Đs9 chuyên đề 4 phương trình vô tỷ(91 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ CƠ BẢN KIẾN THỨC CẦN NHỚ  g  x  f  x  g  x     f  x  g  x Ví dụ Giải phương trình: a x2  x   x  b 2x 1  x  4x  Lời giải: a Phương trình tương đương với: 1    4 x   x  x    x 1  2    x  x    x  1 15 x  10 x    x  1 3x  1     Kết luận x  nghiệm phương trình b Điều kiện: x  Bình phương vế ta được:   x  8 3x   2 x  x  x   2 x  x  x    2 x  x  x        x   x  8    x   16 7 x  12 x  64   Đối chiếu với điều kiện ta thấy có x  nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: a x2  x   x2  x   b 3x   x   x  Lời giải:  x2  x    a Điều kiện  thỏa mãn với x Ta viết phương trình lại thành  x  x   x2  x    x  x  bình phương vế ta có 2     x  x7 5  x  x  18  x  x  18      2 x  x     x  x7 3   x  x   25  10 x  x   x  x  x   x  x    x  1 x       x  2 Kết luận x  2;1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ 3x    b Điều kiện:  x    x  Bình phương vế phương trình ta thu được: 5 x    x    x  3  3x  1 x  3  5x 1  3x  1 x  3  19 x 11 11 11    19 x  11  x  x     19   19 2 x  10 x   361 x  418 x  121    349 x  378 x  109   x  1 349 x  109       x  Vậy phương trình có nghiệm x  MỘT SỐ CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ KHÁC Đặt ẩn phụ hồn tồn để quy phƣơng trình ẩn + Điểm mấu chốt phương pháp phải chọn biểu thức f  x  để đặt f  x   t cho phần lại phải biểu diễn theo ẩn t Những tốn dạng nói chung dễ + Trong nhiều trường hợp ta cần thực phép chia cho biểu thức có sẵn phương trình từ phát ẩn phụ Tùy thuộc vào cấu trúc phương trình ta chia cho g  x  phù hợp (thông thường ta chia cho x k với k số hữu tỉ) + Đối với toán mà việc đưa ẩn dẫn đến phương trình phức tạp như: Số mũ cao, bậc cao… ta nghĩ đến hướng đặt nhiều ẩn phụ để quy hệ phương trình dựa vào đẳng thức để giải toán Ta xét ví dụ sau: Ví dụ a  x  1   x  x b x  x  x  12 x  15     c x   x x  x  d x  x  x  x  e x   x  x   x f x  x x   3x  x Lời giải: a Ta viết lại phương trình thành: x2  x   x  x  , đặt t  x  x  ta có phương trình mới: 4t  4t     t  1 t  2  suy t  thỏa mãn điều kiện Giải t  ta có: x  x   x  x    x   17 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | b Đặt t  x  x  phương trình cho trở thành: t  2t  15   2t  t  15    t  3 2t  5  , t   t  thỏa mãn điều kiện Giải t  ta có x  x2   x2  x    x  Kết luận x  nghiệm phương trình c Điều kiện: x  Phương trình cho viết lại sau:         x   x 2 x   x   x  x  x   x Ta thấy x  nghiệm    1 x   1 x  phương trình Ta chia hai vế cho x thu được:        x   x  2 t  1 1 x Đặt  t ta có phương trình theo t : 3t  2t     t  x  Trường hợp 1: t  1 ta có: 1 x  1  x  x    VN  x   21 x  L  1 x 15  21 Trường hợp 2: t  ta có:   x 3 x 3    x x   21  x  Kết luận: Phương trình có nghiệm x  15  21 d Ta thấy x  nghiệm phương trình Vì ta chia hai vế cho x thu được: x  x  Đặt t  x  1 1  2  x  x 2  x x x x ta thu phương trình: x t3  t    t   x  1   x2  x 1   x  x Kết luận: Phương trình có nghiệm x  1  x  0  x    e Điều kiện:  x  4x 1   x   Ta thấy x  khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế cho x x ta thu được: 1 1  x    Đặt t  x   t  x   , theo bất đẳng thức Cô si ta có t  x x x x | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Thay vào phương trình ta có: t  t2    t   t  2 t   t  6t  x  25   x    x  17 x     x  x  Kết luận: Phương trình có nghiệm: x  4, x  f Nhận xét: x  khơng phải nghiệm phương trình 1 Ta chia hai vế cho x phương trình trở thành: x   x    Đặt t  x   x x x phương trình trở thành: t  2t    t   x  1   x2  x 1   x  x Ví dụ Giải phương trình: a 13  x  x    x  3  x   16 x  x  15 b 3x    x    x  32 Lời giải: a Điều kiện   x  Phương trình viết lại sau: 2  x    x   x  3 x     x   x    Đặt t  x    x    x  x  3  t2  Điều kiện  5  x  x  3  t 2 Phương trình cho có dạng: t  4t  t    t   x  Ngồi ta giải phương trình cách đưa hệ b Điều kiện:  x  Phương trình cho viết lại sau: 3 1  1    3x      x  3x      x    3x    x  32   3x      x  3x     x    3x    x  64 Đặt t  3x    x  t   3x   3x     x   x   3x    x  Từ phương trình suy t  64  t  Hay Bình phương vế ta thu được:  3x    x  3x    x   3x    x    x  x  44 x  113   x  11  2 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Tại ta phân tích hai phương trình trên: Ta thấy với phương trình:  ax  b  cx  d   ex  h  gx  k  r  cx  d  gx  k   s  cách xử lý hiệu là: Phân tích: ax  b  m  cx  d   n  gx  k  ex  h  m  cx  d   n  gx  k  sau ta đặt ẩn phụ trực tiếp, đặt hai ẩn phụ để quy hệ Ví dụ: Khi giải phương trình: 13  x  x    x  3  x   16 x  x  15 ta thực cách phân tích: + Giả sử: 13  x  m  x  3  n   x  2m  2n  4 Đồng hai vế ta suy ra:   m  ,n  2 3m  5n  13 + Tương tự ta giả sử:  x  3  m  x  3  n   x   m  ; n  2 Khi giải phương trình: 3x    x    x  32 Ta thực phân tích: m  3x    n   x   p  3x    q   x   x  3 Sau đồng vế đề tìm m, n, p, q ta có: m  ; n  ; p  ; q  2 2 Như vậy, ngồi cách đặt ẩn phụ ta giải toán theo cách khác sau: a Điều kiện: x 2 Đặt a  x  3, b   x a  b2  Từ cách phân tích ta có hệ sau: 2   a  b   a  b   2ab    2 2 3 a  b a  b  a b   16 ab      3  a  b   2ab  a  b   16ab      a  b 2  2ab    2  a  b   2   a  b    a  b   2   a  b           Đặt a  b  S , ab  P Điều kiện: S , P  0; S  4P  S  S  2P  Ta có hệ sau:    a  b 1 x   P  2 S  S  S  12     b Đặt a  3x  7, b   x ta có hệ phương trình | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ  a  b   a  b   64 Giải hệ phương trình ta thu được: a, b  x   2 a  b  14 a  b  14    Đặt ẩn phụ hoàn toàn để quy hệ đối xứng loại Phương pháp đặc biệt hiệu với phương trình dạng: ax2  bx  c  d ex  h ax3  bx2  cx  d  e gx  h Với mục đích tạo hệ đối xứng gần đối xứng ta thường làm theo cách: Đối với phương trình dạng: ax2  bx  c  d ex  h Ta đặt my  n  ex  h thu quan hệ: ax  bx  c  d  my  n  ax  bx  dmy  c  dn     2  2 2 m y  2mny  ex  n  h  m y  2mny  n  ex  h   Ta mong muốn có quan hệ x  y Nếu điều xảy từ hệ ta có: a b  dm c  dn   * Cơng việc cịn lại chọn m, n chẵn thỏa mãn (*) m2 2mn n h Đối với phương trình dạng: ax3  bx2  cx  d  e gx  h  ax  bx  cx  d  e  my  n  Ta đặt: my  n  gx  h thu hệ:  3 2 2  m y  3m ny  3mn y  n  gx  h ax3  bx  cx  emy  d  en   Để thu quan hệ x  y ta cần:  3 2 2  m y  3m ny  3mn y  gx  n  h  a b c  em d  en    3 2 m 3m n  3mn g n h Ví dụ Giải phương trình: a x2  x   x  b c 37 x   x  26 x  0 3 3x   8x3  36 x2  53x  25 d 27 81x   27 x3  54 x2  36 x  54 e x  2017  2017  x Lời giải: a Điều kiện: x   Đặt my  n  x  , ta có hệ: CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | 2   2 x  x   my  n 4 x  12 x  2my   2n  Ta cần tìm m, n để tạo quan hệ  2  2 2 m y  2mny  n  x   m y  2mny  x  n    x y  2  2n  n   n  2n   12  2m 2  2n Chọn m      n  3    m 2mn  n 5 4n  12  16   4n  Chú ý: Việc nhân số vào phương tình (1) hệ để tạo x2  12 x  cần thiết để chọn m chẵn nhóm x2  12 x  thành bình phương biểu thức bậc dễ Từ ta có lời giải