28 UBND HUYỆN VĨNH BẢO Website: tailieumontoan.com ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TỐN - Năm học: 2018 - 2019 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2019 x 2018 x 2019 A= Cho biểu thức æx +1 x2 + x - x2 ữ ỗ ữ : + + ỗ 2 ữ ữ ỗ x - x +1 è x x - x - xø Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x >1 x5 + y = ( x3 + y ) ( x + y ) - x - y xy = 1, Cho chứng minh rằng: Câu (2,0 điểm) 3 Giải phương trình nghiệm nguyên: x + x + x + = y a b3 c + + ³ ab + bc + ca c a Cho a, b, c > , chứng minh rằng: b Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông A AB AC Kẻ đường cao AH Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A, bờ đường thẳng BC , vẽ hình vuông AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ) Gọi F giao điểm DE AC Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABGF hình vng b) Tứ giác DEHG hình thang c) Ba đường thẳng AG, BF , HE đồng quy Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông cân A Gọi M , N trung điểm AB, AC Kẻ NH ^ CM H Kẻ HE ^ AB E Chứng minh D ABH cân HM tia phân giác BHE Câu (1,0 điểm) Cho đa giác gồm 2019 đỉnh Người ta tô đỉnh đa giác màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm ba đỉnh đa giác ba đỉnh tam giác cân đánh dấu màu HẾT Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com TÀI LIỆU MƠN TOÁN 28 Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (3,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2019 x 2018 x 2019 A= Cho biểu thức æx +1 x2 + x - x2 ữ ỗ ữ : + + ỗ 2 ữ ữ ỗ x - x +1 è x x - x - xø Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x >1 x5 + y = ( x3 + y ) ( x + y ) - x - y Cho xy = 1, chứng minh rằng: Lời giải x 2019 x 2018 x 2019 = x - x + 2019 x + 2019 x + 2019 = x ( x - 1) ( x + x +1) + 2019 ( x + x +1) = ( x + x +1) ( x - x + 2019) A= ỉx +1 x2 + x - x2 ữ ỗ ữ : + + ỗ 2 ữ x - x +1 ỗ x- x - xữ ố x ø = x ( x +1) x - + x + - x : x ( x - 1) ( x - 1) = x ( x +1) x ( x - 1) x +1 ( x - 1) với x >1 x2 x - +1 = x- x- ổ 1 ữ = x +1 + =ỗ x - 1+ ữ+ ỗ ỗ ố ứ x- x - 1÷ = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x - x - ta được: x - 1+ 1 1 ³ ( x - 1) Û x - 1+ ³ Û x - 1+ + ³ hay A ³ x- x- x- x- Û x - 1= Dấu "=" xảy Û ( x - 1) = Û x- éx - = éx = (tháa m·n) ê Û ê ê ëx - =- ê ëx = (lo¹i) Vậy Amin = x = x3 + y ) ( x + y ) ( Ta có x- y Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com 2 = x +x y +x y + y - x- y = x5 + y + x y ( x + y ) - ( x + y ) = x5 + y +( x + y ) - ( x + y ) xy = = x + y (dpcm) Vậy x5 + y = ( x3 + y ) ( x + y ) - x - y Câu (2,0 điểm) 3 Giải phương trình nghiệm nguyên: x + x + x + = y a b3 c + + ³ ab + bc + ca c a Cho a, b, c > , chứng minh rằng: b Lời giải 3 x + x + x + = y Å Xét x = ta thấy phương trình vơ nghiệm Å Xét x ¹ ta có: éỉ ư2 ự ỳ ỗx + ữ y - x = x + 3x + = ữ ờỗ ữ + 16 ỳ> ỗ 3 ố ứ ê ú ë û với " x Þ y > x 3 y - ( x +1) =- x +1 £ Þ x < y < ( x +1) Þ y £ ( x +1) với " x ¹ 0; x Ỵ mà x, y Ỵ Þ y = ( x +1) Û - x +1 = Û x = Û x = ±1 Nếu x =1 Þ y = Nếu x =- Þ y = Vậy phương trình có hai nghiệm ( x; y ) Î { ( 1; 2) ; ( - 1; 0) } a3 a3 + ab ³ ab = 2a b b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số khơng âm ta có: b3 + bc ³ 2b c Tương tự ta có: c3 + ac ³ 2c a (2); (1) (3) a b3 c Þ + + + ab + bc + ca ³ 2a + 2b + 2c b c a Từ (1), (2) (3) (4) 2 2 2 Lại có: a + b ³ 2ab; b + c ³ 2bc; c + a ³ 2ac; Þ 2a + 2b + 2c ³ 2ab + 2bc + 2ac Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 (5) TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Từ (4) (5) Þ 3 a b c + + ³ ab + bc + ac b c a (đpcm) Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông A AB AC Kẻ đường cao AH Trong nửa mặt phẳng có chứa đỉnh A, bờ đường thẳng BC , vẽ hình vng AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ) Gọi F giao điểm DE AC Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABGF hình vng b) Tứ giác DEHG hình thang c) Ba đường thẳng AG, BF , HE đồng quy Lời giải a) + Ta có: AB FG ( gt ); BG AF ( gt ) Þ ABGF hình bình hành (1) + Xét D AEF D AHB có: =H = 90o E AE = AH ( AHDE hình vng) EAP = HAB (cùng phụ với HAF ) Þ D AEF = D AHB (c.g.c) Þ AB = AF (2 cạnh tương ứng) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 (2) TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Từ (1) (2) Þ ABGF hình thoi o mà BAF = 90 (gt) nên ABGF hình vuông b) Gọi I giao điểm BD FG + Xét D BIG D FID có: =D = 90o G BIG = FID (đối đỉnh) Þ D BIG D FID ( g g ) Þ IF ID = IB IG Þ D BIF D GID (c.g c) Þ IDG = IFB o Mà FB phân giác AFG = 90 (tính chất hình vng) = 45o Þ IDG Þ IFB = 45o o Lại có: AHDE hình vng Þ EHD = 45 Þ IDG = EHD mà IDG EHD vị trí so le nên GD HE Þ HGDE hình thang c) Gọi O giao điểm HE AD Þ O trung điểm AD (tính chất hình vng) + D ADG có: OH GD (chứng minh trên) O trung điểm AD Þ OH qua trung điểm J AG (3) mà tứ giác ABGE hình vng (chứng minh trên) Þ BE qua trung điểm J AG (4) Từ (3) (4) Þ AG, BF , HE đồng quy J Câu (2,0 điểm) Cho ABC vuông cân A Gọi M , N trung điểm AB, AC Kẻ NH ^ CM H Kẻ HE ^ AB E Chứng minh D ABH cân HM tia phân giác BHE Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com + Dựng hình vng ABCD + Xét D ACM D CDN có: AC = CD (cạnh hình vng) A = C = 90o AM = CN (nửa cạnh hình vng) Þ D ACM = D CDN (c.g c) Þ ACM = CDN (hai góc tương ứng) o mà MCD + CDN = 90 Þ MCD + CDN = 90o Þ CM ^ ND mặt khác NH ^ CM ( gt ) Þ N , H , D thẳng hàng + Gọi P trung điểm DC mà M trung điểm AB ; ABCD hình vng (gt) Þ BM CP; BM = CP Þ BMCP hình bình hành Þ MC BP mà MC ^ DH MC ^ NH Þ BP ^ DH (1) + Gọi I giao điểm BP DH Þ IP HC + D DHC có P trung điểm DC Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com IP HC (chứng minh trên) Þ I trung điểm HD (2) Từ (1) (2) Þ BP trung trực HD Þ BH = BD mà BD = AB ( ABDC hình vng) Þ BH = AB Þ D ABH cân B (đpcm) + Gọi F giao điểm HE DC Ta có EF BD (cùng vng góc với AB ) Þ FHD = HDB (so le trong) mà BH = BD (chứng minh trên) Þ D BHD cân B Þ BHD = BDH (tính chất tam giác cân) Þ BHD = FHD Þ HD phân giác góc ngồi D HBE Mặt khác HM ^ HD (chứng minh trên) Þ HM phân giác D HBE Þ HM phân giác BHE Câu (1,0 điểm) Cho đa giác gồm 2019 đỉnh Người ta tô đỉnh đa giác màu xanh màu đỏ Chứng minh ln tìm ba đỉnh đa giác ba đỉnh tam giác cân đánh dấu màu Lời giải Vì đa giác có 2019 đỉnh tô hai màu xanh đỏ nên có đỉnh liên tiếp màu (do 2019 lẻ) Khơng tính tổng qt, gọi đỉnh A B có màu xanh Gọi M đỉnh nằm đường trung trực AB Þ D MAB cân M Å Nếu M có màu xanh Þ D MAB cân có đỉnh màu xanh Å Nếu M có màu đỏ Xét đỉnh kề với A B C D Þ D MCD cân M - Nếu C D có màu đỏ Þ D MCD cân có đỉnh màu đỏ - Nếu C D có màu xanh Þ D ABD D ABC cân có đỉnh màu xanh Vậy tồn tam giác cân có đỉnh màu HẾT Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN