65 hsg8 – 2019 – bn – thuận thành

28 Website: tailieumontoan.com UBND HUYỆN THUẬN THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS - NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 20/02/2019 Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:  x  3x   6x  P     :  2  x  3x  x  27 x    x  x  x  x  27  Rút gọn biểu thức Với x  P khơng nhận giá trị nào? Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài 2: (6 điểm) x y z   1 y  z z  x x  y Cho x2 y2 z2 M 2019    y  z z  x x y Tính giá trị biểu thức Giải phương trình sau: x  13 x  22 x  31   3 2006 1997 1988 a) x b) 2  x    x  x  12 Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, K điểm di động cạnh BC, gọi P Q hình chiếu K AB AC Chứng minh tứ giác APKQ có bốn đỉnh cách điểm, tìm điểm đó? Tam giác ABC có thêm điều kiện tứ giác APKQ hình chữ nhật, xác định vị trí điểm K BC để PQ có độ dài nhỏ Vẽ đường cao AA’; BB’; CC’ tam giác ABC, trực tâm H AH BH CH   a) Tính tổng: AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI tia phân giác tam giác ABC, IM; IN thứ tự phân giác góc AIC; AIB ( M  AC ; N  AB) Chứng minh AN BI CM BN IC AM Bài 4: (2 điểm) Chứng minh: B n  14n3  71n2  154n  120 chia hết cho 24 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS UBND HUYỆN THUẬN THÀNH Năm học: 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:  x  3x   6x  P     :  2  x  3x  x  27 x    x  x  x  x  27  Rút gọn biểu thức Với x  P khơng nhận giá trị nào? Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Lời giải  x  3x   6x  P     :  2  x  3x  x  27 x    x  x  x  x  27    x  x  3   6x   :     2 x  x  x  x  x  x            x 3 x2   6x  : x   x  3  x   x   x  3  x     x 9  x  3  x 3 x P x 3  Px  3P x  x  x( P  1) 3P   x  P  1 P  P 1  P  1 0 x  x  P  Với ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com   P  1    P  1   P1  P    P  1      P  1 Vậy x  x 3 P khơng nhận giá trị từ -1 đến P x 3 x  36  1  x x x Để P nhận giá trị nguyên x   Ư(6) x3 x K L Vậy  1; 2; 3; 6 -6 -3 -2 -1 -3 Lo ại T M T M T M T M T M T M T M x   0;1;2;4;5;6;9 Bài 2: (6 điểm) x y z   1 y  z z  x x  y Cho x2 y2 z2 M 2019    y  z z  x x y Tính giá trị biểu thức Giải phương trình sau: x  13 x  22 x  31   3 2006 1997 1988 a) x b) 2  x    x  x  12 Lời giải Nếu x  y  z 0 x   y  z  , y   x  z  , z   x  y  x y z     1    1    3 1 y  z x  z y  x Do đó: (trái giả thiết)  x  y  z 0 x y z   1 y  z z  x y  x Từ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  x y z    x  y  z     x  y  z  yz zx yx x2 y2 z2     x  y  z x  y  z yz zx yx x2 y2 z2    0 yz zx yx  M 2019 x  13 x  22 x  31   3 1997 1988 a) 2006  x  13    2006   x  22   x  31  1    1    1 0   1997   1988  1     x  2019      0  2006 1997 1988  1   0  x  2019 0 2006 1997 1988 Vậy x 2019 x b) 2  x    x  x  12 Ta có pt: Đặt t x  x t  4t 12  t  4t  12 0   t    t   0  t 2   t   x 1 t 2  x  x 2  x  x  0   x  1  x   0    x  2  23  t   x  x   x  x  0   x    0 2  (pt vô nghiệm) Vậy x 1; x  2 Bài 3: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, K điểm di động cạnh BC, gọi P Q hình chiếu K AB AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Chứng minh tứ giác APKQ có bốn đỉnh cách điểm, tìm điểm đó? Tam giác ABC có thêm điều kiện tứ giác APKQ hình chữ nhật, xác định vị trí điểm K BC để PQ có độ dài nhỏ Vẽ đường cao AA’; BB’; CC’ tam giác ABC, trực tâm H AH BH CH   AA ' BB ' CC ' a) Tính tổng: b) Gọi AI tia phân giác tam giác ABC, IM; IN thứ tự phân giác góc AIC; AIB ( M  AC ; N  AB) Chứng minh AN BI CM BN IC AM Lời giải P B A B' C' H A' O Q K C Gọi O trung điểm đoạn AK  PO QO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Ak tam giác vuông APK AQK  PO QO OA OK  AK  Bốn đỉnh tứ giác APKQ cách điểm O  Tứ giác APKQ hình chữ nhật PAQ 90  Tam giác ABC vng A Khi hai đường chéo AK = PQ Vậy PQ đạt giá trị nhỏ AK đạt giá trị nhỏ Ta có AK  AA ' không đổi Vậy PQ nhỏ AK  AA '  K A' a) Ta có: 1 1 AH BC AH BA '  A ' C AH BA '  AH A ' C S  S   AH AHC 2     AHB 1 AA ' AA '.BC S ABC AA '.BC AA '.BC 2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com BH S AHB  S BHC  BB' S ABC Tương tự: CH S AHC  S BHC  CC' S ABC AH BH CH 2. S AHB  S AHC  S BHC  2.S ABC     AA' BB' CC' S ABC S ABC  b) A N M B C I Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC có: IB AB AN AI CM IC  ;  ;  IC AC NB IB MA AI IB AN CM AB AI CI AB CI AB CA           IC NB MA AC IB IA AC BI AC BA  BI AN CM IC.NB.MA Bài 4: (2 điểm) Chứng minh: B n  14n  71n  154n  120 chia hết cho 24 Lời giải B n  14n3  71n  154n  120 n  n  2n3  2n  8n3  8n  24n3  72n  144n  120 n  n  1  2n  n  1  8n  n  1  24n3  72n  144n  120  n  1  n  2n   8n  n  1  n  1  24n3  72n  144n  120  n  1  n  1 n  n    8n  n  1  n  1  24n3  72n  144n  120 n  n 1 n n      tích bốn số nguyên liên tiếp nên chia hết cho có tích Ta có:  số chẵn liên tiếp nên chia hết cho Mà  3,8 1 3.8 24   n  1  n  1 n  n   24  n  1  n  1 n3   n  1  n  1 n24 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com  24n3  72n  144n  12024  B24 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC