(Luận văn) phương trình hàm và một số tính chất cực trị của hàm số học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI lu an n va PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ tn to MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ p ie gh CỦA HÀM SỐ HỌC d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LẠI THỊ THÚY HẢI lu PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ an va n MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ to p ie gh tn CỦA HÀM SỐ HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 8460113 d Mã số: nf va an lu lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z at nh oi GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2018 n va ac th si Mục lục Mở đầu Phương trình hàm hàm tổng ước lu Danh sách kí hiệu an n va Giới thiệu 1.2 Một số ký hiệu kiến thức chuẩn bị 10 1.3 Cấu trúc nghiệm 12 ie gh tn to 1.1 Nghiệm với ω(n) 13 1.5 Trường hợp n khơng có ước luỹ thừa bậc 17 1.6 Đếm phần tử K ∩ [1, x] 20 1.7 Kết luận Chương 24 1.4 p d oa nl w lu 26 nf va an Bậc cực trị số hàm số học Giới thiệu 26 2.2 Chuỗi Dirichlet Vk (n) 28 2.3 Bậc cực trị liên quan đến hàm số học suy rộng cổ điển 30 2.4 Bậc cực trị liên quan đến tương tự đơn σk φk 31 2.5 Bậc cực trị liên quan đến hợp hàm số học 33 2.6 Các toán mở 38 2.7 Kết luận Chương 39 z at nh oi lm ul 2.1 z l gm @ Kết luận 40 m co Tài liệu tham khảo 41 an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Trước hết, tác giả muốn tỏ lòng biết ơn đến người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khối (Trường Đại học Thăng Long), người đặt tốn đề tài, tận tình hướng dẫn để luận văn hoàn lu an thành tốt đẹp va n Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học gh tn to Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 10 (2016-2018) p ie Xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám oa nl w hiệu đồng nghiệp Trường THPT Phạm Ngũ Lão, Thủy Nguyên, Hải Phòng, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu d lu an Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia nf va sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh sách kí hiệu lu an n va lực lượng tập hợp X dxe trần số x bxc sàn số x a|b b bội a a6| b a ước b σ(n) tổng ước n p ie gh tn to #X lũy thừa cao p chia hết n oa nl w vp (n) d  hàm Euler, φ(n) = n an lu φ(n) 1− p|n p   nf va ζ(s) Q hàm zeta (ζ) Riemann, ζ(s) = Q 1− lm ul p ps −1 , s = σ + it ∈ C σ > z at nh oi giới hạn lim inf giới hạn z lim sup m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Có thể nói, Lý thuyết số ngành khoa học sớm nhân loại Trước năm 70 kỷ XX, Lý thuyết số coi ngành túy lý thuyết, Lý thuyết số trở thành lu an lĩnh vực có nhiều ứng dụng sơi động Tốn học va n Trong Lý thuyết số, hàm số học hàm số xác định tập gh tn to hợp số tự nhiên có tập giá trị tập tập hợp số phức Các điều kiện đặt lên hàm số học phụ thuộc vào mục ie p đích nghiên cứu Như Hardy & Wright yêu cầu, hàm số học phải oa nl w “thể số tính số học n” Luận văn có mục đích nghiên cứu mối quan hệ hàm số học d an lu tổng ước số nguyên cho trước, sau bậc cực trị nf va số lớp hàm số học quan trọng lm ul Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận z at nh oi văn trình bày hai chương: • Chương Phương trình hàm hàm tổng ước Nội dung z chương nghiên cứu nghiệm nguyên dương σ(n) = γ(n)2 , @ co l nguyên tố phân biệt n gm σ(n) γ(n) tương ứng tổng ước tích ước m • Chương Bậc cực trị số hàm số học Chương dành để trình an Lu bày để chuỗi Dirichlet V (n) (số số quy modulo n) n va xác định bậc cực trị số hàm số học cổ điển, hàm tổng ac th si ước đơn n (ước d n gọi đơn n n/d nguyên tố nhau) liên hệ với hàm φ-Euler Thái Nguyên, ngày 22 tháng năm 2018 Tác giả lu Lại Thị Thúy Hải an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Phương trình hàm hàm tổng ước lu an n va Chương dành để nghiên cứu số nguyên n > thỏa mãn quan hệ tn to σ(n) = γ(n)2 , σ(n) γ(n) tương ứng tổng ước tích ước nguyên tố phân biệt n Ta chứng minh nghiệm có khơng q gh p ie bốn ước ngun tố phân biệt n = 1782 Ta không tồn nghiệm ước lũy thừa bậc 4, số nghiệm nhỏ oa nl w x không vượt x1/4+ với  > với x > x Thêm nữa, số n gọi nguyên thủy khơng có ước đơn thực d n thỏa mãn d an lu σ(d) | γ(d)2 Ta số nghiệm nguyên thủy phương trình khơng nf va vượt q x nhỏ x với x > x 1.1 Giới thiệu z at nh oi lm ul Nội dung chương viết dựa vào tài liệu Broughan A.K et al [3] z Tại hội nghị khoa học “Western Number Theory Conference” năm 2000, De @ gm Koninck J.-M (tác giả thứ hai cơng trình Broughan A.K et al [3]) đưa (1.1) an Lu m σ(n) = γ(n)2 co l câu hỏi tìm nghiệm nguyên dương n phương trình Hội nghị Lý thuyết số Bờ Tây, https://westcoastnumbertheory.org/ n va ac th si (gọi “phương trình De Koninck”), σ(n) tổng tất ước dương n, γ(n) tích tất ước nguyên tố phân biệt n, gọi “cốt lõi” (core) n Dễ thấy, n = n = 1782 nghiệm, nhưng, tình đến năm 2012 - năm xuất cơng trình Broughan A.K et al [3] - người ta khơng biết thêm nghiệm Một tìm kiếm máy tính với n 1011 khơng cho thấy nghiệm khác Một giả thuyết tự nhiên (được gọi “Giả thuyết De Koninck”) phương trình khơng có nghiệm khác Nó trình bày Guy R.K (2004) Có kết chứng minh nghiệm không tầm lu an thường n phải có ba ước ngun tố, chẵn, khơng thể số hồn tồn n va khơng phương (tạm dịch thuật ngữ squarefree - số khơng có ước tn to phương khác 1) Luca F (2004) số nghiệm mà số ước nguyên gh tố số cố định cho trước hữu hạn Thật Luca F chứng điều p ie cho lớp rộng nghiệm dương n phương trình σ(n) = aγ(n)K w K > a L với K L tham số cố định Tuy nhiên, oa nl có tiến nghiên cứu Giả thuyết De Koninck d Ở đây, luận văn trình bày kết nói nghiệm n = 1, 1782 an lu số có ω(n) 4, thường lệ, ω(n) số ước nguyên nf va tố phân biệt n Phương pháp chứng minh dựa vào chặn sơ cấp lm ul số mũ số nguyên tố xuất phân tích ẩn ước nguyên tố n z at nh oi n, sử dụng kết thức để giải hệ phương trình đa thức thu được, mà z Ta chứng minh số ngun n khơng có ước luỹ thữa bậc @ gm (fourth power free) (tức p4 - n với số nguyên tố p), n khơng thể l thỏa mãn phương trình De Koninck (1.1) Sau đếm số nghiệm m co tiềm n không vượt x Pollack & Pomerance [4], gọi số nguyên an Lu dương n nguyên tố–hoàn hảo (prime–perfect) n σ(n) chung tập hợp ước nguyên tố Rõ ràng, nghiệm n phương trình De n va ac th si 10 Koninck số nguyên tố–hoàn hảo Pollack & Pomerance chứng minh tập hợp số nguyên tố–hoàn hảo vô hạn, hàm đếm số nguyên tố–hồn hảo n x có lực lượng nhiều x1/3+o(1) x → ∞ Sử dụng kết Pollack & Pomerance, ta chứng minh số nghiệm n x phương trình De Koninck nhiều x1/4+ với  > x > x Bằng cách hạn chế đến nghiệm “nguyên thủy” (“primitive” solutions) sử dụng phương pháp Wirsing E., ta nhận chặn O(x ) với  > Khái niệm “nguyên thủy” sử dụng để số lu an khơng có ước đơn thực d | n thỏa mãn σ(d) | γ(d)2 va n Cuối ta có số nhận xét toán liên quan xác định số gh tn to số nguyên n cho γ(n)2 | σ(n) Tóm lại, mục đích chương trình bày số kiện ủng hộ cho p ie Giả thuyết De Konnick, cấu trúc cần thiết cho phản ví dụ, oa nl w có Mọi nghiệm không tầm thường khác với 1782 phải chẵn, có ước d an lu nguyên tố lũy thừa có ước nguyên tố với số mũ đồng nf va dư với mod 4, với ước nguyên tố lẻ khác có lũy thừa chẵn Ít lm ul ước nguyên tố phải xuất với số mũ cao Cuối cùng, phản ví dụ, có, phải lớn 1011 z at nh oi 1.2 Một số ký hiệu kiến thức chuẩn bị z gm @ Giả sử n = pα1 · · · pαr r > số nguyên dương giả sử k > số • p1 , p2 , — dãy số nguyên tố; an Lu • σ(n) hàm tổng ước; m co l nguyên Trong suốt chương sử dụng ký hiệu sau: n va ac th si 27 V (n) := # Regn (2.2) Hàm V nhân tính V (pα ) = φ(pα ) + = pα − pα−1 + 1, φ hàm Euler Hệ là, V (n) = X φ(d), với n > dkn Cũng φ(n) < V (n) n, với n > 1, V (n) = n n số hồn tồn khơng phương Như vậy, hàm V (n) tương tự hàm Euler2 φ(n) lu an Apostol & Tóth xét tổng quát hóa nhiều chiều hàm V (n), va n Vk (n), k > số nguyên cố định Hàm Vk (n) nhân tính tn to Vk (pα ) = φk (pα ) + = pαk − p(α−1)k + 1, φk hàm Jordan bậc ie gh k Hệ là, p Vk (n) = X φk (d) với n > dkn w oa nl Cũng φk (n) < Vk (n) nk , với n > Vk (n) = nk d n hồn tồn khơng phương lu nf va an Tóth L (2008) chứng minh kết liên quan đến bậc cực tiểu bậc cực đại hàm V (n) V (n)/φ(n) Alkam O., Osba E (2008) lm ul khảo sát bậc cực tiểu V (n) Sándor J., Tóth L (2008) Apostol [2] z at nh oi nghiên cứu bậc cực trị hợp hàm số học Giả sử f (n) hàm số học nhân tính, nhận giá trị thực khơng âm z Giả sử f (n) log log n an Lu α>0 m ρ(p) = ρ(p, f ) := sup f (pα ) co l gm n→∞ @ L = L(f ) := lim sup Hàm φ(n) dãy A000010 hàm V (n) dãy A055653 Bách khoa toàn thư trực n va tuyến dãy số nguyên, xem Sloane N.J.A [5] ac th si 28 số nguyên tố p, xét tích R = R(f ) := Y p  1− ρ(p) p Để chứng minh tính chất cần thiết chương này, ta áp dụng kết sau Bổ đề 2.1.1 (Tóth & Wirsing [7, Corollary 1]) Nếu f hàm số học nhân tính nhận giá trị thực cho với số nguyên tố p, lu  −1 (1) ρ(p) = sup(f (pα )) − p1 , an α>0 va n (2) tồn số mũ ep = po(1) ∈ N thỏa mãn f (pep ) > + p1 , tn to gh p ie  Y f (n) γ lim sup =e 1− ρ(p) p n→∞ log log n p w oa nl Ta dùng thuật ngữ “giới hạn không thực sự” (improper limit) cho dãy d tiến đến ±∞ Giới hạn dãy hội tụ nhắc đến sau bao lu nf va an gồm giới hạn không thực Bổ đề 2.1.2 (Tóth & Wirsing [7, Theorem 1]) Giả sử ρ(p) < ∞ với lm ul số nguyên tố p tích R hội tụ vơ điều kiện (tức là, không phụ thuộc thứ tự z at nh oi nhân tử) Khi L eγ R Bổ đề 2.1.3 (Tóth & Wirsing [7, Theorem 3]) Giả sử ρ(p) < ∞ với z số nguyên tố p, với số nguyên tố p tồn số mũ ep = po(1) ∈ N Q cho f (pep )ρ(p)−1 > tích R hội tụ Khi L > eγ R Chuỗi Dirichlet Vk (n) an Lu Bây ta nghiên cứu chuỗi Dirichlet Vk (n) m 2.2 co l gm @ p n va ac th si 29 Apostol & Petrescu khảo cứu chuỗi Dirichlet V1 (n) := V (n) Chúng tơi trình bày chuỗi Dirichlet Vk (n) với k > số kt qu cho hm Măobius Mnh 2.2.1 Vi mi s = σ + it ∈ C với σ > k + 1,  X Vk (n) Y p2s−k + ps − ps−k = ζ(s − k)ζ(s) 1− 3s−k ns p p n>1 Chứng minh Giả sử f (n) = X Vk (n) ns Ta có lu |f (n)| an n>1 va n chuỗi P < ∞, nσ−k n>1 hội tụ tuyệt σ > k + Do Vk nhân tính, ta có X Vk (n) ie gh tn to n>1 Vk (n) ns X p ns = p  Y Y p2s−k + ps − ps−k 1− · · 3s−k p − ps−k − s p p p w n>1 Y d oa nl Ta có điều cần chứng minh n>1 nf va an lu Hệ 2.2.2 Giả sử s = σ + it ∈ C, σ > k + Khi  X µ(n)Vk (n) Y 1 = − s−k = s n p ζ(s − k) p X |µ(n)|Vk (n) n>1 ns = z at nh oi lm ul Cũng vậy, Y 1+ p  = ps−k ζ(s − k) ζ(2s − 2k) z Y 1− p ps−k  = ζ(s − k) |µ(n)|Vk (n) ns an Lu Đối với khẳng định thứ hai, lấy f (n) = m ns |f (n)| hội tụ tuyệt đối, n>1 co n>1 = P l X µ(n)Vk (n) chuỗi gm µ(n)Vk (n) ns @ Chứng minh Với f (n) = n va ac th si 30 2.3 Bậc cực trị liên quan đến hàm số học suy rộng cổ điển Đối với thương σk (n) Vk (n) , ta ý lim p→∞ p∈P σk (n) Vk (n) > với n > Do σk (p) pk + = p→∞ lim = 1, k Vk (p) p p∈P ta nhận lim inf n→∞ lu an bậc cực tiểu σk (n) Vk (n) σk (n) = 1; Vk (n) Bây xét thương va n ψk (n) >1 Vk (n) ψk (n) Vk (n) Do với n > tn to gh p ie ψk (p) pk + = Vk (p) pk nl w ta có với số nguyên tố p oa lim inf n→∞ d lu ψk (n) Vk (n) Ta biết nf va an Bậc cực tiểu ψk (n) = Vk (n) σ(n) = e2γ V (n)(log log n)2 n→∞ lim sup n→∞ z at nh oi lm ul lim sup ψ(n) 2γ = e ; V (n)(log log n)2 π2 z σk (n) Vk (n) ψk (n) Vk (n) m co l Mệnh đề 2.3.1 Với k > 2, gm 2γ π e (log log n) @ xem [2] Mệnh đề 2.3.1 chứng minh bậc cực đại n→∞ σk (n) ψk (n) = lim sup = e2γ 2 Vk (n)(log log n) π n→∞ Vk (n)(log log n) an Lu lim sup n va ac th si 31 Chứng minh Lấy f (n) = s α f (p ) = q σk (n) Vk (n) Khi p(α+1)k − (pk − 1)(pαk − p(α−1)k + 1) s f (p2 ) = r p+1 = ρ(p) < p−1  −1 1− p p3k − >1+ k 2k k (p − 1)(p − p + 1) p với số nguyên tố p, (ii) Bổ đề 2.1.1 thỏa mãn Ta nhận p σk (n) lu lim sup p = n→∞ Vk (n) log log n Y r an p 1 − eγ = p r γ e , π2 n va to lim sup tn n→∞ σk (n) = e2γ Vk (n)(log log n) π ie gh Do ψk (n) σk (n) với số nguyên tố p ta có ψk (p) = σk (p) = pk + 1, p kết ψk (n) Vk (n)(log log n)2 có từ phía trước w Bậc cực trị liên quan đến tương tự đơn σk φk d oa nl 2.4 an lu nf va Xét hàm σk∗ (n) φ∗k (n), tương ứng biểu diễn tổng quát hóa hàm số nguyên cố định Ta có σk∗ (n) = X dkn dk z at nh oi lm ul tổng ước đơn n tương tự đơn hàm Euler Giả sử k > σk∗ (pα ) = pαk + z X X n dk µ∗ ( ), d dkn an Lu n va gcd(a, b)∗ = max{d : d|a, d k b} m φ∗k (pα ) = pαk − Chú ý co gcd(a1 , ,ak )∈{1,2, ,n}k gcd(gcd(a1 ,a2 , ,ak ),n)∗ =1 1= l φ∗k (n) := gm @ Cũng vậy, ac th si 32 µ∗ (n) l s tng t n ca hm Măobius, c cho µ∗ (n) = (−1)ω(n) , ω(n) số ước nguyên tố phân biệt n Các hàm σk∗ (n) φ∗k (n) nhân tính Giả sử n = pα1 · · · pαr r ước nguyên tố n > Ta nhận φ∗k (n) = (pα1 k − 1) · · · (pαr r k − 1) σk∗ (n) = (p1α1 k + 1) · · · (pαr r k + 1) Nhận thấy σk∗ (n) = σk (n) φ∗k (n) = φk (n) với số khơng phương n Thêm nữa, với n > 1, lu φk (n) φ∗k (n) nk σk∗ (n) σk (n) an va n Chúng ta xét bậc cực trị thương Vk (n) nghiên cứu số nguyên luỹ gh tn to φ∗k (n) n > φ∗k (n) Vk (n) , bậc ∗ thừa Do Vσkk (n) (n) σk∗ (n) Vk (n) cực tiểu > với ie σk∗ (p) pk + = lim =1 p→∞ Vk (p) p→∞ pk p lim w σk∗ (n) n→∞ Vk (n) oa nl với số nguyên tố p, suy lim inf = d Nếu số nguyên n số luỹ thừa, dễ thấy lu φ∗k (n) Vk (n) > 1, ý là, φ∗k (pα ) Vk (pα ) > với nf va an α > Với số nguyên tố p, để ý ta suy z at nh oi lm ul φ∗k (p2 ) p2k − lim = lim 2k = 1, p→∞ Vk (p2 ) p→∞ p − pk + φ∗k (n) lim inf = 1, n→∞ Vk (n) Đối với bậc cực đại thương ta có m co l Mệnh đề 2.4.1 For k > 1, gm @ φ∗k (n) Vk (n) z bậc cự tiểu n→∞ φ∗k (n) σk∗ (n) = lim sup = eγ Vk (n) log log n V (n) log log n n→∞ k an Lu lim sup n va ac th si 33 Chứng minh Lấy f (n) = σk∗ (n) Vk (n) Bổ đề 2.1.2, mà hàm số học nhân tính nhận giá trị thực khơng âm Ta có pαk + f (p ) = αk p − p(α−1)k + α  1− p −1 = ρ(p) < ∞ R = 1, lim sup n→∞ φ∗k (n) Bây giả sử g(n) = Vk (n) σk∗ (n) eγ Vk (n) log log n Ở lu pαk − g(pα ) = αk p − p(α−1)k +  1− p −1 = ρ(p), an va n R= Y g(p1 )(ρ(p))−1 = to tn p Y p−1 > (pk + 1) · p p ie gh Do đó, Bổ đề 2.1.3 ta có p φ∗k (n) > eγ lim sup n→∞ Vk (n) log log n nl w d oa Rõ ràng φ∗k (n) σk∗ (n) với n > Ta nhận φ∗k (n) σk∗ (n) lim sup eγ , Vk (n) log log n V (n) log log n n→∞ k an lu eγ lim sup n→∞ nf va điều chứng tỏ lm ul Chứng minh kết thúc z at nh oi σk∗ (n) φ∗k (n) lim sup = lim sup = eγ n→∞ Vk (n) log log n n→∞ Vk (n) log log n φ∗k (n) Vk (n) eγ log log n gm @ Bậc cực trị liên quan đến hợp hàm số học m co l 2.5 σk∗ (n) Vk (n) z Hệ 2.4.2 Bậc cực đại an Lu Bây chuyển sang nghiên cứu bậc cực trị số hàm số n va học hợp Ta bắt đầu với Vk (Vk (n)) φk (Vk (n)) ac th si 34 Ta biết Vk (n) nk với n > 1, Vk (Vk (n)) (Vk (n))k (nk )k 6 =1 nk2 nk2 nk2 Vk (Vk (p)) Vk (pk ) pk − p(k−1)k + lim = lim = lim = 1, k2 k2 p→∞ p→∞ pk2 p→∞ p p p∈P p∈P p∈P (trong P tập hợp số nguyên tố, viết p ∈ P nghĩa p số nguyên tố), bậc cực đại Vk (Vk (n)) nk Do φk (n) nk Vk (n) nk với n > 1, ta có φk (Vk (n)) nk (Vk (n))k nk Nhưng lu an φk (Vk (p)) pk − p(k−1)k lim = lim = 1, k2 k2 p→∞ p→∞ p p p∈P n va gh tn to bậc cực đại φk (Vk (n)) nk Bậc cực đại V (φ(n)) khảo sát B Apostol [2] Sử dụng ie p ý tưởng tổng quát phép chứng minh đó, ta chứng minh khẳng oa nl w định sau d Mệnh đề 2.5.1 Bậc cực đại Vk (φk (n)) nk an lu nf va Chứng minh Ta sử dụng Định lí Linnik, phát biểu gcd(t, `) = 1, tồn số nguyên tố p cho p ≡ ` (mod t) p  tc , c lm ul số (có thể lấy c 11) z at nh oi Giả sử A= Y z @ k (log x) i=1 r P bi i=1 bi > r, log B > k log x, suy r < ie i=1 log B log x  x log x p (bởi (2.5)) Do d oa nl w  Y   r  O( logx x ) r  r  Vk (B) Y 1 1− , > 1− > 1− k > > 1− Bk q x x q i i i=1 i=1   Vk (B) >1+O Bk log x (2.6) nf va an lu Ta nhận (AB)k (AB+1)k lm ul Bởi (2.3), (2.4), (2.6) → x → ∞, ta nhận z at nh oi   Vk (φk (q)) >1+O log x q k2 Vk (φk (n)) nk (φk (n))k nk2 Chứng minh hoàn thành z Bởi quan hệ (2.7), (2.7) gm @ Bậc cực đại V (φ∗ (n)) n (xem Apostol B [2]) Đối với bậc cực đại l m co Vk (φ∗ (n)) ta có n→∞ Vk (φ∗ (n)) = nk n va lim sup an Lu Mệnh đề 2.5.2 Ta có ac th si 36 Phép chứng minh Mệnh đề dựa vào kết sau đây, mà ta khơng dừng lại để chứng minh Bổ đề 2.5.3 Nếu a số nguyên, a > 1, p số nguyên tố f (n) hàm số học thỏa mãn φ(n) f (n) σ(n), ta có f (N (a, p)) = 1, p→∞ N (a, p) lim N (a, p) = ap −1 a−1 (2.8) (xem, chẳng hạn, Suryanarayana [6]) Chứng minh Mệnh đề 2.5.2 Do φ∗ (n) n, ta có Vk (φ∗ (n)) (φ∗ (n))k nk , lu an n va p k Vk (φ∗ (n)) n (2.9) p ie gh tn to p Rõ ràng, k Vk (n) đáp ứng điều kiện Bổ đề 2.5.3 Ta có p p p k k k Vk (φ∗ (2p )) Vk (2p − 1) Vk (N (2, p)) = p→∞ lim = p→∞ lim = (2.10) lim p p p→∞ 2 − N (2, p) p∈P p∈P p∈P nl w Bây (2.9) (2.10) suy oa p k d lim sup an lu n→∞ Vk (φ∗ (n)) = 1, n ta kết thúc phép chứng minh Mệnh đề 2.5.2 nf va lm ul Apostol [2] chứng minh z at nh oi σ(φ∗ (n)) σ(φ∗ (n)) lim sup = lim sup = e2γ ∗ ∗ ∗ n→∞ V (φ (n))(log log n) n→∞ V (φ (n))(log log φ (n)) z ψk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) cho sau m co σk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) l Các bậc cực đại gm n→∞ ψ(φ∗ (n)) ψ(φ∗ (n)) lim sup = e2γ ∗ ∗ ∗ V (φ (n))(log log n) n→∞ V (φ (n))(log log φ (n)) π @ lim sup ∗ ∗ an Lu Mệnh đề 2.5.4 Với k > ta có n→∞ n→∞ 2γ π2 e , n va σk (φ (n)) k (φ (n)) (1) lim sup Vk (φ∗σ(n))(log log n)2 = lim sup Vk (φ∗ (n))(log log φ∗ (n))2 = ac th si 37 ∗ ∗ ψk (φ (n)) k (φ (n)) (2) lim sup Vk (φ∗ψ(n))(log log n)2 = lim sup Vk (φ∗ (n))(log log φ∗ (n))2 = n→∞ n→∞ 2γ π2 e Chứng minh (1) Giả sử σk (φ∗ (n)) σk (φ∗ (n)) l2 := lim sup l1 := lim sup ∗ ∗ ∗ n→∞ Vk (φ (n))(log log φ (n)) n→∞ Vk (φ (n))(log log n) Do φ∗ (n) n với n > 1, ta có l1 lu an σk (φ∗ (n)) = lim sup ∗ n→∞ Vk (φ (n))(log log n) σk (φ∗ (n)) l2 = lim sup ∗ ∗ n→∞ Vk (φ (n))(log log φ (n)) σk (m) 6 lim sup = e2γ , π m→∞ Vk (m)(log log m) va n Mệnh đề 2.3.1 Do gcd(n, 1) = 1, Định lí Linnik, tồn số nguyên gh tn to tố p cho p ≡ (mod n) p  nc Giả sử pn số nguyên tố nhỏ p ie cho pn ≡ (mod n), với n Khi n | pn − pn  nc , w log log pn ∼ log log n σk (pα ) Vk (pα ) σk (b) Vk (b) Nếu pβ | pα (β α), dễ thấy d σk (a) Vk (a) oa σk (pβ ) Vk (pβ ) nl Nhận thấy a | b, suy lu σk (n) Vk (n) nhân tính Do nf va an Trường hợp tổng quát suy ra, với ý đó, lm ul Mặt khác, z at nh oi σk (φ∗ (pn )) σk (pn − 1) σk (pn − 1) = ∼ ∗ 2 Vk (φ (pn ))(log log pn ) Vk (pn − 1)(log log pn ) Vk (pn − 1)(log log n)2 z σk (n) σk (pn − 1) > Vk (pn − 1)(log log n)2 Vk (n)(log log n)2 @ gm Do đó, m co n→∞ σk (φ∗ (n)) σk (φ∗ (pn )) > lim sup ∗ Vk (φ∗ (n))(log log n)2 n→∞ Vk (φ (pn ))(log log pn ) σk (n) > lim sup n→∞ Vk (n)(log log n) = e2γ π l lim sup an Lu n va ac th si 38 Ta nhận 2γ e l1 l2 e2γ , π π l1 = l2 = 2γ π2 e (2) Chứng minh tương tự chứng minh (1), với ý a | b suy ψk (b) ψk (a) Vk (a) Vk (b) lim sup n→∞ ψk (n) 2γ = e , Vk (n)(log log n)2 π2 Mệnh đề 2.3.1 Do vậy, bậc cực đại lu σk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) ψk (φ∗ (n)) Vk (φ∗ (n)) 2γ π e (log log n) an Một cách tương tự, va n σk∗ (n) φ∗k (n) = lim sup = eγ lim sup n→∞ Vk (n) log log n n→∞ Vk (n) log log n tn to ie gh (sử dụng Mệnh đề 2.4.1), kiện a | b kéo theo p σk∗ (a) σ ∗ (b) k Vk (a) Vk (b) φ∗k (a) φ∗ (b) k , Vk (a) Vk (b) nl w d oa tương ứng, chứng minh nf va an n→∞ σk∗ (φ∗ (n)) σk∗ (φ∗ (n)) = lim sup = eγ ∗ ∗ ∗ Vk (φ (n)) log log n n→∞ Vk (φ (n)) log log φ (n) lu lim sup lm ul 2.6 z at nh oi φ∗k (φ∗ (n)) φ∗k (φ∗ (n)) = lim sup = eγ lim sup ∗ ∗ ∗ n→∞ Vk (φ (n)) log log φ (n) n→∞ Vk (φ (n)) log log n Các toán mở z gm @ Bài toán mở Chú ý m co l Vk (φ(n)) Vk (φ∗ (n)) φ∗k (V (n)) lim inf = lim inf = lim inf = n→∞ n→∞ n→∞ nk nk nk an Lu Với nk = p1 · · · pr (tích r số ngun tố đầu tiên), ta có n va Vk (φ(nr )) Vk ((p1 − 1) · · · (pr − 1)) (p1 − 1)k · · · (pr − 1)k = nkr pk1 · · · pkr pk1 · · · pkr ac th si 39  k 1 = (1 − ) · · · (1 − ) , p1 pr  k 1 Vk (φ(nr )) = lim (1 − ) · · · (1 − ) = 0, lim r→∞ r→∞ nkr p1 pr quan hệ khác tương tự Bậc cực đại Vk (φ(n)), Vk (φ∗ (n)), φ∗k (V (n)) bao nhiêu? Bài toán mở Lấy nr = p1 · · · pr (tích r số nguyên tố đầu tiên), lu σk∗ (p1 · · · pr ) σk∗ (V (nr )) = nkr pk1 · · · pkr (pk1 + 1) · · · (pkr + 1) = pk1 · · · pkr  k 1 = (1 + ) · · · (1 + ) → ∞ p1 pr an n va gh tn to r → ∞, ie p σk∗ (V (n)) lim sup = ∞ nk n→∞ w d oa nl Bậc cực đại σk∗ (V (n)) bao nhiêu? Kết luận Chương nf va an lu 2.7 Chương nghiên cứu bậc cực trị số hàm số học Tổng kết lại, lm ul ta liệt kê vấn đề xét chương này: z at nh oi • Nghiên cứu chuỗi Dirichlet Vk (n) - tổng quát hóa nhiều chiều hàm số học V (n) (số số nguyên dương quy (mod n) nhỏ z Euler; l gm @ n) xác định bậc cực trị số hàm tương tự φ-hàm m co • Xác lập bậc cực trị hàm số học tổng quát hóa tổng an Lu ước đơn n hàm đơn tương ứng với hàm φ-Euler; n va • Nghiên cứu bậc cực trị số hàm hợp hàm số học cụ thể ac th si 40 Kết luận Những kết đạt Luận văn “Phương trình hàm số tính chất cực trị hàm số học” lu an đạt kết sau: va n Trình bày phương trình hàm số học σ(n) = γ(n)2 tính chất to gh tn nghiệm với ước nguyên tố p ie Số nghiệm phương trình hàm số học σ(n) = γ(n)2 không vượt nl w x > x1/4+ , với  > với x > x oa Số nghiệm ngun thủy phương trình khơng vượt q x nhỏ d x , với x > x an lu nf va Chuỗi Dirichlet bậc cực trị hàm số học cổ điển, hàm số học tương tự đơn σk φk , bậc cực trị số hàm hợp z at nh oi lm ul hàm số học Đề xuất số hướng nghiên cứu z gm @ Sau kết đạt luận văn, cố gắng tiếp tục nghiên cứu chủ đề khác có liên quan, chẳng hạn như: co l • Nghiên cứu chi tiết bậc cực trị hàm số học hợp m an Lu • Nghiên cứu bậc trung bình (average order), bậc chuẩn tắc (normal order) n va hàm số học ứng dụng chúng ac th si 41 Tài liệu tham khảo [1] Apostol B., Petrescu L (2013), “Extremal orders of certain functions associated with regular integers (mod n)”, Journal of Integer Sequences 16 Article 13.7.5 lu an va [2] Apostol B (2013), “Extremal orders of some functions connected to regu- n lar integers modulo n”, Analele Universitatii “Ovidius” Constanta - Seria to ie gh tn Matematica 21, pp 5-19 p [3] Broughan K.A., De Koninck J-M., Kátai I., and Luca F (2012) “On integers for which the sum of divisors is the square of the squarefree w d oa nl core”, Journal of Integer Sequences 15 Article 12.7.5 an lu [4] Pollack P., Pomerance C (2012), “Prime-perfect numbers”, Integers (Sel- nf va fridge memorial issue) 12A Article A14 z at nh oi oeis.org lm ul [5] Sloane N.J.A., The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http:// [6] Suryanarayana D (1977), “On a class of sequences of integers”, The z American Mathematical Monthly 84, pp 728-730 @ l gm [7] Tóth L., Wirsing E (2003), “The maximal order of a class of multiplicative arithmetical functions”, Annales Universitatis Scientiarium Bu- co m dapestinensis de Rolando Eăotvă os Nominatae, Sectio Computatorica 22, an Lu pp 353-364 n va ac th si