI +) Xét BPC , DI / / PC  BI BD DI   BP BC CP ( HQTL) BD BI BD DI      (*) Mà BC BP BC CP Mà DI BP  AP AP   CP 2 AP  AC  AP 2 AP  AC 3 AP   CP AC b Tia CM cắt AB Q Chứng minh PQ // BC Ta có AQM DNM ( gcg )  QA DN +) Xét CQB, DN / / BQ( DN / AB)  CN CD DN   CQ CB BQ (HQTL) CD CN CD DN DN        Mà BC CQ CB BQ BQ 18 C Mà AQ DN  AQ AQ   BQ 2 AQ  AB  AQ 2 AQ  AB 3 AQ   BQ AB AP AQ AP     PQ / / BC Ta lại có AC AB AC (Ta Lét đảo) c Từ D kẻ đưởng thẳng song sog với AB cắt CM N Chứng minh PQ.MB BC.MP PQ / / BC  Vì AQ QP   (1) AB BC , lại có BI   BP 2 BI  MB  MP 2( BM  MI ) BP  MB MP  2MI  MB MP  2MP (MI MP )  MB 3MP  MP QP MP  (2)    PQ.MB  BC.MP MB BC MB d Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP ABC Ta có APQ”ACB ( PQ / / BC )  S AQP S ABC 2 S AQP 1  QA           S ABC  AB    Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B xuống AC, gọi M K A B 1 giao điểm BH CD a Chứng minh AHB#CAD H I b Chứng minh BC.DA CM CD Tính diện tích tam giác BMC biết BC = 6cm, AB = D M c Kẻ MK  AB ( K  AB) MK cắt AC I Chứng minh MI BM KB.IC   d Chứng minh BIM  AMC Lời giải a) Chứng minh được: AHB CAD( gg )  C  900 C  B   BMC #CAD ( gg ) BC MC C  1    BC AD CD.MC (1)   B  C  90  CD AC b) Ta có:  Từ (1) CD  AB  CM  BC AD BC AD 6.6 MC BC   4,5(cm)  S BMC  13,5(cm ) CD AB 19 C c) Tứ giác MKBC hình chữ nhật có ba góc vuông  KB MC (2)  C  (cmt )  IMC#MCB ( gg )  MI  IC  MI MB IC.MC IC.BK (do.2) B 1 MC MB Lại có d) Ta có:  M  900  M  C   IMB    M MCA (3)  1   C1 M 90 Theo câu c, ta có: IMC#MCB ( gg )  IC MC   IC BC MB.MC (4) MB MB Trong ADC có MI / / AD nên theo định lý TaLet, ta có: MI IC IC MI     IC.BC MI AC (5) AD AC AC BC Từ (4)(5) ta được: MI AC MB.MC  MI MB  (6) MC AC   Từ (3)(6) ta được: MAC#IBM (cgc )  MBI  AMC 20