Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT CHIA HẾT Tỉnh, thành phố HSG Thanh Chì HSG Như Xuân HSG Chuyên KHTN HSG Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng HSG Vũng Tàu HSG Bến Tre HSG Ân Thi HSG Nghi Lộc HSG Lục Nam Olympic Mỹ Đức HSG Thành Phố Bắc Ninh HSG Thuận Thành Bắc Ninh HSG Gia Lâm HSG Yên Phong Bắc Ninh HSG An Nhơn HSG Chí Linh HSG Phú Xuyên Năm học 2018-2019 2020-2021 2014-2015; 2015-2016 2020-2021 2020-2021 2017-2018 2017-2018 2016-2017 2018-2019 2020-2021 2018-2019 2020-2021 2016 2016-2017 2018-2019 2018-2019 A Kiến thức cần nhớ *) Chia hết tập hợp số nguyên Giả sử a, b, c số ngun dương, ta có tính chất sau: a b a c Nếu b c a c (ma nb) c, m, n Z Nếu bc a b a b.c a c (b, c ) 1 a b a b, c Nếu a c (BCNN) abc a c ( b , c ) Nếu p P ( songuyento) a p ab p bp Nếu Nếu a b a b n n Nếu a b a b(n Z ) Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n 10 Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích a m a bm bm ab m +) n +) a m a m(n N ) a c abcd +) bd 11 Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6,8, 9, 10, 11 Chia hết cho 10 11 Dấu hiệu Số có chữ số tận chữ số chẵn Số có tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho hai chữ số tận lập thành số chia hết cho Số có chữ số tận Là số đồng thời chia hết cho Số chia hết cho ba chữ số tận lập thành số chia hết cho Số có tổng chữ số chia hết cho Số có chữ số tận Số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí lẻ tổng chữ số đứng vị trí chẵn (kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 12 Đồng dư thức a) Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b chia cho dư với b theo modun c , ký hiệu a b mod c b) Một số tính chất: Với a, b, c thuộc Z ta có: - a a mod m c ( c khác 0) có số dư ta nói a đồng - a b mod m b a mod m - a b mod m ; b c mod m a c mod m - a b mod m ; c d mod m a c b d mod m - a b mod m ; c d mod m a.c b.d mod m n n - a b mod m a b mod m 13 Phương pháp chứng minh quy nạp Muốn chứng minh khẳng định An với n 1, 2,3, ta chứng minh sau: - Khẳng định A1 - Giả sử Ak với k 1 , ta suy khẳng định Ak 1 Kết luận: Khẳng định An với n 1, 2,3, 14 Chứng minh phương pháp phản chứng Muốn chứng minh khẳng định P ta làm sau - Giả sử P sai - Từ giả sử sai ta suy điều vô lý - Điều vô lý chứng tỏ P khơng sai, tức P B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết - Để chứng minh biểu thức có nhân tử A n chia hết cho số m, ta phân tích A n thành nhân tử, m A(n)m - Nếu m hợp số, ta phân tích m thành tích thừa số đơi ngun tố nhau, chứng minh A n - Khi chứng minh A n cho chia hết cho tất số A n chia hết cho m thực chất ta xét trường hợp số dư chia m Bài 1: Chứng minh rằng: a a a 2(a N ) b a a 3(a Z ) c a a 5;6;30(a Z ) d a a 2(a Z ) Lời giải a) Ta có: a a a(a 1)2 (tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2) b) Ta có: a a a(a 1)(a 1) (a 1)a(a 1)3 a a a (a 1) a (a 1)(a 1) (a 1) 2,3 6 2 2 1) a a a (a 1)(a 1) a (a 1)[(a 4) 5)]= a 2 a 1a a 1 a 2 5 n(n 5 5 c) Ta có 5.6 30 2 d) Ta có : a a a(a 1) a(a 1)(a a 1)(a a 1) +) Nếu a 7k (k Z ) a 7 2 +) Nếu a 7k 1(k Z ) a 49k 14k 7 +) Tương tự ta xét a 7 k 2; ; a 7 k chia hết cho (đpcm) Bài 2: Chứng minh rằng: a n(n 1)(2n 1)6 b n 11n6 2 c mn(m n )6 d m 5m6 Lời giải a) Ta có: n( n 1)(2n 1) n(n 1) n 1 n n n 1 n 1 n( n 1)( n 2) 2,3 6 Vậy n(n 1)(2n 1)6 b) Ta có: n3 11n n3 n 12n n(n 1)(n 1) 12 n 6 6 Vậy n 11n6 6 c) Ta có: mn(m n ) mn (m 1) (n 1) = mn( m 1)(m 1) mn( n 1)( n 1) 6 6 2 Vậy mn(m n )6 d) Ta có: m3 5m m3 m 6m m(m 1)(m 1) 6 m 6 6 Vậy m 5m6 Bài 3: Chứng minh với n lẻ a A n 4n 38 b B n 3n n 348 12 c C n n n 1512 d D n 10n 9384 Lời giải a) Ta có: n 4n (n 1)(n 3) Vì n số lẻ nên n n tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho b) n 3n n (n 3)(n 1)( n 1) Vì n lẻ, đặt n 2k (n 3)(n 1)(n 1) 2k (2k 2)(2k 4) 8k (k 1)(k 2) 48(k N ) 6 Vậy B n 3n n 348 12 8 4 2 2 c) n n n (n 1)(n 1) (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) (n 1) 2 16 .( n 1) k k 1 (n 1) 24 22 chan 22 chan 2 24.22.22.2 512 12 Vậy C n n n 1512 4 2 d) Ta có: n 10n (n n ) (9n 9) n (n 1)(n 1) 9(n 1)(n 1) (n 3)(n 1)( n 1)( n 3) Đặt n 2k 1 k Z D (2k 2)2k (2k 2)(2k 4) 16 k ( k 1)( k 1)( k 2) D 384 24 Vậy D n 10n 9384 Bài 4: 2 Chứng minh số A n (n 7) 36n5040, n N Lời giải A n3 (n 7) 36n n n n 36 n (n n) 36 n( n n 6)( n n 6) Ta có: n(n 1)(n 2)(n 3)(n 1)(n 2)(n 3) tích số nguyên liên tiếp +) Tồn bội bội +) Tồn bội (chia hết cho 9) +) Tồn bội có bội nên chia hết cho 16 Vậy A chia hết cho 5040 Bài 5: Chứng minh A 3n 14n 21n 10n24 Lời giải 3 2 Ta có: A 3n 14n 21n 10n n(3n 14n 21n 10) n(3n 3n 11n 11n 10n 10) A n(n 1)(3n 11n 10) n(n 1)(3n 6n 5n 10) n( n 1)( n 2)(3n 5) n(n 1)(n 2)(3n 4) A (3n 9) n( n 2) 4n(n 1)( n 2) 3n(n 1)( n 2)(n 3) 4n(n 1)( n 2) 8 24 6 24 Vậy A 3n 14n 21n 10n 24 Bài 6: Chứng minh rằng: A n 5n 4n120 2 3.5n Z Lời giải 4 3 2 Ta có: A n 5n 4n n(n 5n 4) n(n n n n 4n 4n 4n 4) n(n 1)(n n 4n 4) A n(n 1)(n 1)(n 2)(n 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8.5.3=120 Vậy A 3n 14n 21n 10n 24 Bài 7: Chứng minh