Dạng toán 48 tích phân liên quan đến hàm ẩn

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 48: TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH HÀM ẨN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a a b  c với a  c  b b k f  x  dx kf  x  dx  k 0  a a b a f  x  dx  f  x  dx a b b  f  x  dx F  x  a b a F  b   F  a  b b b  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx a a b b a b f  x  dx f  t  dt f  z  dz a a b f  x  dx  f  x  a a b a  f  b  f  a f  u  x   u x  dx f  u  du, u u  x  Công thức đổi biến số: u b b f  u  x   u x  dx   f  u  du, u u  x  a u a Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b  b Giả sử cần tính a Nếu ta viết u b g  x  dx   f  u  du a g  x  dx u a  g  x dạng f  u  x   u x  u b Vậy tốn quy tính  f  u  du u a , nhiều trường hợp tích phân đơn giản   Giả sử cần tính f  x  dx  Đặt x x  t  thỏa mãn  x  a  ,  x  b  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA b  b f  x  dx f  x  t   x t  dt g  t  dt a  a , g  t   f  x  t   x   t  BÀI TẬP MẪU Cho hàm số f  x liên tục  , thỏa mãn xf  x   f   x   x10  x  x, x   Khi f  x  dx 1  17 A 20  13 B 17 C D  Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Tính tích phân hàm ẩn KIẾN THỨC CẦN NHỚ: u (b ) b Cơng thức đổi biến số tích phân: f  u( x) u( x) dx   f (u ) du a u (a)  Tính chất tích phân: a f ( x) dx 0 a b c b f ( x) dx f ( x) dx  f ( x) dx a a b f ( x) dx  f ( x) c x b x a  f (b)  f (a ) a HƯỚNG GIẢI: B1: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính f  x  dx 1 B2: Nhân hai vế phương trình với x , sử dụng tích phân hai vế để tính f  x dx B3: Kết luận f  x  dx 1 Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Cách : Dùng vi phân Ta có: xf  x   f   x   x10  x  x, x    x f  x3   xf   x   x11  x  x , x    * Khi đó:  *  x f  x3  dx  xf   x  dx    x11  x  x  dx, x   1 1 1  1 f  t  dt  f  t  dt   1 20  f  t  dt     1 1 f  t  dt   1 0 f  x  dx  1  *  x f  x  dx  xf   Mặt khác: x dx   x11  x  x  dx 0  1 f  t  dt  f  t  dt   30 21  5 f  t  dt   60 1  0 Theo tính chất tích phân ta có: f  t  dt  1  1 f  x dx  f  x dx  f  x dx  1 f  x dx   13 Cách 2: (Tham khảo khơng giống phân tích trên) 10 Bậc cao vế phải x , bậc cao vế phải x f  x  Kết luận: f  x bậc x  x   x10 Hệ số bậc cao vế phải  Kết luận: Hệ số bậc cao vế trái  Vậy f  x   x  ax  bx  c x f  x   x10  x.a  x3    x10  ax  Kết luận f  x   x  bx  c Vế phải x Vậy a 0 x f  x3   f   x   x10  bx  cx    x   b   x   c  x10  bx  cx   3x  3x  x  b  bx  c  x10  x   b  3 x    b  x  cx  b  c  Đồng hệ số b 3; c  Tóm lại f  x   x  3x  Suy f  x  dx  1  13 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Bài tập tương tự phát triển: Câu 48.1: Cho hàm số y  f  x f  x   f   x  2  x  1 e x  liên tục thỏa mãn  x 1 4 I f  x  dx Khi A I e  C I 2 B I 8 D I e  Lời giải Chọn C Ta có x  f  x   f   x   dx   x  1 e  2 3f  x  dx  f   x  dx 2  x  1 e 0 2 3f  x  dx    x 1  2 dx  4dx d  x  x 1   x 1 3f  x  dx  f  x  dx e x 2 x  x 1 x f   x  d   x  e   dx   x 1 8  f  x  dx 8  f  x  dx 2 Câu 48.2: Cho hàm số y  f  x liên tục  0;   thỏa mãn f  ln x   f   ln x  x I f  x  dx Khi e A e 1 B e C D e  Lời giải Chọn A 1 f  ln x   f   ln x  x  x f  ln x   x f   ln x  1   Ta có  Lấy tích phân từ đến e hai vế   , ta e e 1    x f  ln x   x f   ln x   dx dx 1 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA e e 1 f  ln x  dx   f   ln