Dạng toán 38 tích phân cơ bản (a) kết hợp (b)

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TỐN 38: TÍCH PHÂN CƠ BẢN (A), KẾT HỢP (B) KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính chất tích phân xác định (phần kiến thức BÀI TẬP MẪU BÀI TẬP PHÁT TRIỂN)  f  x  dx    f  x  f '  x  dx  f  x   C ; d  f  x  dx   f  x  dx Nếu F(x) có đạo hàm thì: kf  x  dx k f  x  dx d  F ( x )  F ( x )  C với k số khác  f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx Công thức đổi biến số: Cho y  f  u  u  g  x  Nếu b f ( x)dx F ( x)  C c f  g ( x )  g '( x )dx f (u)du  F (u )  C b  f  x  dx f  x  dx  f  x  dx với a  c  b a a b c b  k f  x  dx kf  x  dx  k 0  a a b a  f  x  dx  f  x  dx a b b  f  x  dx F  x  a b a b  b b a b a b f  x  dx f  t  dt= f  z  dz a a b  b  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx a  F  b   F  a  f  x  dx  f  x  a a b a  f  b  f  a BÀI TẬP MẪU Cho hàm số f  x  có f  3 3 f  x   x x 1  x 1 , x  Khi f  x  dx Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA A B 197 C 29 D 181 Phân tích hướng dẫn giải b DẠNG TỐN: Đây dạng tốn cho trước f  x0  , f  x  Tính f  x  dx a HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào f  x  suy f  x  f  x dx B2: Từ f  x  ta tìm hệ số C f  x  b B3: Tính f  x  dx a Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B Ta có: f  x  f  x  dx  x 1  x x 1 dx  x x 1 dx  x   dx     dx  x    x 1 x 1    d  x  1 dx   x  x 1  C x 1 Ta có f  3 3  C  suy f  x  x  x   Khi 8 3 f  x  dx  x   8 x   dx  x   dx  2 3  x x  d  x  1   x     x  1  197   3 Bài tập tương tự phát triển: Câu 38.1: Cho hàm số f  x  có f   15 f  x   A 271 B 347 x 1 , x  Khi x2 x2 C 287 f  x  dx D Lời giải Chọn B Ta có: x 1 x 1 dx  x   dx dx  f  x  f  x  dx   x2 x2 x2  x2 x2   x  x   C Ta có f   15  C 2 suy f  x  x  x   Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 7   Khi f  x  dx  x  x   dx  2 347 x 1 Câu 38.2: Cho hàm số f  x  có f   1 1 f  x   x.e  Khi f  x  dx A  e  2e  B e  2e  D e  2e  C  e  2e  Lời giải Chọn C Ta có: f  x  f  x  dx  x.e x 1  dx x.e x 1 dx  2 dx   x 1 Tính I x.e dx u  x  Đặt  x 1 dv e dx du dx  x 1 v e I x.e x 1  e x 1dx  x.e x 1  e x 1 x 1 x 1 Suy f  x   x.e  e  x  C x 1 x 1 Mà f   1 1   e0  e0   C 1  C 5 suy f  x  x.e  e  x  1 x 1 x 1 f  x  dx  x.e  e  x   dx  xe x1  2e x1  x  x  0  =  e  2e    Câu 38.3: Cho hàm số f  x  có f e 4 x f  x  2ln x , x 1 Khi e A B e C f  x dx x  D Lời giải Chọn D Ta có: ln x f  x  f  x  dx  dx 2 ln xd  lnx  ln x  C x 2 Mà f e 4  C 4  ln e 0  C 0 suy f  x  ln x   e e e f  x ln x ln x dx  dx ln xd  ln x     x x 3 1 e Câu 38.4: Cho hàm số f  x  A 5e  x có f  1 e  f  x  x  e   sin   x  Khi B 5e  C 5e  D f  x  dx e2  Lời giải Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Chọn A Ta có: f  x  f  x  dx  x3  e x   sin   x  dx  x  e x  cos   x   C  Mà f  1 e   1 x4   e   C e   C  suy f  x    e x  cos   x   4 4 2  x4   x5  x f x d x   e  cos  x  d x        e x  sin   x   x   5e      0  20 0 x  f  x  2 x 2x Câu 38.5: Cho đa thức bậc bốn y  f  x  đạt cực trị x 1 x 2 Biết lim f   16 Tích phân f  x  dx A 17 60 B 15 C 19 30 D Lời giải Chọn B Hàm đa thức bậc bốn đạt cực trị x 1 x 2  f  1  f   0 x  f  x  f  x  f  x  vơ cực (vơ lí) 2  lim 1 Giả sử f   0  lim x x x 2x 2x 2x lim  f   0 y  f  x  hàm bậc bốn  f  x  hàm bậc ba, nên f  x  ax  x  1  x   Theo đề ta có lim x x  ax  x  1  x   2  2x lim x  a  x  1  x   2   f  x   x  x  1  x    x3  x  x  f  x   x  3x  x  dx  Mà f   16  a 1 x4  x3  x  C 44 x4  43  42  C 16  C 0 suy f  x    x  x 4  x4 2 f x d x      x  x  dx    15  0 x  1 Câu 38.6: Cho hàm số f  x  xác định  \  0 thỏa mãn f  x   , f   1 1 f  1  x Giá trị biểu thức f     f   A  ln B  ln C  ln D  ln Lời giải Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Chọn C Ta có: x f  x    1 x3   x2 1 2 nên  f  x   dx  x    dx x   x x x x x   x2   x2    ln x  C  2 2x2 x    ln x  C x  2x2  ln   x   C x  2x2 Trên khoảng  0;   , ta có f  1   C  Do đó: f  x   x2   ln x  Suy ra: f   2   ln  2x Trên khoảng   ;0  , ta có f   1 1  C 1 Do đó: f  x   x2   ln   x   Suy ra: f    2   ln  2x Vậy f     f     ln Câu 38.7: Cho hàm số f  x  xác định  0;    \  e thỏa mãn: f  x    1  1 f   ln f  e  3 Tính T  f    f  e3  e   e A T 1  ln B T ln C T 3  3ln Lời giải Biết x  ln x  1 D T 2  ln Chọn C d  ln x  1 dx  ln ln x   C Ta có f  x   x  ln x  1 ln x   1 * Với x   0;e  : f  x  ln   ln x   C1  f   ln  C1 ln e  1  f   ln  ln 2 ln  * e * Với x   e;   : f  x  ln  ln x  1  C  f  e  3  C2 3  f  e  ln   **  1 Từ  *  ** ta có f    f e 3ln x  e      1 Câu 38.8: Cho hàm số f  x  xác định  thỏa mãn f  x   e x  e x  , f   5 f  ln  0  4 Giá trị biểu thức S  f   ln16   f  ln  A S  31 B S  C S  Lời giải 15 D S  Chọn C Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  2x  2x x 0 e  e  e  x Ta có f  x   e x  e  x   x ex e   e x   x   2x  2e  2e  C1 x 0 Do f  x   x x   2e  2e  C x   0 Theo đề ta có f   5 nên 2e  2e  C1 5  C1 1 x  f  ln  2e ln  2e  ln  6 1     ln   ln    1 4   4 f ln   C2 5  Tương tự  nên   2e  2e  C2 0  4  f   ln16   2e    ln16    ln16   2e 2   Vậy S  f   ln16   f  ln   Câu 38.9: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f  x   x 1 x x f  x    0;   Biết 0;    , phương trình f  x  0 có nghiệm thuộc khoảng nào? A  0;1 B  1;  C  2;3 D  3;  Lời giải Chọn B Ta có: f  x   x 1 x x dx    d 1 x x  1 x x  C  3 1 x x   x ) (  x x  x  x x     f  x    C , x 0  f  x   f     C  Mà   0;  f  0 4  C  3 25 Vậy f  x  0   x x   x    1;  16 Câu 38.10: Cho ln   x  a dx  ln  b ln  c ln , với a , b , c số nguyên Giá trị  x a   b  c  A B C D Lời giải Chọn D Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  u ln   x  du     x 1   Đặt   dv  dx v   x   x  2 ln   x    dx     ln   x    dx  ln  3ln  ln Suy  x x  x  1 Do a   b  c       5 Câu 38.11: Cho  dx a b  a  ,  a , b  *  Tính a  2b 3 x   x 1 A a  2b 7 B a  2b 5 C a  2b  D a  2b 8 Lời