(Luận văn) bài toán hàm ẩn và một số dạng tích phân liên quan trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN lu an n va to p ie gh tn BÀI TOÁN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG d oa nl w TOÁN SƠ CẤP nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Bình Định - 2021 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN lu an va n BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG tn to ie gh TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG p TOÁN SƠ CẤP d oa nl w Mã số: 8.46.01.13 nf va an lu Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp z at nh oi lm ul Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mục lục lu MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị an Hàm ẩn Đạo hàm hàm số ẩn n va 1.1 gh tn to 1.2 1.3 Cơ sở lý thuyết đồng biến nghịch biến, cực trị, giá trị p ie nl w lớn nhất, giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số Các kiến thức đồng biến nghịch biến hàm số Các kiến thức cực trị hàm số 1.3.3 nf va an lu 1.3.2 d oa 1.3.1 Các kiến thức giá trị lớn giá trị nhỏ lm ul hàm số z at nh oi 1.3.4 Sự tương giao đồ thị hàm số 11 12 z Khảo sát số vấn đề liên quan đến hàm ẩn 10 gm @ 2.1 Khảo sát tính đơn điệu hàm ẩn thơng qua số điều l m co kiện biết 12 an Lu n va ac th i si 2.1.1 Xác định khoảng đơn điệu hàm số y = f (u(x)) dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm y = f (x) với hàm u(x) biết 12 2.1.2 Xác định khoảng đơn điệu hàm y = f (u(x)) + g(x) dựa vào bảng biến thiên đồ thị y = f (x), với hàm u(x) biết 2.1.3 15 Sáng tác số toán hàm ẩn liên quan tính đơn lu điệu hàm số 18 an Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 21 n va 2.2 to gh tn 2.2.1 Xác định cực trị hàm số y = f (u(x)) biết đồ thị p ie bảng biến thiên hàm f (x), với u(x) hàm nl w biết 21 Xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) + v(x) biết d oa 2.2.2 lu nf va an đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f (x), với u(x) v(x) hàm biết 24 Sáng tác số toán cực trị hàm ẩn 26 z at nh oi 2.3 lm ul 2.2.3 Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn z thông qua số điều kiện biết 30 m co l gm @ an Lu n va ac th ii si 2.3.1 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) thông qua đồ thị, bảng biến thiên y = f (x) y = f (x) miền D, với u(x) biết 30 2.3.2 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) + v(x) khoảng K thông qua đồ thị hàm số y = f (x), với u(x) v(x) hàm biết 32 lu 2.3.3 Sáng tác số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ an n va hàm ẩn 34 gh tn to 2.4 Khảo sát tương giao đồ thị hàm ẩn 39 Dạng toán cho biết đồ thị bảng biến thiên p ie 2.4.1 trình f (u(x)) = a, với u(x) hàm biết 39 d oa nl w hàm số y = f (x), xét toán liên quan đến phương lu Dạng toán tương giao biện luận nghiệm phương trình nf va an 2.4.2 f (u(x)) = g(m) cho biết đồ thị bảng biến thiên lm ul f (x) với u(x) hàm biết z at nh oi 2.4.3 41 Biết đồ thị bảng biến thiên y = f (x), xét z toán liên quan đến phương trình có dạng f (u(x)) = f (m),với gm @ hàm u(x) biết 44 m co l an Lu n va ac th iii si 2.4.4 Dạng toán hàm ẩn liên quan đến phương trình có dạng f (|x|) = a; |f (x)| = a; f (|u(x)|) = a |f (u(x))| = a với hàm u(x) biết 49 2.4.5 Dạng