x  dx e   x  1x e  e f  ln x  d  ln x   f   ln x  d   ln x  e    1 x 1  t 0 Đặt t ln x Đổi cận x e  t 1  Khi     f  x  dx  f   t  d   t  e   1 0 f  x  dx  f  x  dx e  0 e f  x  dx   f  1  ln   f   a  b ln 3; a, b    x  x  1 f  x   f  x   x  x y  f  x  \  0;  1  Câu 48.3:Cho hàm số liên tục thỏa mãn 2 Tính a  b 25 A B C 13 D Lời giải Chọn B Ta có x  x  1 f  x   f  x   x  x Chia vế biểu thức (1) cho  x  1 (1) ta x x f  x   f  x  x 1 x 1  x 1 x  x  f x    x    x  x   \  0;  1  , với x x f  x   dx  x 1 x 1 x f  x  x  ln x   C  x 1  f  x  Mặt khác, x 1  x  ln x 1  C  x f  1  ln    ln  C   ln  C  Trang GV: LÊ QUANG XE Do 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  x  f  x  Với x 2 Vậy a  b2  Câu 48.4:Cho hàm x 1  x  ln x 1  1 x 3 3 a b    ln 3   ln 2 2 Suy y  f  x số có đạo hàm liên tục  Biết f  1 e  x   f  x   x f  x    A e  x3 với x   Tính e B f  x  dx C e e D e  e Lời giải Chọn D  e x f  x     x xf  x    x   f  x    e 1 x x   f  x   x f  x   x      x Ta có: e x f  x  e  x dx  e  x  C 2 x   f  x   x  C.x e x f  1 e    C.e e  C 1  e Vì  1 f  x   x     x 2e x  e Do 1 1    1  1 f  x  dx   x     x 2e x  dx  x 2dx     x 2e xdx   e  e0   Vậy 1   1  1  1 x x      x d  e        e  2 xe dx    e      xd  e x   e0  e  e 0   e   1     e  e x dx    e   e  Câu 48.5: Cho hàm số y  f  x liên tục  \  0 15 x  2 f  x   f    ,  x thỏa mãn f  x  dx 2019  1     e   e  1    e  e  e Tính 1 I f   dx  x Trang GV: LÊ QUANG XE A 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 688 I  B I 688 C I 886 D I 68 Lời giải Chọn A x   t 1 1 I f   dx  x x   t 3 dx  dt 2 Đổi cận Xét Đặt t 2 x  3 I  f 21 Khi  2   dt t 15 x 5x 5t  2  2  2 f  x   f    f     f  3x  f     f  3t    x 3  x Mà hay  t  3 3  5t 1  I     f  3t   dt  t dt  f  3t  dt   f  3t  dt  1 21 41 31 31  Nên t 1  u 3 dt  du Đổi cận t 3  u 9 Đặt u 3t  I   Khi Câu 48.6:Cho hàm số 2019 688 f  u  du     93 f  x có đạo hàm liên tục 2 xf  x  dx 5 f  x  dx Giá trị 103 A 48   \  0 1 f  x   f   x  x thỏa mãn ,  2 103 B 24 103 C 48 103 D 12  Lời giải Chọn D u x du dx     v  f ( x ) Đặt dv  f ( x )dx Ta có x f  x  dx x f  x   Lần lượt thay x 1 x 2 f  x  dx  2 f    f  1  f  x  dx 1 (1) 1 f  x   f   x  x vào ta Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA   f    2 f    f  1 1     f  1  2 f  1  f       f  x  dx  f  x  dx  21  1  f  x  dx 2 f    f  1   Khi 1 1 f  x   f   x  x Lại có  1 f  x  dx    f  x  dx  1 f   dx x dx  2.( 2)    x 1 2 1 f  x  dx  24 103  24 24 2 t   x   dx  dt x t t Đặt ta có 1 2 1  2 f  dx f (t ) dt 2 f (t ) dt  t t  x 2 (2) 1 1 1 f  dx f (u ) du 1 103  1 f (t ) dt  u  x u   x   dx  du t 24 x u u Đặt ta có 2 Thay vào (2) ta Câu 48.7: Cho hàm số f  x  2 103  103    24  12 f  x  dx 2.  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f   9 f  x    f  x   x  9 T  f  1  f   Tính A T 2  ln T   ln 2 C B T 9 D T 2  ln Lời giải Chọn C Ta có f  x    f  x   x  9   f  x   1   f  x   x    f  x    f  x   x     1 1 x  dx  C    f  x   x   f x  x     f x  x f x  x           x  9C Do f   9 nên C f  x   x 9 x 1    ln x   x  T  f  1  f     x  dx   9 ln  x     0 Vậy Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  x Câu 48.8: Cho hàm số nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục đoạn x I  f  x  f   x  e2 x I  A  4x x   0;  , với 16 B I  16 Tính tích phân 14 I  C  0; 2 Biết f   1  3x  f  x  f  x D dx I  32 Lời giải Chọn B Ta có f  x  f   x  e x  4x 2x  ln  f  x  f   x   ln e  4x  ln f  x   ln f   x  2 x  x    f   f   1  f   1 f   1 x  Mặt khác, với , ta có  nên x I  Xét  x  f  x  f  x dx  x3  3x    f  x  dx f  x  x  x  d ln  f  x      x  3x  ln  f  x   2   3x   x  ln  f  x   dx   x  x  ln f  x  dx  x  x  ln  f  x   dx  1 x 0  t 2 Đặt t 2  x  dx  dt Đổi cận x 2  t 0 Do I  3   t  t.ln  f   t   dt  6t  3t  ln  f   t   dt 2 Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên I  x  x  ln  f   x   dx  2 Cộng vế  1   , ta   I  x  x  ln  f  x    ln  f   x   dx Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA I Hay x  x  ln  f  x    ln  f   x   dx   20     Thế   vào Câu 48.9:Cho hàm số   , ta có f  x 16 I   x  x   x  x  dx  20 nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục f  x    x   f A S 3 a  0;  f  2  15 thỏa mãn c f  x  dx  b ln  x  0 Biết , với a, b, c   Tính S a  b  c C S 5 D S 6 B S 4 Lời giải Chọn D Do f  x  Suy , với x   0;   x  x  C f  x nên f  x    x   f  x  0   f  x  2 x  f  x 1 f  2  f  x  15 nên C 3 hay x  4x  Mặt khác 1 dx f  x  dx   ln  x  x  2  a 1, b 2, c 3  S 6 Vậy Câu 48.10: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm  f    f   1   f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   , với x, y   Tính A C B   thỏa mãn f  x  1dx D Lời giải Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f  x  y   f  y   x  xy x   , Cho y 0  f  x   f    x  f  x  1  3x 3  f  x  f  x  dx x  x  C mà f   1  C 1 Do f  x   x  x  Vậy 0 f  x  1dx  f  x  dx   x 1 1  x  1 dx  Trang 10 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA A C B D Lời giải Chọn A 1  x3  x f x dx  f x          0 Ta có x3 f  x  dx  Suy x3 f  x  dx   3 Hơn ta dễ dàng tính x6 dx   63 1 Do 0 x3 x    f  x   dx  2.213 f  x  dx  21 9 dx 0   f  x   x  dx 0 f  x   x Suy Vậy , f  x   7 x C C f    4 Vì nên f  x  dx  f  x Câu 48.16: Cho hàm số   f  x   7 x  1 dx    40 có đạo hàm liên tục Tích phân  B  A f   0 thỏa mãn ,    dx sin xf  x  dx     0;  f  x  dx C D Lời giải Chọn D  Ta có sin x f  x  dx   cos x f  x    Hơn  cos x f  x  dx  cos x  x  sin x  cos xdx  dx     0  f  x   Suy   2  Do  2     Suy  cos x f  x  dx     0 dx  2.cos x f  x  dx  cos xdx 0   f  x   cos x  dx 0 f  x  cos x , f  x  sin x  C Vì f   0 nên C 0 Trang 14 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  Ta  f  x  dx sin xdx 1 0 0;1 có đạo hàm liên tục đoạn   thỏa mãn x  x  1 f   dx   2 Giá trị 12   A B C Câu 48.17: Cho hàm số f  x 3x 1 f  x  6 x f  x   D Lời giải Chọn D u  x     x   dv  f   dx   Đặt  du dx    x v 2 f      x  x 1 f  dx 2  x  1 f   2  x   dx 6 f  1  f    f  u  du  2 ;  x 0  u 0     x 2  u 1   x  u   du  dx; 2  f  x  6 x f  x    3x 1 2  x    2f  20 1 1  dx  3 0 f  x  dx 0  6x f  x   3x 1 dx 0 6x f  x  dx  60 3x 1  1 6x f  x dx *Tính Đặt t  x  dt 3x dx ; x 0  t 0, x 1  t 1 1 6 x f  x dx 2f  t dt 2f  x  dx 0 *Tính  0 (2) 1 dx 3dx    3x   3x 1 3x 1 (3) Thay kết (2) (3) vào (1) ta được: Thay x 0; x 1 vào f  x  6 x f  x   f   6; f  1 6 f  1   f  1  2 f  x  dx 2 f  x  dx    0 f  x  dx  x  ta x  x 1 f  dx 6 f  1  f    4f  u  du 6     2.6        2  5 Vậy Trang 15 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  Câu 48.18: Cho hàm số f  x liên tục  , tích phân  f  x   dx    ,  sin x f  x  dx    f  f 0 Biết   , tính     f  B     f  A     f    D     f    C   Lời giải Chọn B   Ta có  sin x f  x  dx  