với n chẵn ta có: b B n 4n 4n 16n348(n 4 , n chẵn ) a A n 6n 8n48 Lời giải a) Ta có: A n 6n 8n48 n( n 2)(n 4) Đặt n 2k A 2k (2k 2)(2k 4) 8 k (k 1)(k 2) A48 6 b) Đặt n 2k (k 2) A 16k 32k 16k 32k 16k (k 2k k 2) 16 k (k 2)(k 1)(k 1) 3,8 24 B 16.24 384 Bài 8: Chứng minh với n lẻ A n n n n 1152n N Lời giải Ta có: 1152 = 9.27 = 32.27 A n (n n4 n 1) n [(n n ) (n 1] n (n 1)(n 1) n (n 1) (n 1) A [ n(n-1)(n+1)]2 (n 1) A9(1) 3 9 Vì n lẻ nên n n số chẵn liên tiếp có số chia hết cho tích số chẵn chia hết cho 8, mặt khác n2 + số chẵn chia hết cho A8 2 (2) Từ (1)(2) A27.32 (dpcm) Bài 9: Cho m, n hai số phương lẻ liên tiếp CMR: mn m n chia hết 192 Lời giải 2 Đặt m (2k 1) ; n (2k 1) (k Z ) 2 A (m 1)(n 1) 2k 1 1 2k 1 1 (4k 4k )(4k 4k ) 16k ( k 1)( k 1) Ta chứng minh A chia hết cho 64 A (k 1).k k (k 1) A16.2.2 64; A 16k ( k 1) k ( k 1) A3 A64.3 192 2 2 3 Bài 10: Cho n số tự nhiên, chứng minh rằng: n5 n n3 5n n a 120 12 24 12 số tự nhiên b B n(n 1)(3n 2)12 Lời giải n5 n 7n3 5n n n5 10n 35n3 50n 24n n(n 10n 35n 50n 24) 120 12 24 12 120 120 a) n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) 120 b) B n(n 1)(3n 2) n(n 1)(n 1)(3n 2) Lại có: n n 2n chia hết n n tính chẵn lẻ n 3n 4n chia hết n 3n tính chẵn lẻ Do A ln có số chẵn Vậy B 3 B 12 Bài 11: Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2014 – 2015 5 Cho x, y số nguyên CMR: A x y xy 30 Lời giải 5 4 4 Ta có: A x y xy xy ( x y 1) xy ( x 1) xy ( y 1) x( x 1)( x 1)( x 1) y xy ( y 1)( y 1)( y 1) A x( x 1)( x 1)[(x 4) 5] xy ( y 1)( y 1)[(y 4) 5] 30 30 Bài 12: Vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2015 – 2016 4 Chứng minh với x, y hai số nguyên ta có: A xy ( x 15 y ) xy ( y 15 y ) 30 Lời giải A xy ( x 15 y ) xy ( y 15 y ) x y 15 xy xy 15 xy xy ( x y ) 30 xy Bai 30 Bài 13: Cho n số nguyên dương nguyên tố với 10 Chứng minh A n 140 Lời giải n,10 1 (n, 2) (n,5) 1 Vì Ta có: n (n 1)(n 1)(n 1)8 tích hai số chẵn liên tiếp Ta chứng minh A chia hết cho +) Xét n 5k 1; n 5k 2; n 5k 3; n 5k thỏa mãn chia hết cho Bài 14: n * Chứng minh A (n 1)(n 2) (2n 1).2n2 n N Lời giải 1.2.3 n( n 1)(n 2) 2n (2.4.6 2n)[1.3.5 (2n-1)] 2n (1.2.3 n)[1.3.5 (2n-1)] A 1.2.3 n 1.2.3.4 n 1.2.3 n Cách 1: A 2n [1.3.5 (2n-1)]2n n N * Cách 2: Dùng phương pháp quy nạp toán học +) n 1 A(1) 22 k +) Giả sử mệnh đề với n k , tức ta có: A (k 1)(k 2) 2k 2 +) Ta chứng minh với n k 1 A(k 1) (k 2)(k 3) (2k 2) 2(2k 1) A( k )2.2 k 2 k 1 ( dpcm) Bài 15: Có số có chữ số, thỏa mãn: Chia hết cho có số Lời giải Ta có: 30000 số có chữ sơ chia hết cho (10000 đến 99999 có 90000 số, cách số có số chia hết cho 3) Ta đếm số số chia hết cho mà không chứa chữ số Giả sử: abcde(a 0;0 a, b, c, d , e 9.a, b, c, d , e 3) có cách chọn a, b, c, d chọn cách Ta có: a b c d e chia hết cho a b c d 3 e 0,6,9 a b c d 3du1 e 2,5,8(du 2) Nếu a b c d 3du e 1, 4,7(du1) Vậy có cách chọn e Suy có 8.9.9.9.3 = 17496 số chia hết khơng chứa thừa số Suy có: 30000 – 17496 = 12504 số thỏa mãn toán Bài 16: Chứng minh hiệu bình phương hai số nguyên lẻ hết cho Lời giải Gọi hai số nguyên lẻ Ta có x 1 2 x y 1 x, y Z y 1 4 x x y y 4 x x 1 y y 1 chia hết cho Bài 17: HSG Như Xuân, năm học 2020 - 2021 Chứng minh rằng: A n 6n 8n chia hết cho 48 với n chẵn Lời giải Ta có: A n3 6n 8n n n 6n n n n Vì n số chẵn nên đặt n 2k k , đó: A 2k 2k 2k 8k k 1 k Vì k k 1 k tích ba số tự nhiên liên tiếp nên: - Tồn số bội nên k k 1 k 2 nên A16 - Tồn số bội cuẩ nên k k 1 k 3 Vậy A chia hết cho 3, 16 mà 3,16 1 nên A3.16 48 Bài 18: HSG Vũng Tàu, năm học 2020 - 2021 n 1 n 3 n n Chứng minh 4.5 2.5 chia hết cho 18 với số nguyên dương n Lời giải Với số nguyên dương n ta có: n 1 n n n 3 4.5n 1 2n 3 2.5n n 4.5 2.5 5n 4.5 2n 5n.18 2n 1.18 n n n 1 n 3 n n 5n.18 2n 1.18 18 18 18 18 18 Vì nên hay 4.5 2.5 chia hết cho 18 Bài 19: HSG TP Bến Tre, năm học 2020 - 2021 n 1 3n Chứng minh số B 2 1 chia hết cho Lời giải 10 2018 Vậy A chia hết cho Bài 22: HSG Lục Nam, năm học 2016 - 2017 n Chứng minh 2 3n 1 chia hết cho 24 với n số tự nhiên Lời giải B n 3n 1 n 3n n 3n n n 3 n 3n n n n 1 n n n 1 n n 3 Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, 3, Mà 2, 3, đôi nguyên tố B 2.3.4 B24 Bài 23: Olympic Mỹ Đức, năm học 2018 - 2019 n 1 2n 1 Cho (với n ) số phương Chứng minh n chia hết cho 24 Lời giải Vì 2n số lẻ mà 2n số phương (gt) 2n chia dư 2n 4 n2 n số lẻ mà n số phương n chia dư n8 (1) n 1 2n 1 3n Mặt khác chia cho dư n 1 2n 1 Mà số phương nên chúng chia cho dư Vì n chia cho dư nên n3 (2) 3,8 1 Vì 3.8 24 nên từ (1) (2) suy n24 Bài 24: HSG Thuận Thành Bắc Ninh, năm học 2020 - 2021 12 Cho M (n 2n 5) (n 1) 2018 Chứng minh M chia hết cho với số tự nhiên n Lời giải Ta có x x 6 ( x N ) Khi đó: M n 2n n 2n n 2n ( n 1) 2018 n 2n n 2n 2022 n 2n 5 n2 2n 6 Áp dụng kết ta có mà 20226 nên M 6 Bài 24: HSG Thuận Thành Bắc Ninh, năm học 2018 - 2019 Chứng minh: B n 14n 71n 154n 120 chia hết cho 24 Lời giải B n 14n3 71n 154n 120 n n 2n3 2n 8n 8n 24n 72n 144n 120 n n 1 2n n 1 8n n 1 24n 72n 144n 120 n 1 n 2n 8n n 1 n 1 24n3 72n 144n 120 n 1 n 1 n n 8n n 1 n 1 24n 72n 144n 120 Ta có: n 1 n 1 n n tích bốn số nguyên liên tiếp nên chia hết cho có tích số chẵn liên tiếp nên chia hết cho Mà 3,8 1 3.8 24 n 1 n 1 n n 24 n 1 n 1 n3 n 1 n 1 n 24 24n3 72n 144n 12024 B 24 Bài 25: HSG Gia Lâm, năm học 2020 - 2021 3 Chứng minh a b ab chia hết cho với số nguyên a b Lời giải 3 Chứng minh a b ab chia hết cho với số nguyên a b Xét A a 3b ab3 ab a 1 ab b 1 A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 13 Do a 1; a; a số nguyên liên tiếp nên ab a 1 a 1 chia hết cho Tương tự : b 1; b; b số nguyên liên tiếp nên ab b 1 b 1 chia hết cho Do vậy: A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 chia hết cho 3 Do đó: A a b ab chia hết cho Dạng 2: Sử dụng công thức nâng cao a n b n a b a, b Z , a b, n N a n a n b n a b a, b Z , a b, n N b n a b a, b Z , a b, n N (với n lẻ) (nếu n chẵn) Bài 1: Chứng minh rằng: 70 70 b 13 51 a 17 19 17 c 17 19 18 4n d 115n N Lời giải 51 17 a) Ta có: (2 ) 2 7 70 70 35 35 35 35 b) Ta có : (2 ) (3 ) 4 4 13 c) Ta có: 1719 1917 (1719 1) (1917 1) 18 18 n ) Ta có: 24 n 24 1n 24 15 n N d Bài 2: Chứng minh rằng: n2 a 11 122 n1 133 2n n c 7.5 12.6 19 n 2 n n 1 b 26.5 59 n n n d 20 16 1323 (n số tự nhiên chẵn) Lời giải n 2 a) Ta có: 11 122 n 1 112.11n 12.122 n 121.11n 12.144 n (133 12).11n 12.144n 14 n n 133.11 11n ) 12(144 133 133 n2 Vậy 11 122 n1 133 b) Ta có: n 5n 2 26.5n 82 n 1 25.5n 26.5 n 8.8 n 51.5 n 8.64 n (59 8).5 n 8.64 n 59.5 8(64n 5n ) 59 59 n 2 n n 1 Vậy 26.5 59 c) Ta có: n 7.52 n 12.6 n 7.52 n (19 7).6 n 19.6 7(25 n n ) 19 19 2n n Vậy 7.5 12.6 19 d) Ta có: 20n 16n 3n (20n 3n ) (16 n 1) (20 n 1) (16 n 3n ) 20 16 1 20 16 3 n n n 20 16 1323 Vậy Bài 3: 3 3 Cho A 1 100 B 1 100 Lời giải Ta có: B 1 100 (1 100).100 : 101.50 Ta chứng minh A chia hết cho 101 50 +) A 13 23 33 1003 (13 1003 ) (23 993 ) (503 513 ) A101 101 101 101 A 13 23 33 1003 (13 993 ) (23 983 ) (50 1003 ) A50 A101.50 +) 50 50 50 Bài 4: n Cho A 16 Chứng minh A chia hết cho 17 n số tự nhiên chẵn Lời giải +) Với n số tự nhiên chẵn, đặt n 2k n N A 162 k (162 ) k 1k (16 1) 25517 A17 n +) Với n số tự nhiên lẻ, A 16 n n n Có: 16 16 16 1 17 A :17 dư 15 Bài 5: n n n n Chứng minh rằng: A 2903 803 464 261 1897(n N ) Lời giải +) Ta có: A (2903n 803n ) (464n 261n ) A7 2100 2037.29 A (2903n 464 n ) (803n 261n ) A271(2) A2.271 1897 Lại có: 2439 9.271 2.271 Bài 6: Chứng minh rằng: n 1 n2 a A 4 13 n b B n.28 26n 2727 Lời giải a n A 4.16 n 9.3n 4.16 n 4.3n 9.3n 4.3n 4.