giải Chọn D Ta có:  dx  x2  x   x 1    1 x  dx  x   d  x     x  1 d  x  1 0 3 2   Suy a 2 , b 3 Vậy a  2b 8    x     x  1  2  3 3 0 Câu 38.12: Cho hàm x 0 e x  m f  x   2 x  x số x  liên tục  f  x dx ae  b  c , với a , b , c   Tổng T a  b  3c 1 A 15 B  10 C  19 D  17 Lời giải Chọn C Do hàm số liên tục  nên hàm số liên tục x 0  lim f  x   lim f  x   f     m 0  m  x x Ta có f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx I 1 1 0 I1  2 x  x dx    x 1 1 1  I2 2  d   x     x2   x2 2  1 16 I  e x  1 dx  e x  x  e  0  f  x dx I 1  I e   22 22 Suy a 1 ; b 2 ; c  3 Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Vậy T a  b  3c 1   22  19 Câu 38.13:  a Biết I  e x sin x dx  a với phân số tối giản, a , b   Giá trị a.b  b b A B C D Lời giải Chọn B u e x du e x dx  Đặt:   dv sin xdx v  cos x   Khi đó: I  e x sin xdx   e x cos x   0    e x cos xdx u e x du e x dx  Xét I1  e cos xdx Đặt:    dv cos xdx v sin x x  Khi đó: I1  e x cos xdx  e x sin x       e x sin xdx   0 Suy ra: I  e x sin xdx   e x cos x    e x sin x     e x sin xdx 1  I  I  Vậy a 1 ; b 2 nên a.b 2 e Câu 38.14: ln x c dx a ln  b ln  , với a , b , c   Tính T a  b  c Cho I  x  ln x   A T 1 B T 11 C T 9 D T 3 Lời giải Chọn D e ln x dx Ta có I  x  ln x   Đặt ln x  t  dx dt x Đổi cận x 1  t 2 , x e  t 3 3 3 t 1 2 ln  ln   ln  ln  Suy I  dt  dt  2 dt ln t  t t t t 3 2 Suy a 1 , b  , c  Vậy a  b2  c 3 Câu 38.15: Biết 3x  a  b  c A I 4 dx a ln  b ln  c ln , với a, b, c số hữu tỉ Giá trị 3x   B I 3 C I 0 D I  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Lờigiải Chọn A dx Đặt A  3x  x   Đặt t  3x   t 3 x   2tdt 3dx Đổi cận: x 0  t 1 ; x 1  t 2 A  2 20   ln  3ln  ln  3ln     10ln  ln  3ln   ln  ln  ln 3 3 Vậy: a  b  c  ln Câu 38.16: 2 tdt t  2    dt     dt    ln t   3ln t    t  5t   t    t  3  t  t 3  Biết 1  20 10    3 ex ex  dx a  b ln  c ln với a , b , c số nguyên Tính T a  b  c B T 0 A T  C T 2 D T 1 Lời giải Chọn B ln ex dx Đặt t  e x   t e x   2tdt e x dx Xét I   x  e  Đổi cận x 0  t 2 ; x ln  t 3 3 2t   Khi I  dt    dt  2t  ln t   2  ln  ln t 1 t 1  2 Suy a 2 , b  , c 2 nên T a  b  c 0 Câu 38.17: Cho   x  3  x  1 a b  b a A 17 dx  a  b với a , b số nguyên Giá trị biểu thức B 57 C 145 D 32 Lời giải Chọn A Tính: I  Đặt t  1  x  3  x 1 dx  dx x   x  1 x 1 x 3 2 dx  2tdt  dx   tdt 2 x 1  x  1  x  1 Đổi cận: x 0  t  ; x 1  t  Trang GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA I  Ta có: Mà   x  3  x  1 dx     t dt  dt t t x   x  1 x 1 dx  a   3 2 b nên suy a 3 , b 2 Từ ta có giá trị a b  b a 32  23 17 e Câu 38.18: 1  Cho tích phân I  x   ln xdx a.e  b , a b số hữu tỉ Giá trị 4a  3b x 1 A 13 B 13 C  13 D  13 Lời giải Chọn B e e e 1  I  x   ln x dx x ln x dx   ln x dx x x 1 1 1 Đặt u ln x dv x dx , suy du  dx v  x x e e e e 1 1 x ln x d x  x ln x  x dx  e  x  e2    21 4 1 Khi e e e 1  Ta có  ln x dx ln x d  ln x    ln x  x 2 1 e e 1 1 Suy I x ln x dx   ln x dx  e    e  x 4 4 1 13 Suy a  , b  Vậy 4a  3b  4 Câu 38.19: Tích phân I   x  1 A 46 dx  a x  x x 1 b  c , với a , b , c   Tính T a  b  c C 18 Lời giải B 24 D 12 Chọn B Ta có I  dx x  x  1  x 1  x   x 1  x x  x  1  x 1  x  dx x  x 1    Đặt u  x   x  du   dx  2du  x x  dx    x 1 x  Khi 3 I 2  1 du  u2 u 3 2 1      3  3   1         32  12  2 1    Vậy a 32 , b 12 , c 2  T 46 Trang 10 GV: LÊ QUANG XE Câu 38.20: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA  f  x   dx  A f  x  có đạo hàm liên tục đoạn Cho hàm số 37 x f  x  dx  Tích phân  180 15 B  15  0;1 thỏa mãn f  1  ,  f  x   1 dx C  10 D 10 Lời giải Chọn B 1 f  1 1 4  x f  x  dx Ta có: x f  x  dx  x f  x   x f  x  dx  40 40 0 3 Mà f  1  ; 1 37 37 x f  x  dx    x f  x  dx  x f  x  dx  suy  180 180 20 0 1 1 4k k 4    f x  kx d x  f x d x  k x f x d x  k x d x    0  k 2       Xét:       9 0 0 Khi  f  x   kx  dx 0  f  x   x  f  x   x C 3    C   C 1  f  x    x 5 5 1     f  x   1 dx   x  dx   15 0 Mà f  1  Cho hàm số f  x  có f  x   Câu 38.21:  x  1 , x  f  1 2 Khi x  x x 1 f  x dx A  Câu 3 14 B  10 C  10 D 10  3 Lời giải Chọn C dx dx Ta có f  x  f  x  dx  x  1 x  x x   x  x x      x   x dx  x  x  x  dx dx 2 x   x  C  x 1 x Mà f  1 2 nên C   f  x  2 x   x  2 4  10 Vậy f  x  dx  x   x  dx  ( x  1)  x  x  4  3 3 1 1   Trang 11 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x  (2 x  1) f  x  , x  0, f  x  0 f  1  Câu 38.22: Khi 2020  f ( x )dx A ln Câu ln 2021 4040 B ln 4040 2021 C ln 2021 2020 D 2020 2021 Lời giải Chọn A Ta có f  x   x  1 f  x     f  x  2 x   f  x f  x  f  x  dx  x  1 dx x2  x  C f  x Mà f  1  1 1   nên C 0  f  x   2 x  x x 1 x 2020 2020 2020 1  x 1     dx  ln Khi  f  x  dx    x 1 x  x   1  ln 2021 4040 Câu 38.23: Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn f   x   f  x  Biết xf  x  dx 5 , tính f  x  dx Câu A B 11 D 2 C Lời giải Chọn A 3 Ta có xf  x  dx xf   x  dx 1  x 4  t Đặt t 4  x   dx  dt  x 1  t 3 Đổi cận ta có   x 3  t 1 Do 3 x f   x dx    t  f  t  dt   t  f  t  dt 4 f  t  dt  t f  t  dt 1 Trang 12 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 3 Suy 4 f  t  dt   f  t  dt 10  f  t  dt  hay 1 f  x  dx  x Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   xe f   2 Tính f  x  dx Câu 38.24: Câu B  Lời giải A e  C e  D Chọn D x Ta có f ( x ) f  x  dx x.e dx Đặt u  x dv e x dx , ta có du dx v e x x x x x Do f ( x ) f  x  dx  x.e  e dx  x.e  e  C Theo đề: f   2    C  C 3  f  x   x.e x  e x  2 x x 0 Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  ln 3 3 f  x   Câu 38.25: 2 0 x x x x f  x  dx  x.e  e  3 dx x.e dx    e  3 dx  x.e  e     e +3x  8 Khi x e2 x ex 1  ex 1 , x   Khi ln e x f ( x ) dx Câu A  10  20  B C 20  D 10  8 Lời giải Chọn B Ta có f  x  f  x  dx  ex 1   e2 x e x   e x   e x  e x  1 ex 1  dx   e    e2 x e x   e x  e2 x dx  e x  1   e x  1  dx ex  x x  dx e  e   C x e +1  x Do f  ln 3 3  C   f  x  e x  e x   ln Khi e f  x  dx  e ln ln x 2x  2e x 1  20  e   4e dx  e x   e x  1  4e x   3 2 0 x x  Trang 13 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Cho hàm số f  x  có f  5 13 f  x   Câu 38.26: 1673 A 15 B 173 15 x , x  Khi x 4 x 4 219 C D xf  x  dx 181 Lời giải Chọn A Ta có: f  x   x  x 4 x 4 x 4 x  x4   x x 4 4  1  x 4 x 4 x 4 x  x 4 4     f  x     dx  x  x   C x4   f  5 13    C 13  C  16 5     xf  x  dx x x  x   16 dx  x  8x x   16 x dx 0    x  8( x  4) x   32 x   16 x dx  x 16  64 1673    x   x    x  4 x   8x2   15  0 Câu 38.27: e  A Cho hàm số f  x  có f  1 4 f  x   f  x x ln x  x ln x   ln x   , x  Khi dx B 1 21 C D 1 Lời giải Chọn B Ta có:  f  x   ln x  x ln x   ln x    ln x x ln x    ln x    ln x ln x   x ln x  ln   ln x   1   x x ln x  x ln x  Trang 14 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 1   f  x     dx ln x  ln x   C  x x ln x    f  1 4   C 4  C 2  f  x  ln x  ln x    e  f  x x 2  3  e e e  ln x     ln x  1.d ln x   dx dx  d x      x x 1 1    e 2 21 1  1   ln x  1  ln x   3 1 Cho hàm số f  x  có f      f  x   Câu 38.28: ln x    f  x  dx sin x , x  Khi sin x   sin x   A C 10  3 B  D   Lời giải Chọn C f  x   Ta có:  cos x  sin x sin x sin x   sin x   sin x   sin x  sin x  sin x   sin x  sin x     2 cos x  sin x   sin x   cos x sin x  cos x    f  x   cos x   dx 2sin x  sin x   C sin x    f        C   C   f  x  2sin x  sin x 1     2   x x  x x     f x d x  2sin x  sin  cos  d x  sin x  sin  cos   dx           2 2   0 0     x x 2   3  2   cos x    cos  sin   x  2     10  3 2     0 cos x  sin x   Cho hàm số f  x  có f   0 f  x   Khi sin x  cos x  4 Câu 38.29:     cos  x   f  x  dx  a ln  b  c ; với a, b, c số nguyên Khi a  b  c Trang 15 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA B A C  D Lời giải Chọn B cos x  sin x d(sin x  cos x ) dx   ln sin x  cos x  C Ta có f  x   sin x  cos x sin x  cos x   f   0  C  ln  f  x  ln sin x  cos x  ln  4       I  cos  x   f  x  dx 4 cos  x    ln(sin x  cos x )  ln  dx 4 4        4 cos  x   ln sin  x   dx 4 4       Đặt t sin  x    dt cos  x   dx  I  2 ln tdt 4 4    u ln t  du  dt t  I  t ln t   Đặt  dv dt  v t  1dt  2 ln   2 ln    2 Suy a 1, b 1, c  Vậy a  b  c 0 Câu 38.30: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   4  f  x  f  x   Khi e2 x ex 1  ex 1 x  ln  f  x  dx ln A  2 ln B 2  2 ln C 2 ln D 2  2 ln Lời giải Chọn D Ta có f  x  f  x   e2 x ex 1  e e2 x    ex 1   x e 1  x   e 1 1  x ex 1  e2 x  ex 1  e ex 1 1 ex 1 x   ex 1   ex ex 1 f  x  f  x  f  x   dx f  x  df  x    C1  x ex  x x Ta lại có  e  x  dx e  e   C2 e 1   Trang 16 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  x  C1 e x  e x   C2  f  x  2e x  e x   C Do f   2   C 4   C 4     f  x  2e x  e x   2 e x   e x   2  f  x    ln ln ln ln ln ln  8  ln e x   dx    e x  1dx  ln  3  ln  e x  1dx x x x Đặt t  e   t e   2t dt e dx  dx   I1   2 ex 1  I  f  x  dx   Tính I1   ex 1 1 3 2t dt 2    2 t 1  t  2t 2t dt  dt x e t 1 3 1 1     dt 22     dt 1  t  t       t   t 1    t  ln 2  ln   2t  ln   t 1  2   t 1    8  Vậy I    ln  ln  2  2 ln 3  Câu 38.31: Cho hàm số F  x  , biết F  1 4 F  x  nguyên hàm hàm f  x   x  1 ln x  Tính giá trị F  e   x ln x A ln   e    e B ln   e    e C ln   e   D ln   e    e Lời giải Chọn B  x  1 ln x  dx  x ln x   ln x  dx  x ln x  x ln x d   x ln x   ln x     dx dx     x ln x   x ln x  Ta có:    F  x   x  ln  x ln x  C F  1 4   C 4  C 3  F  x   x  ln  x ln x   F  e  ln   e    e Trang 17 GV: LÊ QUANG XE Câu 38.32: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Biết f  x   x  15 x  14 ; f  x   ax  bx  c  x  với x   a, b, c   Tính 2x  f  x  dx A 230 21 B 21 251 230 51 C D 21 30 Lời giải Chọn A Ta có: f  x   ax  bx  c  x   f  x   2ax  b  x    f  x    2ax  b   x  3  ax  bx  c 2x   ax  bx  c 2x  5ax   6a  3b  x  3b  c 2x  Từ ta đồng hệ số: x  15 x  14 5ax   6a  3b  x  3b  c  2x  2x  5a 5 a 1      6a  3b  15  b   f  x   x  3x  5 x    3b  c 14 c 5   Tính Câu 38.33: 7 2 f  x  dx  x  3x  5 x  dx  230 21   Cho hàm số y  f  x  liên tục nhận giá trị dương với x    ;   thỏa mãn   f  1 1 , f  x   f  x  3x  Tính  f  x 3x  dx A I e  e  e   23  B I e  e  1    23  C I e  e  e    D I e  e  e  2 Lời giải Chọn B Ta biến đổi: f  x   f  x  3x   f  x   Ta lấy nguyên hàm hai vế: f  x 3x    f  x d  f  x    f  x   f  x  dx   x  dx dx  ln f  x   x   C 3x  Trang 18 GV: LÊ QUANG XE  f  x  e 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x 1 C  f  x  e 3 x 1  Từ tính I  Đặt t  4 , ta lại có f  1 1  e C 1  C  f  x 3x  e dx   x 1 3 3x  dx x    dt  dx , 3 3x  4 2    I et dt et e  e e  e  1 2   3 Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  thỏa mãn điều kiện Câu 38.34: f  x   0, x   f  x   e f  x  , f    Tính e x f  x  dx x A  e4  e2 B  e3  e4 C  e  e3 D  e  e3 Lời giải Chọn B x Ta có: f  x   e f  x    f  x  x f  x  dx  e dx    f  x   e x , lấy nguyên hàm hai vế: f  x d  f  x   x  f  x   e dx  e x  C  f  x   1x  C f  x e 1 1  f  x  x  Ta có f      C   C  2 e 4 ex e4 e3  x 4    1  e  e Tính e f  x  dx   e  dx  x   2 2 3 x Trang 19 GV: LÊ QUANG XE Câu 38.35: 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA x 1 Cho hàm số f  x  xác định  ;  , thỏa mãn  x  1 f  x   f  x   xe , biết f   e Tính f  x e x dx B A C D Lời giải Chọn C x 1 Ta biến đổi:  x  1 f  x   f  x   xe (bên vế trái gợi ý ta đưa đạo hàm  u.v   )   x  1 f  x    x  1  f  x   x.e x 1    x  1 f  x     x.e x 1 , ta lấy nguyên hàm hai vế được:  x  1 f  x  xe x 1dx  f  x  e x 1    x  1 f  x   x.e x 1  e x 1dx e x 1  x  1  C C , ta có f   e  e3  C e3  C 0 x  f  x  e x 1 7 f  x d x  dx  x 2 Tính  x  e 5 Câu 38.36: Cho hàm số y  f  x  có f  1  x f  x   với x   Khi  x  1 2 f  x  dx A ln  B ln  C ln  D ln  Lời giải Chọn C Xét I  f ( x)  x  x  1 dx Đặt t  x   dt dx 1 1   C ln  x  1   C  x   1 Khi : I   dx ln t   C ln x   t x 1 x 1 t t  1 Ta có : f  1   ln   C  C  ln 2 2  f  x  ln  x  1  1  x 1  ln ln   x 1   x 1 Trang 20