Phan 3

Dạng 2: Chóp đều, chóp có cạnh bên Lưu ý: o Chóp chóp có cạnh bên đáy đa giác o Tất cạnh bên tạo với đáy góc o Tất mặt bên tạo với đáy góc o Khoảng cách từ tâm đáy đến tất mặt bên o Chóp chóp có cạnh bên đường cao trùng với SO Mơ hình Đặc điểm Đường cao: SO ,  o  SA,  ABC   SAO S    SBC  ,  ABC   SHO o d  O,  SBC   OK o I o d  A,  SBC    AI  OK K A C O H B Chóp tam giác Đường cao: SO , S  o  SA,  ABC   SAO    SCD  ,  ABCD   SHO o d  O,  SCD   OK o d  A,  SCD   2OK o K A D O H B C Chóp tứ giác Các ví dụ minh họa Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp cho? A V 4 7a B V  7a3 C V  4a D V  7a3 Lời giải Trong mặt phẳng ABCD , gọi O  AC  BD , hình chóp S ABCD nên SO   ABCD  Đáy hình vng vạnh 2a  AO  AC a 2 Trong tam giác vng SAO có SO  SA2  AO a 1 4a Thể tích V khối chóp V  SO.S ABCD  a 4a  3 Câu Thể tích chóp tam giác có tất cạnh a A a3 B a3 C a3 D Lời giải Cách 1: Theo tự luận S C A O I B Gọi O tâm mặt đáy  ABC  I trung điểm cạnh BC S ABC hình chóp tam giác nên SO   ABC  a3 12 SAO vng O có: a 2 a a AO  AI    SO  SA2  AO  3 3 S ABC  a2 1 a a a3 Vậy thể tích khối chóp cần tìm là: VS ABC  SO.S ABC   3 12 Cách 2: Tính cơng thức tính nhanh Hình chóp tam giác có tất cạnh a hình tứ diện cạnh a V Câu a3 12 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a góc cạnh bên mặt phẳng đáy 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD A a3 B a3 a3 C D a3 Lời giải S A 60° B D O a C Ta có: SBO 60 SO OB.tan 60  a a .tan 60  2 S ABCD a 1 a a3 Suy VSABCD  SO.S ABCD  a  3 Câu Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh nhau, đường cao mặt bên a Tính thể tích V khối chóp A V  a3 B V 4a C V  4a D V  a3 Lời giải Gọi cạnh hình chóp tứ giác x Xét tam giác vng SCH ta có SC  HC SH  x  x2 3a  x 2a Chiều cao SO  SH  HO  3a  a a 4a Thể tích khối chóp V  a 2.4a  3 Câu Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp tứ giác cho A 14a B 14a C 2a D 2a Lời giải S C B O D Ta có AC a  AO  A a a 14  SO  SA2  OA2  2 1 14 14 Vậy VS ABCD  SO.S ABCD  a  a 3 Câu Tính thể tích V khối chóp tứ giác S ABCD biết cạnh đáy a góc mặt bên với mặt đáy 45 A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  a3 Lời giải S A D M O B C Gọi O tâm hình vng, S ABCD hình chóp nên SO   ABCD  Gọi M trung điểm CD , OM  a góc mặt bên với mặt đáy  SMO 45 a Trong tam giác SMO vuông cân O có SO OM  2 a a3 Vậy thể tích khối chóp V  a  Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA SB SC SD  2a Tính thể tích khối chóp S ABCD ? A 2a B 2a C 3a D Lời giải  Có: S ABCD  AB  a  3a Gọi O tâm hình vng ABCD 1 a BO  BD  a  2 6a 3a  a Vì S ABCD hình chóp nên SO   ABCD   SO  SB  BO  2a  2 a 3a  a VS ABCD  SO.S ABCD  3 Câu Một hình chóp tam giác có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Thể tích hình chóp A 3 b cos  sin  B 3 b sin  cos  C 3 b cos  sin  D 3 b cos  sin  Lời giải Gọi M trung điểm BC , H tâm tam giác ABC Ta có: SH   ABC   SH SA sin  b sin  Xét tam giác SHA vng H , ta có:   AH SA cos  b cos  3  AM  AH  b cos  2 Mà: AM  AB AM  AB   cos  3 1 VSABC  SH S ABC  b sin  3  b3 cos  sin  Câu  3b cos   Khi chiều cao hình chóp tăng lên n lần mỗi cạnh đáy giảm n lần thể tích A Khơng thay đởi B Tăng lên n lần C Tăng lên n  lần D Giảm n lần Lời giải Ta có: V  h.S , với h chiều cao, S diện tích đáy S x2a  1800  với x độ dài cạnh đa giác đều, a số đỉnh đa giác tan    a     x   a 1 1  n  h.S  V Ycbt  V1 3 nh n  1800  n tan    a    Câu 10 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a cạnh bên b Thể tích khối chóp A a2 3b  a B a2 3b  a 12 a2 3b  a Lời giải C D a 3b  a Gọi S ABC hình chóp tam giác G trọng tâm tam giác ABC Khi SG   ABC  3b  a 2 a a AB a , SB b , AG    SG  SA2  AG  3 1 a 3b  a a Vậy VS ABC  SG.SABC   3b  a 3 12 Câu 11 Một hình chóp tứ giác có đáy hình vng cạnh a , mặt bên tạo với đáy góc  Thể tích khối chóp A a3 sin  B a3 tan  C a3 cot  D a3 tan  Lời giải a Gọi h đường cao hình chóp ta có h  tan  , Sday a a3 Vậy V  h.S day  tan  Câu 12 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60° Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD , cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S AEMF a3 A 12 a3 B 27 a3 C 36 Lời giải a3 D 18  = 60° ( SC , ( ABCD) ) = ( SC , OC ) = SCO Gọi I = SO ầ AM ị I l trng tõm ca tam giác SAC Ta có VS AEM SM SE SI 2 2 = = = Û VS AEM = VS ABC VS ABC SC SB SO 3 9 VS ABCD Mà: VS AEMF = 2VS AEM VS ABCD = 2VS ABC nên VS AEMF = Trong D SOC : tan 60°= SO a Û SO = OC.tan 60°= OC ( 1) 1 a a3 a3 Khi VS ABCD = S ABCD SO = a = Thay vào ( 1) : VS AEMF = 3 18 Câu 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy cạnh bên a Gọi M , N trung điểm cạnh SB , SD Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp thành hai phần tích V1 , V2 với V1  V2 Ta có V2 A a3 18 B 5a C 8a 15 D a3 Lời giải Gọi O  AC  BD, I SO  MN , P  AI  SC Khi I trung điểm SO Gọi Q trung điểm CP  IP / / OQ  P trung điểm SQ  SP PQ QC Ta có VS AMP SM SP 1 VS AMPN       V1  VS ABCD , V2  VS ABCD VS ABC SB SC VS ABCD 6 Mặt khác SO  SA2  AO  2a  a a 5 Do V2  a.2a  a Câu 14 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , khoảng cách hai đường thẳng SA CD 3a Thể tích khối chóp cho bằng: A a3 B 6a 3 C 12a D 8a 3 Lời giải S H A K B O D C Gọi O = AC Ç BD ìï CD // AB Þ d ( CD, SA) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) ) Ta có ïí ïïỵ AB Ì ( SAB ) ìï OK ^ AB 3a Þ OH ^ ( SAB ) Þ OH = d ( O, ( SAB ) ) = Kẻ ïí ïïỵ OH ^ SK Xét D SOK : 1 = + Û SO = 3a 2 OH SO OK Vậy thể tích khối chóp S ABCD : V = S ABCD SO =12a Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , góc mặt phẳng bên ( ABCD ) 600 Gọi M , N điểm cạnh SC , SD cho SC 2SM , SD 3SN Tính thể tích khối chóp S ABMN A V = a3 18 B V = a3 24 Lời giải C V = a3 48 D V = a3 12 S N M A D K O B C Gọi O = AC Ç BD , Gọi K trung điểm CD  Khi đó: SO ^ ( ABCD ) , góc ( SCD ) ( ABCD ) góc SKO = 600 1 1 VS ABM = VS ABC = VS ABCD VS AMN = VS ACD = VS ABCD 12 Þ VS ABMN = VS ABM +VS AMN = VS ABCD a a a3  SO = KO.tan SKO = tan 60 = Þ VS ABCD = S ABCD SO = 2 a3 a3 Þ VS ABMN = = 18 Câu 16 Cho khối chóp S ABCDEF có đáy ABCDEF lục giác cạnh a cạnh bên tạo với đáy góc 30 Tính thể tích V khối chóp S ABCDEF A V  3a 3 B V  9a 3 C V  Lời giải 9a 3 D V  3a 3 Thể tích khối chóp VS ABCDEF  S ABCDEF SH Ta có S ABCDEF   3 a  2  9a SH · Tam giác SHE vuông H SHE 30  tan 30  HE  SH HE.tan 30 a a 9a 9a3 Thể tích khối chóp VS ABCDEF  S ABCDEF SH  a  2  D 900 ; DAC   Câu 17 Cho tứ diện ABCD , có AB  AC  AD a , BA 600 ; CAB 1200 Thể tích tứ diện ABCD A a3 B a3 12 C a3 D Lời giải A B D H C  D 900 ; DAC   AB  AC  AD a , BA 600 ; CAB 1200 Gọi H trung điểm BC Suy ra: BC 2 BH a 3; CD a;BD a  BCD vuông D a3 12  H tâm đường tròn ngoại tiếp BCD AB  AC  AD a  AH đường cao tứ diện ABCD a a2 a3 AH  AD  DH  ; S BCD  CD.BD   VABCD  AH S BCD  2 12 2 Câu 18 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC 6 , AC 4 ; ABC tam giác vng cân B Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 16 16 B V  C V 16 16 D V  Lời giải Chọn D Gọi H trung điểm AC , suy ra: HA HB HC Mà SA SB SC 6 nên SH trục đường trịn ngoại tiếp ABC Do đó: SH   ABC  H S ABC  AC.BH 4 ; SH  SA2  AH 4 2 16 V  S ABC SH  3 Câu 19 Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi có cạnh 2a góc ABC 60 , cạnh bên AA 4a ; A cách đỉnh A, B, C hình vẽ Tính theo a thể tích khối hộp ABCD ABC D A 4a 3 B 2a 3 C 16a 3 D 8a 3 Lời giải Chọn A  2a  2a Tam giác ABC cạnh 2a , tâm G nên AG   3 Ta có A ' A  AB  AC nên AG   ABC    AAG vuông G 2  4a   a   AG    2a       2a Thể tích cần tìm V  AG.S ABCD  AG.2 S ABC 2a.2   4a 3 Câu 20 Cho hình chóp S ABC có AB 3a , AC 4a , BC 5a , SA SB SC 6a Tính thể tích khối chóp S ABC A a 119 B a 119 C 4a3 119 D 4a 119 Lời giải Vì AB 3a , AC 4a , BC 5a nên tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  Vì SA SB SC nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trung điểm BC SH  SB  HB  36a  25 119a a  2 Diện tích tam giác ABC SABC 6a 113 Vậy thể tích khối chóp S ABC VS ABC  6a a a 119 Câu 21 Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB 4a , AD 3a ; cạnh bên có độ dài 5a Thể tích hình chóp S ABCD bằng: A 9a 3 B 9a 3 C 10a D 10a 3 Lời giải Phương pháp: +Dựng hình vẽ, xác định chiều dài đường cao SO Cách giải: +Gọi O tâm hình chữ nhật AC BD 5a ; AO 2,5a Xét tam giác SOA vng O ta có: SO  SA2  AO  a 1 V  SO.S ABCD  a.3a.4a 10a 3 3 a Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành có AB a, SA SB SC SD  Giá trị lớn thể tích hình chóp S ABCD A a3 B a3 C Lời giải 2a 3 D a3 Gọi O hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  Ta có: SAO SBO SCO SDO Nên OA OB OC OD suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy ABCD hình chữ nhật có O tâm 1 2 Đặt AD  x  AO  AC  a  x 2 Nên SO  SA2  AO  5a a  x x2   a2  4 2 1 x2 x x 1 a  x   a  x   1 a3 VS ABCD  ABCD.SO  a.x a    a.2 a       3 4