Ôn tập cuối năm 1

ÔN TẬP CUỐI NĂM Dạng 1: Ôn tập phương trình tích A Lý thuyết  A( x) 0 A( x ).B ( x) 0    B ( x) 0 Phương trình dạng: Mở rộng:  A1 ( x) 0  A ( x) 0 A1 ( x) A2 ( x) An ( x) 0      An ( x) 0 Giải phương trình đưa dạng tích: - Chuyển tất hạng tử sang vế trái để vế phải - Phân tích vế trái thành nhân tử - Giải phương trình thu Chú ý: Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm, phương trình bậc n có khơng q n nghiệm B Bài tập Bài 1: Giải phương trình sau a)  x    3x    x    x  1 b)  x    x    x     x  c) x   3x 1  x  3 Lời giải a) Ta có  x    3x  5  x    x  1   x    x     x    x  1 0   x    x     x    x  1 0   x    x   x   0   x    x   0  x  0    x  0  x 2  x   Vậy phương trình có tập nghiệm S  2;  3 b) Ta có  x  5  x    x     x    x    x     x     x  0   x    x     x    x   0   x    x   x   0  x 0  x  x   0    x 4 Vậy phương trình có tập nghiệm S  0; 4 c) Ta có x   x  1  x  3   x  1  x  1   3x  1  x   0 1  x    x  1  3x   x   0   3x  1  x   0    x    S  ;     Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau a)  x  x  1  3x  1  x   b) 27 x  x  3  12  x  x  0 c) 16 x  x  4  x    x  1 Lời giải a) Ta có  x  x  1  x 1  x     x  1   x  1  x   0 1  x   x    x  1  x   x   0   x  1  x   0    4 S  ;  3  Vậy phương trình có tập nghiệm b) Ta có 27 x  x  3  12  x  x  0  27 x  x    12 x  x   0   x 0    x   x   x  x  3  27 x  12  0  3x  x  3  x   0  4  S  3; 0;  9  Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau x    x  1  x    x  1 a)  b)  x     x   x  x  Lời giải 3x    x  1  x    x  1   x    x  1   x    x  1 0 a) Ta có    3x    x  1  x  1   3x    3x    x  1 0   3x    x  1  x   3x   0 1    3x    x  1   x  1 0  x   ;  1;  2 3 1  S  ;  1;  2 3 Vậy phương trình có tập nghiệm b) Ta có  x     1    x     x  x   0   x     x  1 0  x   2;  5  1  S  2;  5  Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 4: Giải phương trình sau a)  2x  1  x  3  x  12   x  1 3x  1  x    3x  1  x  10   b) Lời giải 2x a) Ta có  2 x   x  x    x     x   x     x     x    x   0  1  x    x  12   x  1   x  1  x   x  12  0   x  1  x   x  12  0   x  1  x   0  x  (vì x   ) Vậy phương trình có tập nghiệm S   3 x  1  x    3x  1  x  10    3x  1  x     x  1  x  10  0  b) Ta có 1   x  ;3;     x  1  x   x  10  0   x  1  x  x  12  0   x  1  x    x   0 3  2 1  S  ;3;    Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 5: Giải phương trình sau 2 a)  x  1   x   x   x   x b)   1  x    x    x  1  x    x   Lời giải  x  1 a) Ta có 2   x   x   x  3   x  1   x  1   x   x     x  1  x   x  1    x   x  3 0    x  1   x  1  x   0   x  1    x  3 0   x  1  x  1 0  x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S   1;1 b) Ta có x  1  x    x  3  x  1  x    x     x  1  x  1  x    x  3   x  1  x    x    x   0   x  1  x     x  1  x  3   x    x    0   x  1  x    x  x   x  x  10  0   x  1  x    x  13  0  x   1;  2;13 Vậy phương trình có tập nghiệm S   2;1;13 Bài 6: Giải phương trình sau x a)  2  x    x  x   12 0 x    x    x  10  72 c)  x b)  2  x  3   x  x    18 0 x x  1  x  x  1 42 d)  Lời giải 2 a) Đặt t  x  x, phương trình cho trở thành: t  4t  12 0  t   t  6t  2t  12 0   t    t   0    t 2  x  t 2  x  x 2  x  x  0   x    x  1 0    x 1 +) Với 1  t   x  x   x  x  0   x     0 2  +) Với (vô nghiệm) 2 Vậy tập nghiệm phương trình S   2;1  t 3 t  9t  18 0    t 6 b) Đặt t x  x  3, phương trình cho trở thành  x 0 t 3  x  x  3    x  +) Với  x  t 6  x  x  6    x 1 (vô nghiệm) +) Với x    x    x  10  72   x    x  10  72 c)  Đặt t x    t  3  t  3 72  t 9  x 4 t 9  x  9    x  +) Với 2 +) Với t   x    x  (vô nghiệm) d) x  x  1  x  x  1 42  t  t x  x  t  t  1 42    t 6 Đặt +) Với t   phương trình vơ nghiệm +) Với t 6  x   2;  3 (vô nghiệm) Vậy tập nghiệm phương trình S  2;  3 Dạng 2: Ơn tập phương trình đưa dạng ax  b 0  a 0  A Lý thuyết Cách giải: Ta thực theo bước sau - Bỏ dấu ngoặc quy đồng mẫu hai vế khử mẫu - Thực phép tính chuyển vế đưa dạng ax  b 0 - Giải phương trình vừa nhận - Kết luận Chú ý kiến thức liên quan - Các đẳng thức đáng nhớ - Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Các quy tắc đổi dấu B Bài tập Bài 1: Giải phương trình sau a)  x  3 7 x  21 b)  x  3  2  x  1  Lời giải a) Ta có  x  3 7 x  21   x  3 7  x     x   0  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S   3 b) Ta có  x  3  2  x  1   15 x  15  2 x    15 x  x 5  15   13 x 24  x  24 13  24  S    13  Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 2: Giải phương trình sau a)  x  3    x    x  1  b)  3x     x   7 x  20 Lời giải a) Ta có  x  3    x    x  1   x  12   x  x    x  x  x 5  12   10 x   x  1   1 S   2 Vậy phương trình có tập nghiệm b) Ta có  x     x   7 x  20  12 x   3x  12 7 x  20  12 x  x  x 20   x 28  x 14 Vậy phương trình có tập nghiệm S  14 Bài 3: Giải phương trình sau a)  3x  1  x  3   x    x  b)  x  1  x    x  3  x   Lời giải 2 a) Ta có  3x  1  x  3   x    3x   3x  x  x  10  16 x  x  3x  x  x  x  16 x  x  x 10   29 x 13  x  13 29  13  S    29  Vậy phương trình có tập nghiệm 2 b) Ta có  x  1  x    x  3  x    x  10 x  x  x  15  x 6  x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 Bài 4: Giải phương trình sau a)  x     x    x    x   c)  3x   b)  x  1  x  3   x   2  x  1   3x   5 x  38 Lời giải a) Ta có  x     x    x    x    x  x   x   x  x   x  x 8    12 x 12  x 1 Vậy phương trình có tập nghiệm S  1 b) Ta có  x  1  x  3   x   2  x  1  x  x   x  2 x  x    x  x 2     (vơ lí) Vậy phương trình vơ nghiệm 2 c) Ta có  3x     3x   5 x  38   3x   3x    3x   x   5 x  38  24 x 5 x  38  19 x 38  x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 Bài 5: Giải phương trình sau a)  x     x  1 3  x  x   b)  x  3 2   x  3 6 x  18 Lời giải a) Ta có  x     x  1 3  x  x    x  12 x  12  x  3 x  x   x  12 x  x  3x  3x  12   x  12  x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  2 b) Ta có  x  3 2   x  3 6 x  18   x   x    x   x   6 x  18  12 x 6 x  18  x 18  x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 Bài 6: Giải phương trình sau  x  1  x   x  1   5 a) b) x  x  30  x  10 x    24   15 10 Lời giải  x  1  x   x  1 5x  x  x     5   5 7 a) Ta có  14  x  3 21 x  1 12  x   420    84 84 84 84  70 x  42  147 x  21 48 x  24  420  70 x  147 x  48 x 24  420  42  21   125 x 333  x  Vậy phương trình có nghiệm x  333 125  333 125 Bài 7: Giải phương trình sau  x  3 3x  x   14    c) x   x  1 x   x  1  12 x    12 d) Lời giải Bài 8: Giải phương trình sau  x  1 a)   x  1  x  2 x  14 x   15 b)   x  3  x  3   x   Lời giải Bài 9: Giải phương trình sau a)  x    x 10    x    x  10   x    x    x  2 b) 12   x  1  x  2 25  Lời giải Bài 10: Giải phương trình sau 0 x 1 2x 3x  1  3 2x  a) x  x 3x  x 2x  6  2  3x   b) 10  x x 3 x 2x     x  1  x 2 c) Lời giải Bài 11: Giải phương trình sau x  23 x  23 x  23 x  23    25 26 27 a) 24 201  x 203  x 205  x    0 97 95 b) 99 Lời giải Bài 12: Giải phương trình sau x  45 x  47 x  55 x  53    53 45 47 a) 55 2 x 1 x x  1  2003 2004 b) 2002 Lời giải Bài 13: Giải phương trình sau 10 Bài 2: Giải phương trình sau a)   x  x   x  1   x  b) 3x  x   1  x  x 3  x  1  x  3 Lời giải Bài 3: Giải phương trình sau a) 13    x  3  x   x   x    x    b)  x  1  x    x  3  x  1   x    x  3 Lời giải Bài 4: Giải phương trình sau x 1 x  16   a) x  x  x  7   b) x  x  x  x  2 12 x  x 3   c)  x  x  x  x  Lời giải Bài 5: Giải phương trình sau x  25 x 5 5 x   2 d) x  50 x  x x 10 x x 2x x   e) x  x  x   x Lời giải Bài 6: Giải phương trình sau   a)  25 x  20 x  x  x  x 5 x    b) x  x x x  x x  16 Lời giải c) Điều kiện x  4; x  5; x  6; x  1 1 1 1        x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18  x    x    x    x    x    x   18  1 1 1       x  x  x  x  x  x  18  1    x  x  18  x  13  x 2  (thỏa mãn) 13 Bài 7: Giải phương trình sau 1 1    x  x  20 x 11x  30 x  13 x  42 18 Lời giải Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa phân thức Bài 5: Cuối năm 2016 – 2017 Cho A x    x 1 x  x 1 x  a Rút gọn biểu thức A b Tìm tất số nguyên x để biể thức A nhận giá trị nguyên Lời giải a) Rút gọn biểu thức A A Ta có   x  1  x  1 x x      x  x  x   x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1 3x   x   x  4x  4    x 1  x  1  x  1  x  1  x  1 x  14 Vậy A  x 1 x b) A nhận giá trị nguyên ( x  1)  U (4)  1; 2; 4  x    3;0; 2;3;5 Vậy x    3; 0; 2;3;5 Bài 6: Cuối năm 2017 – 2018  x2   x A    x 3; x 0  : x  x  3 x 3  Cho b Tìm giá trị x để A 3 a Rút gọn biểu thức A Lời giải a) Ta có:  x2   x2  x   x  x2   x   x  x x2  x x  x 1 A   :   :  :    x 3      2 x2  x  x  x  3 x 3  x  x   x 3   x 3 x  x  x 1  x  3 x 1 A 3  3    x  x    x  b  x 2  x 5  x  2;5  Bài 6: Cho A x 4x  B    x  1 x  x  x  x  x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức B x  1 A 3 c) Chứng minh B với x  Lời giải A a) Với x  , ta có x 4x  3x    x  x  x  x   x  1  x  x  1 15 A Vậy 3x  x  1  x  x  1  x  1 x  1    x    b) Ta có  x   KTM    x   TM  Thấy x  thỏa mãn điều kiện x  , thay vào biểu thức B ta được: B 1 1   x 1  1 c) Đặt A 3x 3x  :  2 B  x  1  x  x  1 x  x  x    x  1 3x 2 P 3  3 0 x  x 1 x  x 1 Xét   x  1 0; x  x   x    P 3  A 3, x  B Bài 6: Cho biểu thức A x2 x  16  B  x 2  x  x  x 4 a) Tìm x để A B A 0 b) Tìm x để B Lời giải a) Với x 2 ta có  x  16  x  A B  x2 x  16   x x2 x  (không thỏa mãn) Vậy không tồn giá trị x để A B x  x  x    16 A : B    :  x x2 x  b) Với x 2 ta có A: B   x 0  x 0 x0 Kết hợp với điều kiện x 2  x  x  giá trị cần tìm Bài 6: 16 Cho biểu thức A x2 x2  x2 B    x  x  x  x x  x với x 0; x 2 a) Tính giá trị biểu thức A x  3 b) Với A, B biểu thức trên, đặt P A x P B Chứng minh x c) Tìm giá trị x để P  Lời giải a) x  3  x  (thỏa mãn điều kiện) Với x   A  c) Với x 0; x 2 P 1 x x  x 2 1 0 0 x2 x x x Kết hợp với điều kiện ta có x  x 0; x  P  Bài 6: Cho biểu thức M x  x 2 :   x   x  x x  với x 0; x 3 a) Rút gọn M b) Tính giá trị M với giá trị x thỏa mãn x  x 0 c) Tìm giá trị x để M 0 Lời giải a) Rút gọn M x  x 2 x2 :   x   x  3x x   x  x 0  KTM  x  x 0  x  x   0    x 2  TM  b) Với 22 M 1 6 Thay x 2 vào M ta có x2 0 c) Ta có M 0 hay  x , với x 0  x    x   x  17 Vậy x  x 0; x 2 M  (không tồn dấu bằng) Bài 2: A Cho biểu thức  18  x2  x 3x    :  x  x  10 x  5 x   a Tìm điều kiện x để A xác định b Rút gọn A c Tính giá trị A x 2; x  d Tìm x để A 5 e Tìm x để A  f Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Lời giải a) ĐKXĐ: x 0; x 1 A b) Ta có: c) Ta có  18  x2  x x    18  x  x  1  x  1   18  x    :  :    x 0; x 1   x  x  10 x  5 x   x   x  1  x  1  x  x  1 x  A 5  x   6 1  x 5 (thỏa mãn) d) Thay x 2 (thỏa mãn) e) A0  A 6  A  2 6   x    x  1; x   0;  1 x f) A nguyên  6 Z   Z  x  1 U (6)  x   2;3; 4;7;0;  1;  2;  5 x x Bài 3:  2x x 3x2    x   A     1  : x  x   x2   x    Cho biểu thức a Rút gọn A b Tìm x để A 1 Lời giải a) ĐKXĐ: x 3; x  3; x   A  3 x 3 18 b)  6  x   1 3 1 3 6 x x   A       0 0    6  x  x 3 x 3 x 3 x 3    x    x    x     x     x   Vậy   x  x  1; x 3 Bài 4:  x2 x2  y2 y  x  xy  y A     : x  x  xy xy y  xy  x y Cho biểu thức a Tìm điều kiện x, y để A xác định c Tính giá trị A với x  1; y   b Rút gọn A d Tìm giá trị nguyên x, y để A 1 Lời giải  x 0   x  xy 0    xy 0  a) ĐKXĐ:  y  xy 0 b) Rút gọn A  xy 0   x( x  y ) 0    y ( x  y ) 0  x  y 0  xy 0  x  y y x xy 1   x 1; y   A 3   x 1; y    A  c)  d) A 1  y  x xy  x( y  1)  ( y  1)   ( x  1)( y  1)   x  1   y    +)  x 2   y   x     y    +)  TM  Bài 7: Cho biểu thức A 2x x   11x x   ;B  (0  x 9) x 3 x  9 x x 1 a Rút gọn A 19  x 0  KTM    y 0  3 x 6  x   b Với P  AB , tìm x để P c Tìm x để B  d Tìm x  Z để P  AB số nguyên Lời giải a) b) c) d) A 2x x   11x x( x  3)  ( x  1)( x  3)  (3  11x) 3x     (0  x 9) x 3 x   x ( x  3)( x  3) x P  A.B  B 1  P 3x x  3 x    x 9( x  1)  x  3(tm) x  x 1 x 1 x   x   x     1(vo.so.nghiem) x 1 x 3( x  1)  3  3  , P  Z  ( x  1)  U (3)  x  1 { 1, 3}  x  {0;-2;2;4} x 1 x 1 x 1 Dạng 5: Ơn tập giải bất phương trình Bài 1: Giải bất phương trình sau biểu diễn trục số a 1 x 3( x  2)  5 x  3 x  x 15 x     b Lời giải a) 1 x 3( x  2) x  15 x 3( x  2) 5 x         x   15  3x  3x  3 3 3   x   15  x  x   x  15    x   x   20 x 90  x   x  x 15 x          x   20 x 90  21x  24 12 12 12 12 b)  x  20 x  21x 90  24   10 x 60  x 6 Bài 2: Giải bất phương trình sau x x x  18   6 1 a b (5 x  Lời giải 20 2 x  x x(1  3x) x )   3