Hình thoi

HÌNH THOI A Tóm tắt lý thuyết B Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh ABCD  ABCD hình thoi  AB BC CD DA A C Tính chất: Hình thoi có tất tính chất hình D bình hành B - Tính chất cạnh: +) Có bốn cạnh A +) Các cạnh đối song song C - Tính chất góc: Các góc đối - Tính chất đường chéo: D +) Hai đường chéo cắt trung điểm đường +) Hai đường chéo vng góc với +) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có bốn cạnh hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Chú ý: - Hình thoi có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo - Hình thoi có hai trục đối xứng đường chéo hình thoi Cách vẽ hình thoi Có bốn cách vẽ hình thoi hay dùng hai cách sau Cách 1: Vẽ đường chéo, dựng đường trung trực đường chéo đó, nối hai đầu đường chéo với hai giao điểm hai cung tròn vừa vẽ thu bốn đỉnh hình thoi Cách 2: Sử dụng lưới vng để vẽ hai đường chéo vng góc với cắt trung điểm đường B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình thoi Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi Bài 1: Cho tam giác ABC cân A Hai đường A cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D , cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB, AC D F Chứng minh tứ giác DNGM hình M E N H thoi B G C Lời giải Ta có ABE ACF (cạnh huyền – góc nhọn)  AE  AF , BE BF Vì H trực tâm ABC  AH đường cao, đồng thời đường trung tuyến, từ ta có GB GC DE DF GN / / BE   AC  Xét EBC có GB GC  NE NC Chứng minh tương tự ta MF MB Dùng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh DM / /GN DM GN  DNGM hình bình hành Mặt khác, DM DN (cùng nửa hai cạnh nhau) nên DNGM hình thoi Bài 2: Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh AB , A điểm E thuộc cạnh AC cho BD CE Gọi I , K , M , N theo thứ tự trung điểm D H E BE , CD, BC , DE Chứng minh tứ giác K I MNIK hình thoi B Lời giải M C 1 KN NI IM MK  BD  CE  MNIK 2 Ta có: hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AC vng A D góc với AD Gọi E , F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD Chứng minh tứ E giác AECF hình thoi O F C B Lời giải Cách 1: Ta có tứ giác AECF hình hành có hai đường chéo vng góc  AECF hình thoi (dấu hiệu) Cách 2: AE EC CF FA  AECF hình thoi (dấu hiệu) Bài 4:  Cho hình thoi ABCD có A 60 Từ đỉnh B góc tù B kẻ đường vng góc BE , BF đến AD DC , cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh N M A E F a AE CF D b Tam giác BEF c Tứ giác BMND hình thoi d Cho AC 16cm , tính chu vi tam giác BEF Lời giải  b A 60  BCD, ABD tam giác    EBD FBD 300  BEF (tam giác cân có góc 600) C c Ta chứng minh MB BN ND DM +) AC đường trung trực BD  MB MD(1) +) AC đường trung trực BD  NB ND(2)   +) ABE CBF (ch  gn)  ABE CBF  ABM CBN  MB  NB (3)  MB BN ND DM  BMDN ACD  EF = AC 8cm  PBEF 24(cm) d Ta có EF đường trung bình tam giác Bài 5: Cho tam giác ABE vuông A Từ điểm O E cạnh BE kẻ đường vng góc với BE cắt tia đối tia AB F , cắt AE D O Tia phân giác góc E cắt AB, OD P D N M P , tia phân giác góc F cắt Q I BO, DA N Q Chứng minh B M A F a EM  FN b MNPQ hình thoi Lời giải a Gọi I giao điểm MP NQ  F   +) E (cùng phụ với B )       +) FIP,OEP ( P1 P2 , E1 F1 )  O I 90  EM  FN b Ta có PFM cân F  PI IM , ENQ cân E  NI IQ Tứ giác MNPQ có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với nên hình thoi Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi M điểm A thuộc cạnh BC , E F chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Gọi I trung điểm AM , D trung I điểm BC E 60° 60° F   a Tính số đo góc DIE , DIF b Chứng minh tứ giác DEIF hình B D C M thoi Lời giải a        DAI    DAI  DIE MIE  MID  A1  E  ADI 2 A   1 2( EAI  DAI ) 2.300 600 Tương tự ta có:         DIF 2 FAI  DAI BAC 600 DIM  MIF b Ta có DEI , DFI tam giác  EI IF FD DE  DEIF hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Bài 7: Cho tam giác ABC trọng tâm G Vẽ A hình chữ nhật ABDE cho C thuộc đoạn J thẳng DE Tia AG cắt BD I , tia AE cắt E BG J Chứng minh G a) I J đối xứng qua CG b) Các tứ giác CGBI , GICJ , CJAG hình thoi B C M I D Lời giải Ta có ABJ BAI  gcg   AI BJ  ABIJ hình thang cân có hai đáy AI BJ Vì hình thang cân ABIJ có góc vng nên suy ABIJ hình chữ nhật, tâm G Mặt khác CG  AB  CG đường trung trực cạnh IJ Vậy I J đối xứng qua đường thẳng CG 0    b) Ta có ABI 90  GBC IBC 30 Gọi M trung điểm BC , tam giác BGI có BM đường cao, đường phân giác nên M trung điểm GI Tứ giác CBDI có hai đường chéo BC , GI vng góc với cắt trung điểm đường, CBGI hình thoi Chứng minh tương tự ta có CGAI hình thoi Vì I , J đối xứng qua đường thẳng CG nên CI CJ , GI GJ (1) Dễ thấy BGI tam giác  CI BG GI (2) Từu (1)(2)  GICJ có bốn cạnh nhau, GICJ hình thoi Dạng 2: Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh quan hệ nhau, song song, vng góc, tính độ dài đoạn thẳng Cách giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc, đường chéo hình thoi Bài 1: Cho hình thoi ABCD , độ dài cạnh B 13cm Gọi O giao điểm hai đường chéo Vẽ OH  AD Biết OH 6cm , tính tỉ số O A hai đường chéo BD AC C K H D Lời giải Vẽ BK  AD OH / / BK   AD  , OB OD  KH HD Xét BKD có BKD  OH  BK  BK 12cm Vậy OH đường trung bình 2 2 Xét ABK vuông K , ta có: AK  AB  BK 13  12 25  AK 5cm  KD 8cm 2 2 Xét BKD vuông K , ta có: BD BK  DK 12  208  AC  OA OH  AH 6  117    117  AC 468   Xét AOH vng H , ta có: OA 2 2 BD 208 BD     AC 468 AC Do Bài 2: Cho hình thoi ABCD có góc A tù Biết A B đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia đơi cạnh Tính góc hình thoi D H Lời giải Gọi H chân đường cao kẻ từ A đến cạnh CD từ giả thiết ta có:  AH  CD  AH  AC  AD  1 CH HD đường trung trực đoạn CD nên C  Áp dụng định nghĩa vào hình thoi ABCD nên ACD tam giác đều, D 60 Vì góc D góc A hai góc phía AB / /CD nên chúng bù hay   A 1800  A 1800  600 1200 D     Áp dụng tính chất góc vào hình thoi ta B D 60 , A C 120 Bài 3: Trên cạnh AB CD hình thoi ABCD lấy điểm P Q I B K M cho P 1 AP  AB, CQ  CD 3 Gọi I giao điểm A C O Q PQ AD , K giao điểm DP D BI Chứng minh rằng: a) BID vuông b) BK IK Lời giải a) Gọi M trung điểm BP  BM CQ  BMCQ hình bình hành  QM BC , QM / / BC AIP MQP  gcg   AI MQ  AI  AD  MQ   BID có BA đường trung tuyến, AI  AD  AB  BID vuông B AP  AB  P b) IBD có BA đường trung tuyến, trọng tâm  BK IK Bài 4: Cho ABC có AB  AC Trên cạnh AC A P tam giác lấy điểm D cho CD  AB Gọi D Q trung điểm AC , N trung điểm Q BD Vẽ đường phân giác AK góc BAC N Chứng minh AK  NQ K M B C Lời giải  a Ta có A 60  ABD  AH HD Tứ giác ABDE có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với nên hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b Có ABCD hình thoi  CD / / AB Có ABDE hình thoi  DE / / AB  E , D, C thẳng hàng c Xét ABCE có AB / / CE  ABEC hình thang Lại có AE  AB BC  hình thang có hai cạnh kề  E  600  ABCE C hình thang cân  AC BE Bài 5:  Cho hình thoi ABCD có A 60 , vẽ BH B vng góc với AD kéo dài đoạn A HE HB Nối E với A , E với D C a Chứng minh tứ giác ABDE hình H thoi D b E , D, C thẳng hàng c EB  AC E Lời giải  a Ta có A 60  ABD  AH HD Tứ giác ABDE có hai đường chéo cắt trung điểm đường vuông góc với nên hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b Có ABCD hình thoi  CD / / AB Có ABDE hình thoi  DE / / AB  E , D, C thẳng hàng c Xét ABCE có AB / / CE  ABEC hình thang Lại có AE  AB BC  hình thang có hai cạnh kề  E  600  ABCE C hình thang cân  AC BE Cho hình bình hành ABCD Bài 6: có F A 600 , AD 2 AB Gọi M trung điểm E AD, N trung điểm BC Từ C kẻ B đường thẳng vng góc với MN E cắt C AB F Chứng minh a Tứ giác MNCD hình thoi 60° b E trung điểm CF A c Tam giác MCF M D d F , N , D thẳng hàng  2 AFM e BAD Lời giải   NC MD  BC  MNCD   a MNCD có:  NC / / MD hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) 1 MD DC  AD  BC  MNCD 2 Ta lại có hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b Xét BCF có N trung điểm BC , NE / / BF  E trung điểm FC   c Xét MCF có ME đường cao, đường trung tuyến  MCF cân M  M M   Mặt khác ta lại có MNCD hình thoi  M 2M 10  M  M  M  600  FMC   M 600  MFC tam giác 2 d Xét MFC có FM FC  F thuộc đường trung trực MC mặt khác DM DC  D thuộc đường trung trực MC Vậy FD đường trung trực MC (1) MNCD hình thoi  ND đường trung trực MC (2) Từ (1)(2)  FD ND  F , N , D thẳng hàng    BAD  NMD         NMD M  M 2M  BAD 2 AFM  M  AFM e  Cho hình thoi ABCD có  600 B Bài 7: Kẻ AE  DC , AF  BC a) Chứng minh AE  AF b) Chứng minh tam giác AEF c) Biết BD 16cm , tính chu vi tam giác AEF Lời giải  a) Do AC phân giác góc DBC nên AE FA 0   b) Có B 60 nên ABC ADC tam giác  EAC FAC 30 Vậy AEF cân 0  có FAE 60 nên B 60 c) EF đường trung bình tam giác BCD FE  DB 8cm; Vậy Chu vi AEF 24cm Bài 8: 11 Cho ABC  AB  AC  Trên tia đối tia A BA lấy điểm M , tia đối tia CA lấy J điểm N cho BM CN Gọi D, E , P, Q lần I 12 D B C lượt trung điểm BC , MN , MC , NB Q P a) DE cắt AM J Chứng minh N   PEQ MJQ M b) DE cắt AN I Chứng minh DE E  song song với đường phân giác BAC Lời giải a) BMN có QE đường trung bình nên ta có QE / / BM Tương tự ta có DP / / BM , QD / / CN , PE / / CN  QE / / DP, PE / / DQ  DPEQ hình bình hành    PEQ PDQ   Mặt khác PDQ MJQ (so le trong)   Vậy PEQ MJQ  b) Gọi Ax đường phân giác BAC 1 DP  BM , PE  CN  DP PE  BM CN  2 Ta có      Do DPEQ hình thoi  DE phân giác DPQ đồng thời PDQ PEQ MJQ BAC  DIC   A2 D (đồng vị)  DE / / Ax (hai góc đồng vị nhau) Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi 12 Cách giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình thoi Bài 1: Cho hình thang ABCD gọi M , N , P, Q lần A M B lượt trung điểm hai đáy hai đường chéo hình thang Q P a Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành N D b Hình thang ABCD phải có thêm điều kiện C để tứ giác MNPQ hình thoi Lời giải a Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác cho tam giác ABC BCD , ta có: MQ / / PN / / BC ; MQ PN  BC  MNPQ Là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) QN / / MP / / AD; QN MP  AD b Tương tự câu a ta có: Để MNPQ hình thoi MN  PQ  MN  CD  MN trục đối xứng hình thang ABCD hay hình thang ABCD phải hình thang cân Bài 2: Cho tam giác BC , ABC , qua điểm D thuộc cạnh A kẻ đường thẳng song song với AB F AC , cắt AB AC theo thứ tự E F E a Tứ giác AEDF hình gì? b Điểm D vị trí BC AEDF B D C hình thoi Lời giải a Ta có tứ giác AEDF hình bình hành (các cạnh đối song song) b Để AEDF trở thành hình thoi 13 AD phân giác  FAE   AD phân giác BAC Vậy D giao điểm đường phân giác góc A cạnh BC Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh E AB CD lấy điểm M N cho AM DN Đường trung trực BM cắt đường thẳng MN BC A E F M P B a Chứng minh E F đối xứng với qua AB D b Chứng minh tứ giác MEBF hình thoi c Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện C N F để tứ giác BCNE hình thang cân Lời giải a Ta có AM DN  MADN hình bình hành   AMN EMB   D MBC MPE BPE  EP FP  MEBF hình bình hành điểm E , F đối xứng qua AB b Tứ giác MEBF có MB giao EF P Lại có P trung điểm EF , MB  EF  MEBF hình thoi   c Để BNCE hình thang cân CNE BNE      mà CNE D MBC EMB EBM nên tam giác MEB có góc nhau, điều kiện là: ABC 600 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 14 Cho tam giác ABC nhọn, đường cao A BD, CE Tia phân giác góc ABD ACE N M cắt O , cắt AC , AB N , M Tia BN cắt CE K , tia CM cắt E K D O H BD H Chứng minh a BN  CM B C b Tứ giác MNHK hình thoi Lời giải     a Ta có ABD  ACE  NBD MCA 0     Xét BDN , có: NBD  BND 90  BD  AC   BND  ACM 90 Gọi O giao điểm CM BN  CM  BN O (1)  b Xét CNK , có CO  KN  CO  BN , CO phân giác ACE  CNK cân C  O Là trung điểm KN   Tương tự chứng minh O trung điểm MH  3 Từ (1)(2)(3) suy MNHK hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi EFGH trung điểm AB, BC , CD, DA a) EFGH hình gì, b) Chứng minh AC , BD, EG, FH đồng qui Lời giải EF / /GH , EF GH  AC a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho BAC ADC ta có: HE / / HG, HE FG  BD Mà ABCD hình chữ nhật nên AB BD  EFGH hình thoi 15 b) Gọi O  AC  BD  O trung điểm AC BD Chứng minh EBGD BFDH hình bình hành suy AC , BD, EG, FH đồng quy trung điểm đường (điểm O) Bài 3: Cho tam giác ABC cân A , trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB P đường thẳng song song với AB cắt AC Q a) Tứ giác APMQ hình ? Vì sao? b) Chứng minh PQ / / BC Lời giải a) Vận dụng đinh lý đường trung bình tam giác suy APMQ hình thoi có cạnh b) Vì PQ  AM mà AM  BC (tính chất tam giác cân) nên PQ / / BC Bài 4: Cho tam giác ABC có AD đường A cao, H trực tâm Từ điểm M cạnh BC kẻ ME , MP theo thứ tự vng K góc với AB, AC Gọi I trung điểm I AM Chứng minh: Q H a) DEIP hình thoi O E b) Ba đường thẳng MH , ID, EP đồng quy B M D Lời giải a) Áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng, ta có: EI DI PI MI  AI  AM  1 16 P C Mặt khác, áp dụng tính chất góc ngồi tam giác, ta có:       EID EIM  MID 2 EAI  IAD 2.BAD 600  EID  EI ED         Tương tự ta có: DIP MIP  MID 2MAC  2MAD 2DAC 60  DIP  DP IP  3 Từ  1    3  EI IP DP ED  DEIP hình thoi b) Gọi O giao điểm EP ID , K trung điểm AH  AK KH HD Theo tính chất đường trung bình ta có: OH / / IK , MK / / IK  M , O, H thẳng hàng hay MH , ID, EP đồng quy 17