(16 n 3n ) 13.3 13 13 B n.28n n 27n 27 n(28n 1) 27( n 1) 27 b 27 Bài 7: n 1 n 1 n 1 n 1 Cho an 2 1; bn 2 CMR: Với số tự nhiên n có hai số an bn chia hết cho Lời giải Ta xét trường hợp +) Nếu an bn chia hết cho an bn 5 n 1 n 2 Ta có: an bn 2.2 2 / an 5 an bn (22 n1 1) (2 n1 ) 4 n1 2.22 n1 22 n2 4 n1 1(4 1) 5( n : le) bn 5 +) Bài 8: Chứng minh rằng: 2017 2139 3921 chia hết cho 45 Lời giải Ta có: 2139 3921 2139 1 39 21 1 16 Vì 2139 20 2138 2137 5;39 21 40 39 20 3919 5 2139 1 39 21 1 Mặt khác: chia hết cho (1) 2139 3921 2139 339 39 21 321 339 321 Mà: 2139 339 18 2138 338 9;3921 321 36 3920 320 9 Vậy 339 321 321 318 1 33 318 1 9 5;9 1 Mà 2017 2139 39 21 45 Bài 9: 4m 4m Cho a, b số tự nhiên không chia hết cho Chứng minh p.a q.b chia hết cho p q chia hết cho (p, q, m thuộc N) Lời giải 4m 4m 4m 4m Ta có: p.a q.b p(a 1) q (b 1) ( p q ) 4m m 4 Mà : a ( a ) 1a , ta có : a (a 1)(a 1)(a 2)(a 2) 5(a 1) ( a 1)( a 1) a(a 2)( a 2)5 a 1; a 1; a 2; a a/ Mà : , số phỉa chia hết 4m cho a 15 a 15 4m Tương tự: b 15 p q5( dpcm) 17 C BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Cho A( x) 2 x x x 13x a Phân tích A x b Chứng minh A( x)6x Z thành nhân tử Lời giải a A( x) 2 x x x 13x ( x 3)( x 2)( x 1)(2 x 1) b A( x) ( x 3)( x 2)( x 1)(2 x 3) 3( x 3)( x 2)( x 1) 2( x 3)( x 2)( x 1)( x 1) 6 Bài 2: Cho B( x) x x 13x 14 x 24( x Z ) a Phân tích B x b Chứng minh B( x )6 thành nhân tử Lời giải a B( x) x x 13x 14 x 24 ( x 3)( x 1)( x 2)( x 4) B( x) ( x 3)( x 1)( x 2)( x 6) ( x 3)( x 2)( x 1)( x 2) 6( x 3)( x 1)( x 2) b 6 Bài 3: 18 6 CMR C ( x) n 4n 6n 4n n 16n Z Lời giải C ( x) n (n 4n3 6n 4n 1) n [(n (n 1) 3n ( n 1) 3n(n 1) (n 1)]-(n+1)n ( n3 3n 3n 1) C ( x) n ( n 1)(n 1)3 [n(n 1)]4 24 16 (đpcm) Bài 4: 30 21 Chứng minh A 21 39 45 Lời giải Ta có: 213 2130 9 A9 A 2130 3921 (2130 130 ) 3921 ( 1) 21 A45 21 393 39 9 20 5 40 5 ; Bài 5: 634 142 Chứng minh B 8351 8241 26 Lời giải Ta có : 8351634 : le 8351634 8241142 : chan 142 8241 : le 8351634 8241142 [(8351) ]317 (8241)142 [(8351) ]317 1317 (8241)142 ( 1)142 (8351)2 1 Lại có: 13 19 8241 ( 1) 824213 Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy quan hệ chia hết Bài 1: 2 Tìm n Z để giá trị biểu thức A n 2n 3n chia hết cho giá trị biểu thức B n n Lời giải 2 Cách 1: Đặt phép chia ta được: n 2n 3n (n 3)(n n) 2n(n 1) n(n 1) U (2) 1; 2 n 1;2 Để A chia hết cho B 2 Cách 2: A n 2n 3n n(n n) 3(n n) Lập luận tương tự ta có n 1;2 Bài 2: HSG – Yên Phong – 2016 Tìm số nguyên dương n để A n 1B n Lời giải 3 Ta có: n 1n n (n 1) (n 1)n (n 1)(n 1)(n 1)(n n 1) 20
Ngày đăng: 23/10/2023, 17:55
Xem thêm:
