PGD – ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ LỚP Năm học: 2022 - 2023 Mơn: Tốn Ngày thi: 25/4/2023 Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời (chỉ có phương án đúng) ghi vào làm 2018 2017 2016 Câu Cho P(x) = x 2024 x 2024 x 2024 x 2022 Khi giá trị P(2023) bằng: A B.1 C 2023 D 2023 2 Câu Cho số a, b thỏa mãn a 2b 3a 12b 20ab Giá trị biểu thức a 2b a 2b bằng: A A B 1 C D 2 2 2 2 Câu Kết phép tính: (50 48 ) (49 47 ) bằng: A.1235 B.1255 C.1275 D.1295 x 3 x2 Câu Biết x x Giá trị biểu thức x x bằng: A 34 9 D 11 B 55 C 16 2 Câu Biết biểu thức M x y xy 10 y x 2023 đạt giá trị nhỏ x x0 , y y0 tích x0 y0 bằng: C 21 D.15 Câu Số nghiệm phương trình: ( x 1)( x 2)( x 4)( x 5) 40 là: A.1 B D C Câu Biết phương trình x x 2023 2028 có nghiệm nguyên lớn nhất, nhỏ A B a, b Giá trị biểu thức a.b bằng: A 2023 B 2024 C 2022 D 2025 Câu Biết đa thức x ax b chia hết cho đa thức x Khi a b có giá trị là: A.1 B C D 2 x x x 15 3 21 17 x Câu Tổng tất số nguyên âm thỏa mãn: là: A 231 B 210 C 190 D 253 Câu 10 Cho tam giác ABC biết A , phân giác góc B, C cắt I Khẳng định là: BIC 900 BIC 900 BIC 450 BIC 450 2 2 A B C D Câu 11 Cho tam giác ABC có diện tích 1(đvdt) Các điểm D, E, F thuộc cạnh BC, DB EC FA DC EA FB Tam giác taọ đường thẳng AD, BE, CF CA, AB cho có diện tích là: 1 1 A B C D Câu 12 Cho tam giác ABC cân A, BC a, AC b Vẽ đường phân giác BD, CE Đáp án đúng? a b2 DE 4( a b) A DE 3ab 2(2a b) DE 3ab 2(a 2b) DE ab a b D B C Câu 13 Cho hình thoi ABCD Một đường thẳng qua C cắt cạnh AB, AD (kéo dài) E, F ta có hệ thức là: 1 1 1 B AE AF BD A AE AF AC 1 1 C AE AF AB D AE AF AB Câu 14 Cho tam giác ABC vuông A , biết đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác AHB AHC có chu vi theo thứ tự 18 cm 24 cm.Chu vi tam giác ABC bằng: A 28cm B 30cm C 32cm D 36cm Câu 15 Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AD Lấy điểm O nằm A D Qua BE CF 1 O vẽ đường thẳng d cắt tia AB, AC E , F Biết AE AF Khẳng định đúng? OA OD OA OD A OA OD B OA 2OD 2 C D Câu 16 Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường thi tơ tăng vận tốc thêm 20%, đến B sớm dự định 10 phút Thời gian ô tô từ A đến B theo dự định là: A 60 phút B 90 phút C.100 phút D.120 phút II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 4 a) Tìm số x, y N * thỏa mãn A x y số nguyên tố b) cho n số nguyên dương thỏa mãn 2n 3n số phương Chứng minh n chia hết cho 40 Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x x x 0 b) Cho số a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 a b b c c a 0 2 c a b Chứng minh : Câu (4,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB 2a cố định Trên đường thẳng d vng góc với AB B, lấy điểm C, D cho CAD 90 , Kẻ BE, BF vng góc AC, AD E, F Chứng minh rằng: a) EF AB AE AC AF AD b) Gọi O, M trung điểm AB, CD Đường trung trực EF CD cắt I Chứng minh MOBI hình bình hành c) Tìm vị trí C d để diện tích tam giác ACD nhỏ Tính diện tích nhỏ theo a 2 Câu (1,0 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng: a b c 