toán liên quan đến đồ thị bảng biến thiên hàm y = f (x) Xét tốn liên quan đến phương trình f (u(x)) = g(x) với hàm u(x), g(x) biết 56 lu 2.4.6 Sáng tác toán tương giao hàm ẩn 60 an va n Tích phân hàm ẩn 69 ie gh tn to 3.1 p 3.2 Tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến 69 Tích phân hàm ẩn phương pháp phần 76 w Một số tốn tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức: oa nl 3.3 d f (x) + p(x) · f (x) = h(x) (phương trình vi phân tuyến an lu Sáng tác tốn tích phân hàm ẩn 85 z at nh oi Kết luận lm ul 3.4 nf va tính cấp 1) 83 89 z 90 m co l gm @ Tài liệu tham khảo an Lu n va ac th iv si MỞ ĐẦU Theo xu đổi giáo dục, trình dạy học để đạt kết cao đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh, để đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, lu an với đối tượng học sinh cần truyền thụ Mỗi người thầy, cô giáo luôn va học hỏi cập nhật sáng tạo phương pháp cách giải cho học sinh n tn to dễ tiếp cận để học sinh thích nghi với thay đổi kì thi thi tốt ie gh nghiệp trung học phổ thông quốc gia Không giúp học sinh p vượt qua nỗi lo âu, sợ hãi phải luyện tập câu mức độ vận dụng d oa quốc gia nl w cao giải tập đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông an lu Từ năm học 2016-2017 (kì thi THPT Quốc Gia 2017), mơn Tốn áp dụng nf va hình thức thi trắc nghiệm Qua kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, lm ul 2018, 2019 gần năm 2020 kiến thức toán THPT xây z at nh oi dựng phát triển theo nhiều hướng Đây thách thức lớn hội để giáo viên phải luôn học hỏi nâng cao kỹ giảng dạy thân Trong mảng kiến thức mà Bộ Giáo dục thường z @ xuyên trọng xoáy sâu “Khảo sát đồ thị hàm số liên quan đến hàm gm co l ẩn” “Tích phân liên quan đến hàm ẩn” Các toán liên quan đến chuyên đề “Hàm số tích phân phong phú đa dạng Chính phương m an Lu pháp để giải dạng toán liên quan đến đồ thị hàm ẩn tích phân hàm ẩn cần thiết giúp giáo viên có trình độ kiến thức giảng dạy học sinh n va ac th si để tiếp cận giúp cho học sinh vận dụng kiến thức tốt để xử lí câu mức độ vận dụng cao đề thi TN THPT Quốc Gia cho năm tới Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương I: Giới thiệu, nhắc lại số kiến thức chung hàm số sơ cấp chương trình phổ thơng Chương II: dành để trình bày phương pháp xử lý toán hàm ẩn liên quan đến tính chất đồ thị hàm số tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số Cụ thể chương phân mục tương ứng cho nội dung đặt lu an Chương III: dành để trình bày phương pháp xử lý tốn tích phân n va hàm ẩn Cụ thể chương phân mục đích tích phân biến đổi số tn to tích phân phần Và cuối chương II III có mục sáng tác riêng ie gh dạng tốn thường gặp kì thi TN THPT Quốc Gia p Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn nl w hướng dẫn TS Mai Thành Tấn, Phó Trưởng khoa Tốn Thống d oa Kê Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Mai an lu Thành Tấn – giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy nf va người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho z at nh oi lm ul nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp trường Đại học Quy Nhơn toàn thể z @ q thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người gm co l cho tơi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài m an Lu Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn ln quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa n va ac th si qua Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả luận văn lu an va n CHÂU ĐÌNH TÍN p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm ẩn lu an Cho phương trình F (x, y) = (1.0.1) va n Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp U ⊂ R2 Nếu với gh tn to giá trị x = x0 khoảng I đó, có hay nhiều giá trị y0 p ie cho F (x0 , y0 ) = 0, ta nói phương trình (1.0.1) xác định hay w nhiều hàm số ẩn y theo x khoảng I Vậy hàm số f : I → R hàm số d oa nl ẩn xác định (1.0.1) an lu ∀x ∈ I, (x, f (x)) ∈ U F (x, f (x)) = (1.0.2) nf va Tương tự vậy, phương trình F (x, y, z) = lm ul Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp mở U ⊂ R3 , có trình z at nh oi thê xác định hay nhiều hàm số ẩn x biến số x, y Hệ hai phương z   F (x, y, z, u, v) =  G(x, y, z, u, v) = gm @ l F : U → R, G : U → R hàm số xác định tập hợp m co U ⊂ R5 , xác định hay nhiều cặp hàm só ẩn u, v biến số an Lu x, y, z Ta có định lí sau tồn tại, tính liên tục tính khả vi hàm số ẩn n va ac th si g (−3) = f (−3) − g(3) = f (3) − Dựa vào đồ thị f ta thấy: R1 −3 f (x)dx > ⇒ f (1) − f (−3) > lu ⇒ f (−3) < an ⇒ g (−3) < va n Tương tự dựa vào đồ thị f ta thấy: R3 f (x)dx > ⇒ f (3) − f (1) > ⇒ f (3) > gh tn to p ie ⇒ g (3) > Sáng tác toán tương giao hàm ẩn d oa 2.4.6 nl w Vậy phương trình g(x) = có nghiệm [−3; 3] lu nf va an Từ ví dụ mẫu ta dựa sở thay đổi nhiều yếu tố tốn mà sáng tác vơ số tốn mức độ vận dụng cao cho học sinh Từ lm ul thay yếu tố bảng biến thiên sang bảng xét dấu đồ thị hàm f (x) z at nh oi hàm f (x) Thay đổi từ giải phương trình sang bất phương trình, thay đổi hàm u(x), hàm v(x) thay đổi tìm nghiệm sang biện luận m,v.v z Ví dụ ta thay hàm u(x) thành hàm số lượng giác hàm v(x) @ m co l gm hàm số lượng giác chứa m để đưa thành toán biện luận m an Lu n va ac th 60 si Ví dụ 2.4.16 Cho hàm số f (x) Hàm số y = f (x) có đồ thị hình sau lu an va n Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình p ie gh tn to sin3 x cos 2x 2f (sin x − 2) − + sin x > m +  π π nghiệm với x ∈ − ; 2 Lời giải d oa nl w sin3 x cos 2x Ta có 2f (sin x − 2) − + sin x > m +
− sin2 x sin3 x hay m < 2f (sin x − 2) − + sin x − 3 π π  Đặt t = sin x − (với x ∈ − ; thi t ∈ (−3; −1), bất phương 2 2(t + 2)3 [1 − 2(t + 2)2 ] trình viết lại thành: m < 2f (t)− +(t+2)− 65 3 (∗) hay m < 2f (t) − t − t + 3t + 12 65 Xét hàm số g(t) = 2f (t) − t3 − t2 + 3t + đoạn [−3; −1] 12 3 Ta có g (t) = 2f (t)−2t2 −3t+3 Do g (t) = f (t) = t2 + t− 2 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 61 si lu Dựa vào tương giao đồ thị hàm số y = f (t) parabol an 3 y = t2 + t − đoạn [−3; −1] g (t) = suy t ∈ {−3; −1} 2 Suy bảng biến thiên hàm số g(t) đoạn [−3; −1] sau: n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu  π π lm ul Bất phương trình cho nghiệm với x ∈ − ; chi z at nh oi 2 bất phương trình (*) nghiệm với t ∈ (−3; −1) Điều tương 19 đương với m ≤ g(−1) = 2f (−1) + dựa vào tính liên tục hàm số 12 g(t) z m co l gm @ an Lu n va ac th 62 si Ví dụ 2.4.17 Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên lu an Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình va n f (sin x) − m + = sin x có nghiệm thuộc khoảng (0; π) Hỏi tổng gh tn to phần tử S bằng? p ie Lời giải w Đặt t = sin x, với x ∈ (0; π) t ∈ (0; 1] oa nl Ta phương trình: f (t) − 2t = m − hay f (t) = 2t + m − 2(1) d Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f (t) an lu đường thẳng y = 2t + m − 2(r) nf va Gọi (p) : y = 2x + song song với đường thẳng (∆) : y = 2t qua điểm z at nh oi lm ul A(0; 1) Gọi q : y = 2x − song song với đường thẳng (∆) : y = 2t qua điểm B(1; −1) z m co l gm @ an Lu n va ac th 63 si Để phương trình f (sin x)−m+2 = sin x có nghiệm thuộc khoảng (0; π) lu phương trình (1) phải có nghiệm t ∈ (0; 1], suy đường thẳng r nằm an miền nằm hai đường thẳng q p (có thể trùng lên q bỏ p ) va n Khi −3 ≤ m − < suy −1 ≤ m < hay m ∈ {−1; 0; 1; 2} Vậy gh tn to S = {−1; 0; 1; 2} p ie Do tổng phẩn từ là: −1 + + + = w Việc thay đổi u(x) hàm xác định thường dễ suy luận hơn, bây oa nl ta cho u(x) phụ thuộc vào m tốn nâng mức độ tư d học sinh Bài toán sau ví dụ minh hoạ cho trường hợp an lu nf va Ví dụ 2.4.18 Cho hàm số f (x) = x3 + x + Có tất giá trị f lm ul nguyên tham số m để phương trình  p 3 f (x) + f (x) + m = −x − x + có nghiệm x ∈ [−1; 2]? z at nh oi Lời giải z Xét hàm số f (t) = t3 + t + 2, ta có f (t) = 3t2 + > 0, với t ∈ R @ an Lu Xét h(x) = f (x) + f (x) + x3 + m đoạn [−1; 2] m co l gm Do hàm số f đồng biến R p  3 f (x) + f (x) + m = f (−x) Ta có f p x = f (x) + f (x) + m hay f (x) + f (x) + x3 + m = Ta có h0 (x) = 3f (x) · f (x) + f (x) + 3x2 = f (x) [3f (x) + 1] + 3x2 n va ac th 64 si Ta có f (x) = 3x2 +1 > 0, với x ∈ [−1; 2] ta h0 (x) > 0, với x ∈ [−1; 2] Hàm số h(x) đồng biến [−1; 2] nên min[−1,2] h(x) = h(−1) = m − 1, max[−1:2] h(x) = h(2) = m + 1748 Phương trình (1) có nghiệm chi h(x) · max h(x) ≤ ⇔ h(−1) · h(2) ≤ [−7,2] [−1;2] ⇔ (m − 1)(1748 + m) ≤ ⇔ −1748 ≤ m ≤ Do m nguyên nên tập giá trị m thỏa mãn S = {−1748; −1747; ; 0; 1} lu Vậy có tất 1750 giá trị nguyên m thoả mãn an n va Để toán lạ ta biến đổi thành phương trình bậc hai theo tn to ẩn f (u(x)) phương trình bậc hai giải nghiệm để biện ie gh luận ví dụ sau p Ví dụ 2.4.19 Cho hàm số f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Hỏi số giá trị nguyên tham số m để phương trình f (cos x) + (m − 2019)f (cos x) + m − 2020 = có nghiệm phân n va ac th 65 si biệt thuộc đoạn [0; 2π] là? Lời giải Ta có f (cos x) + (m − 2019)f (cos x) + m − 2020 = f (cos x) = −1; f (cos x) = 2020 − m Với f (cos x) = −1, dựa vào đồ thị ta có f (cos x) = −1 suy cos x = 0; cos x = x1 (x1 > 1) (Vô nghiệm) Phương  trình π 3π π ; cos x = suy x = + kπ Vì x ∈ [0; 2π] nên x ∈ 2 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu Với f (cos x) = 2020 − m Đặt t = cos x (t ∈ [−1; 1]) lm ul Với t ∈ (−1; 1] phương trình t = cos x có hai nghiệm phân biệt thuộc z at nh oi [0; 2π] Với t = −1 phương trình t = cos x có nghiệm thuộc [0; 2π] Phương z trình trờ thành f (t) = 2020 − m @ gm Để phương trình f (cos x) + (m − 2019)f (cos x) + m − 2020 = có tất co l nghiệm phân biệt phương trình f (cos x) = 2020 − m có nghiệm m phân biệt, hay phương trình f (t) = 2020 − m có hai nghiệm t ∈ (−1; 1] an Lu n va ac th 66 si lu Dựa vào đồ thị ta có để phương trình f (t) = 2020 − m có hai nghiệm an n va t ∈ (−1; 1] −1 < 2020 − m ≤ ⇔ 2019 ≤ m < 2021 tn to Vì m nguyên nên m ∈ {2019; 2020} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn ie gh p Ví dụ 2.4.20 Cho hàm số f (x) = x2 − 4x + Hó giá trị nguyên nl w tham số m để phương trình f (|x|) − (m − 6)f (|x|) − m + = có d oa nghiệm thực phân biệt? an lu Lời giải nf va Hàm số f (x) = x2 − 4x + có bảng biến thiên z at nh oi lm ul z m co l gm @ Hàm số y = f (|x|) có bảng biến thiên an Lu n va ac th 67 si Đặt t = f (|x|), t ≥ −1 Nhận xét: Với t0 = −1; t0 > phương trình t = f (|x|) có nghiệm; Với t0 = phương trình t = f (|x|) có nghiệm; Với t0 ∈ (−1; 3) phương trình t = f (|x|) có nghiệm Phương trình f (|x|) − (m − 6)f (|x|) − m + = trở thành t2 − (m − 6)t − m + = t = −1; t = m − Yêu cầu toán suy −1 < m − < hay < m < mà m ∈ Z nên m ∈ {5; 6; 7} lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 68 si Chương Tích phân hàm ẩn Chương trình bày ba vấn đề chuyên đề tích phân liên quan lu an đến hàm ẩn Thứ tích phân hàm ẩn sử dụng phương pháp đổi biến n va số Thứ hai tích phân hàm ẩn liên quan đến phương pháp tích phân tn to phần thứ ba số tốn tích phân sử dụng phương pháp giải phương p ie gh trình vi phấn tuyến tính cấp Tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến oa nl w 3.1 Trong mục Luận Văn trình bày phương pháp giải dạng toán d lu nf va đổi biến an vận dụng cao thường gặp tích phân hàm ẩn liên quan đến phương pháp z at nh oi lm ul Rb Rb Dạng 1:[8] Cho a f (x)dx, tính a u0 (x).f (u(x)) dx Rb Rb Hoặc cho a u0 (x).f (u(x)) dx, tính a f (x)dx với u(x) biết Phương pháp: Ta đặt t = u(x) suy dt = u0 (x)dx z Đổi cận b gm @ x a b u(b) u (x)f (u(x)) dx = f (t)dt u(a) an Lu a m Z co Z l t u(a) u(b) n va ac th 69 si Vì giá trị tích khơng phụ thuộc vào biến nên Z u(b) Z u(b) f (t)dt = u(a) Ví dụ 3.1.1 Cho R4 f (x)dx u(a) f (x)dx = 16, tính R2 f (2x)dx Lời giải Đặt t = 2x ta dt = 2dx Đổi cận x t lu an 4 f (x)dx = 16 = 0 √ R f ( x) R2 Ví dụ 3.1.2 Cho f (x)dx = 2, tính √ dx x Z Z n va f (2x)dx = dt f (t) = 2 Z gh tn to p ie Lời giải √ x hay t2 = x suy 2tdt = dx Đổi cận: oa nl w Đặt t = d x lu an t √ Z Z Z f ( x) f (t) √ dx = 2tdt = f (t)dt = f (x)dx = x t 1 lm ul nf va Z z at nh oi Ví dụ 3.1.3 (Chuyên √ Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số f (x) liên tục R 16 f ( x) Rπ √ dx = 02 f (sinx)cosxdx = R thỏa mãn x R4 Tính I = f (x)dx z m co √ x Đặt t = x hay t2 = x suy 2tdt = dx l gm @ Lời giải √ R 16 f ( x) √ dx = Xét an Lu n va ac th 70 si Đổi cận: x 16 t 16 Z √ Z Z Z f (t) f ( x) √ dx = 2tdt = f (t)dt = f (x)dx = x t 1 R4 f (x)dx = Rπ Xét 02 f (sinx)cosxdx = Đặt t = sinx suy dt = cosxdx Đổi cận: π x lu an t va π n Z Z Z f (t)dt = to f (sinx)cosxdx = tn f (x)dx = ie gh Như p Z Z f (x)dx + f (x)dx = + = nl w f (x)dx = Z d oa Ví dụ 3.1.4 (SGD - Nam Định - 2018) Cho hàm số f (x) liên tục lu [1;4] thỏa√ mãn R4 f (2 x − 1) lnx √ + Tính I = f (x)dx x x nf va an f (x) = Z  f (x)dx = 1 R f (2 x − 1) dx m an Lu t co x l Đổi cận: gm x Đặt t = x − suy dt = · √ dx @ √ x z Xét √ √ √ √  Z Z f (2 x − 1) lnx f (2 x − 1) lnx √ √ dx = + dx+ dx x x x x 1 z at nh oi Z lm ul Lời giải n va ac th 71 si Z √ Z Z f (2 x − 1) √ dx = f (t)dt = f (x)dx x 1 R lnx ln x