TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – NGHỆ AN NĂM HỌC 2020-2021 Mơn: Tốn Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN THỨC Câu 1: (7 điểm) a) Cho phương trình Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng b) Cho hệ phương trình giá trị ngun Câu 2: ( để hệ phương trình có nghiệm (3,5 điểm) a Một hộp đựng cầu đánh số số tự nhiên từ đồng thời từ hộp cầu Tính xác suất để thành cấp số cộng b) Cho dãy xác định , Chứng minh rằng: Câu 3: tham số thực) Tìm tất (1,5 điểm) Cho đến Chọn ngẫu nhiên cầu chọn có số ghi lập , số phương , , số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu 4: (6 điểm) Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a) Tính khoảng cách từ b) Gọi đến mặt phẳng trọng tâm tam giác diện lồi có đỉnh điểm Câu 5: (6 điểm) Cho hình chóp Gọi tia có tâm đường trịn nội tiếp tam giác Tính thể tích khối đa Chứng minh rẳng đơi vng góc Mặt phẳng thay đổi qua cắt HẾT TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 TOÁN HỌC VD - VDC HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – NGHỆ AN NĂM HỌC 2020-2021 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN THỨC Câu 1: (7 điểm) a) Cho phương trình Hỏi phương trình có nghiệm thuộc khoảng Lời giải Điều kiện: TH1: TH2: Suy (vô lý) Khi PT Với Vì nên Với Vì Vậy có nên giá trị thõa mãn u cầu tốn b) Cho hệ phương trình giá trị nguyên Trang ( để hệ phương trình có nghiệm Lời giải tham số thực) Tìm tất TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Điều kiện Ta có Xét hàm số nên hàm số Do đồng biến thay vào (2) ta Xét hàm số Nên hàm số nghịch biến Do nên (do Vậy Câu 2: ) (3,5 điểm) a Một hộp đựng cầu đánh số số tự nhiên từ đồng thời từ hộp cầu Tính xác suất để thành cấp số cộng đến Chọn ngẫu nhiên cầu chọn có số ghi lập Lời giải a Ta có khơng gian mẫu : “Chọn ngẫu nhiên đồng thời từ hộp cầu” Gọi : “ cầu chọn có số ghi lập thành cấp số cộng” Gọi số ghi cầu chọn có dạng TH1: ta có số Có số thỏa mãn TH2: ta có số Có số thỏa mãn TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 TH3: … TOÁN HỌC VD - VDC ta có số TH14: Có ta có số Có số thỏa mãn số thỏa mãn Khi b) Cho dãy xác định , Chứng minh rằng: , số phương Lời giải Nhận xét: Từ (1) Từ (2) Từ nhận xét (1) ta có: Từ nhận xét (2) ta có: (3) (vì nên , ) (4) Thay (4) vào (3) ta có: Suy ra: Để số phương, ta cần chứng minh Thật vậy, ta có: Giả sử tốn với Ta cần chứng minh , nghĩa thuộc Ta có, theo giả thiết quy nạp Theo nguyên lý quy nạp, toán chứng minh Vậy Câu 3: , (1,5 điểm) Cho , số phương , số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Ta có: Khi đó : Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Suy Đặt với Xét hàm số với Ta có Lại có Suy phương trình Lập bảng biến thiên có nghiệm Suy Vậy Câu 4: (6 điểm) Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh a) Tính khoảng cách từ b) Gọi đến mặt phẳng trọng tâm tam giác diện lồi có đỉnh điểm Lời giải Tính thể tích khối đa a) TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Gọi TOÁN HỌC VD - VDC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ta có : Vì Gọi trung điểm kẻ Ta có : Vậy b) Ta có Ta có : Vì Trang TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HỌC VD – VDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Vậy Câu 5: (6 điểm) Cho hình chóp Gọi có đơi vng góc tâm đường trịn nội tiếp tam giác tia Mặt phẳng Vì (*)(ĐPCM) Ta có Mặt phẳng cắt Trước hết ta chứng minh tốn: Cho hình chóp điểm Thật vậy: thay đổi qua Chứng minh rẳng Lời giải thỏa mãn Điểm qua điểm Chứng minh nằm mặt phẳng cắt tia đồng phẳng nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác Từ giả thiết suy tam giác Áp dụng (*) ta TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI nên có Áp dụng bất đẳng thức Buniacopxki ta có Trang ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Dấu xảy Trang TỐN HỌC VD - VDC TÀI LIỆU ƠN THI HỌC SINH GIỎI