1 bc ca ab -HẾT Lưu ý: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi khơng giải thích thêm! HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ LỚP Năm học: 2022 – 2023 MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) A.Trắc nghiêm ( câu 0.5 điểm) 1-A 2-C 3-C 4-B 5-D 6-B 7-C 8-A 9-A 10-B 11-C 12-D 13-D 14-B 15-B 16-D B.Tự luận Câu (3,0 điểm) 4 a) Tìm số x, y N * thỏa mãn A x y số nguyên tố b) cho n số nguyên dương thỏa mãn 2n 3n số phương Chứng minh n chia hết cho 40 Câ u1 a) Ta có: A x y ( x y x y ) x y 2 x (2 y ) (2 xy ) ( x y xy)( x y xy ) 2 Để A số nguyên tố thì: x y xy 1 ( x y ) y 1 x y 0 (do x, y N *) y 1 x y 1(t / m) Vậy : x y 1 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2 b) Đặt: 2n p ,3n q ( p, q 3) +) 2n p p số lẻ Do : 2n p ( p 1)( p 1)8 ( tích hai số chẵn liên tiếp) n số chẵn 2 Mà 3n q q số lẻ q số lẻ 0.5đ 2 2 Ta có : n q p (q 1) ( p 1) (q 1)( q 1) ( p 1)( p 1)8 n8 (1) 2 +) Mặt khác: p q 5n chia dư 0.5đ 2n p , 3n q chia dư 2n5, 3n5 n5 (2) Từ (1) (2) đpcm 0.5đ Câu (3,5 điểm) x x x 0 a) Giải phương trình: b) Cho số a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 a b b c c a 0 c a b2 Chứng minh : Câ x u +) Với 2 Ta được: x x 5(2 x 1) 0 x 14 x 0 x( x 7) 0 x 0 (l ) x (t / m) x +) Với Ta được: x x 5(2 x 1) 0 0.25đ 0.5đ 0.25đ x x 10 0 ( x 1)(2 x 5) 0 x 1 (l ) x (t / m) 0.5đ x : x 2 Vậy: 2 Ta có: a ab bc ca a (a b)(a c ) Tương tự: b ab bc ca b (b a )(b c ); c ab bc ca c (c a )(c b) a b a b (a c ) (b c ) 1 c (c a)(c b) (c a)(c b) c b c a Tương tự: 2 0.75đ 0.75đ b c b c 1 ; 0.5đ 1 a (a b)(a c) a c a b c a c a 1 1 b (b a)(b c) b a b c a b b c c a P c2 a b2 1 1 1 0 c b c a a c a b b a b c đpcm Câu 3: (4,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB 2a cố định Trên đường thẳng d vng góc với AB B, lấy điểm C, D cho CAD 90 , Kẻ BE, BF vuông góc AC, AD E, F Chứng minh rằng: d) EF AB AE AC AF AD e) Gọi O, M trung điểm AB, CD Đường trung trực EF CD cắt I Chứng minh MOBI hình bình hành f) Tìm vị trí C d để diện tích tam giác ACD nhỏ Tính diện tích nhỏ theo a a) Xét tứ giác AEBF có: A E F 90 (gt) 0.5đ AEBF hình chữ nhật EF AB (dpcm) AE AB ΔAEB ΔABC ( g g ) AE AC AB AB AC Ta có: Tương tự: AF AD AB AE AC AF AD (dpcm) b) Ta có: AE AC AF AD AE AD D ΔAEF ΔADC (c.g c) E 1 AF AC MA MC ( CD ) ΔAMC cân A2 C Mặt khác: C D 900 (do CAD A E 900 ) 0.5đ 0.5đ 1 AM EF Vì O trung điểm AB nên O trung điểm EF OI EF MI CD MI / / AB AM / / OI mà AB CD AOIM hình bình hành OBIM hình bình hành (đpcm) AB BD ΔABC ΔDBA ( g g ) BC.BD AB BC AB c) Ta có 1 SΔACD AB.CD AB.( BD BC ) AB.2 BD.BC 2 Mà: SΔACD AB AB 4a Vậy Min SΔACD 4a C cách B khoảng 2a 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 2 Câu (1,0 điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 a b c 1 bc ca ab Chứng minh rằng: a a2 Ta có: bc a abc b2 c a 3a a a a 2 Mà: 3a a 1 3 a a ( a 1) ( a 2) a a 2 Vì: a a2 a2 a bc a abc Tương tự: b c b , c ac ab a abc a a.(b.c) a a 0.5đ a b c a b c 1 Cộng vế: bc ca ab (đpcm) *) HS làm cách khác cho điểm tối đa 0.5đ