u  f  x  du  f  x  dx    dv sin xdx v  cos x Đặt    Khi     cos x f  x dx  sin x f x d x    cos x f x         4 0   cos x f  x  dx     Xét  f  x   cos x   2   0 dx  f  x   dx  2cos x f  x  dx  cos xdx      cos x   x sin x      dx      0 4 2 0    f  x   cos x  dx 0  f  x   cos x 0  f  x  cos x f x sin x  C Suy   f 0  C 0 Mà   f x sin x Khi      f   sin  Vậy   Câu 48.19: Cho hàm số  f  x   A y  f  x liên tục đoạn  0; 1 , dx 4 Giá trị tích phân B  f  x   thỏa mãn f  x  dx xf  x  dx 1 0 dx C 10 D 80 Trang 16 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn C Xét 2  f  x    ax  b   dx  f  x   dx  2 f  x   ax  b   dx   ax  b  dx 0 0 1 4  2a xf  x  dx  2b f  x  dx   ax  b  4   a  b   a  ab  b 3a 0 a2    b  a  b  2b  0 Cần xác định a, b để (1) a Coi (1) phương trình bậc hai ẩn   b  2 0  b  4b    b  2b     b 2  a  3 Ta có:  f  x     x    Khi đó: dx 0 Suy  f  x   Câu 48.20: Xét hàm số  f  x  6 x  dx  x   dx  f  x 1  x   10 24 f  1 1 f   4 có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện  f  x   f  x    J    dx x x2   Tính A J 1  ln B J 4  ln C Lời giải J ln  J   ln D Chọn D 2 2  f  x   f  x    f  x  f  x 2  J   d x dx   dx     dx   x x x x x x   1 1 1 Ta có 1   u  du  dx x x    dv  f  x  dx v  f  x   Đặt  2 2  f  x   f  x    f  x f  x 2  J   d x  f x  d x  d x        dx 2    x x x x x x x   1 1 1 1   f    f  1   ln x     ln x1  Câu 48.21: Cho hàm số y  f  x liên tục  thỏa mãn f  x  f  f  x   dx 10 f   1, f  1 2 Tích phân f  x  dx Trang 17 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA A 10 B C D 30 Lời giải Chọn A t  f  x   dt  f  x  dx; x 0  t  f   1, x 1  t  f  1 2 Đặt Khi 10 f  x  f  f  x   dx f  t  dt f  x  dx 10 Vậy    x  f  x  dx 10 Câu 48.22: Cho A I 5 Tính I cos3 xf  sin x  dx C I 10 B I 10 D I 5 Lời giải Chọn C   0 I cos3 xf  sin x  dx   sin x  f  sin x  cosxdx Đặt  x 0  t 0; x   t 1 t sin x  dt cos xdx I   t  f  t dt 10 Khi Câu 48.23: Cho e e f  x  dx 1  A  x  1 f  x  dx 2 x B  f  e  dx x Tích phân C D  Lời giải Chọn B Đặt t e x  dt e x dx tdx  dx  Do đó: e x f  e  dx f  t  dt t dt t x 0  t 1; x 1  t e Mặt khác theo giả thiết có: e  x  1 f  x  dx    x e e e   x  1 f  x   f  x f x dx   f x dx   dx          x x  1  Trang 18 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA Vậy Câu 48.24: e x f  e  dx f  t  Cho hàm số dt  t y  f  x y  f  x có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số hình vẽ bên Khi tổng f  x   dx  f  x   dx 0 A 10 B  D C Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số có f   1  2, f   2, f   4 Đặt t  x   dt dx Đặt t  x   dt dx Vậy Câu 48.25: f  x   dx  f  t  dt  f    f    2     4 2 f  x   dx f  t  dt  f    f   4  2 Cho hàm số f  x   dx  f  x   dx 6 y  f  x y  f  x có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số hình vẽ bên Trang 19 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Khi tổng f  x 1 dx  f  x 1 dx 2 B 10 A C D Lời giải Chọn A Đặt t 2 x   dt 2dx Ta có f  x 1 dx  f  t  2 3 f  1  f   3     dt  f  t  dx   2 2 3 2 Đặt t  x   dt dx Ta có f  x 1 dx f  t  dt  f  3  f  1 4  2 Vậy Câu 48.26: f  x 1 dx  f  x 1 dx 2 Cho hàm số f  x 2  4 f  x  x  1 3 x   có đạo hàm liên tục thỏa mãn , với x   Tích phân A  31 xf  x  dx 17 B 33 C 49 D Lời giải Chọn C Từ giả thiết ta có Suy Đặt f  x  x  1 3 x  I xf  x  dx  xf  x   nên suy f  1 2 5 f  x  dx 23  f  x  dx x t  3t   dx  3t   dt , f   5 Trang 20