cho tốn sau: 2   4 x  12 x    y  3  x  3  y  Đặt y   x  thu hệ:   2 y   x    y   x       Trừ hai phương trình hệ cho ta có:  x  3   y  3   y  x  2 x  y   x  y  x  y      x  y   x  32  x    x  2 Trường hợp 1: x  y  x   x    x   1  x 2  x    x  1 Trường hợp 2: y   x    x    x    x    Kết luận: Phương trình có nghiệm là: x   3, x   b Điều kiện: x   Phương trình cho viết lại sau: x  26 x  47  4x 1 3 37 2 37     my  n  9 x  26 x  9 x  26 x  my   n  Đặt my  n  x     3 3 m2 y  2mny  n  x  m2 y  2mny  x  n      28 37  6n   26  m  n  3 Chọn m     n  4 Ta cần:   37 m 2mn  n2    n  3 1   n2  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ   3x    x  y  Đặt y   x   Hệ phương trình sau:  Trừ hai phương trình hệ y   x     ta thu được:  x  y  x  y  22   Giải phương trình ứng với hai trường hợp ta thu nghiệm là: x  14  61 12  53 x  9 Chú ý: Ta tìm m, n nhanh cách:   x  3   my  n   11 Đặt my  n  x  ta có hệ:  Trừ hai phương trình cho nhau: my  n  x       x  3   my  n  2  2my  x  2n  2my  x Để có quan hệ: x  y ta cần:   m  2; n  3  2n   Tương tự giải câu b) c Đặt my  n  3x  ta có hệ sau: 3  8 x  36 x  53x  my  n  25  3x   x3  36 x  53x  25   3 2  m y  3m ny  3mn y  3x  n   Ta chọn m, n cho 36 53  m n  25     m  2, n  3 2 m 3m n 3mn  n    x  3  y   x  Đặt y   3x  Ta có hệ phương trình sau:    y  3  3x  Trừ hai phương trình cho ta thu được:  x  3   y  3  y  x 3 2   x  y   x  3   x  3 y  3   y  3  1   x  y     y   Do  x  3   x  3 y  3   y  3    x  3       y  3      2 Giải x  y ta có:  x  3  3x   8x3  36 x  54 x  27  3x  x    x    x  20 x  11    x    Kết luận: Phương trình cho có nghiệm: x  2, x  5 d Ta viết lại phương trình thành: 27 81x    3x    46 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |   y    81x  Đặt y   81x  ta có hệ phương trình:    3x    27  y    46 3   y    81x     3x    81y  Trừ hai phương trình hệ ta thu được:  3x     y    81 y  x  3 2   x  y   3x     3x   y     y    27    x  y   x  Thay vào ta được:  3x    27  3x    46  27 x  54 x  33x    x    3 Kết luận: Phương trình có nghiệm là: x  0, x  3 x  a điều kiện  a  2017 , phương trình cho trở thành: a  2017  a  2017 e Đặt Đặt 2 a  b  2017 2017  a  b  ta có hệ phương trình:  b  a  2017 a  b Trừ phương trình hệ ta thu được: a  b2  b  a    a  b  a  b  1    a   b TH1: a  b hay 2017  a  a a  bình phương vế ta thu được: a  2017  a  1  8069 a  1  8069 Hay a  a  2017    Đối chiếu điều kiện ta thấy a  thỏa mãn  1  8069 a   2  1  8069  Suy x      TH2: a   b  2017  a   a (điều kiện a  ), bình phương vế ta thu được: a2  2a   2017  a  a2  a  2016 (không thỏa mãn điều kiện)  a   a  a  1   1  8069  Vậy phương trình có nghiệm x      Với phƣơng trình dạng:  ax   b  ax  b việc đặt ẩn y  b  ax đưa hệ đối xứng loại I cách giải hiệu Chú ý : | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ + Với phƣơng trình dạng:  f  x   b  a n af  x   b * n t n  b  ay Bằng phép đặt t  f  x  ; y  n af  x   b ta có hệ đối xứng loại là:  n  y  b  at + Trong phƣơng trình (*) ta thay a, b biểu thức chứa x cách giải phương trình Những phương trình dạng thường có hình thức lời giải đẹp * Ta xét ví dụ sau: Ví dụ Giải phương trình: a x  11x    x  1 x  x  b 8x3  13x    x  1 3x  c  x   x   x   x (Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 2018) Lời giải: a Ta viết lại phương trình thành:  x  3  x    x  1 Đặt a  x  3, b   x 1 x  3   x  3  x  1 x  3   x  3 ta thu hệ sau:  a  x    x  1 b Trừ hai phương trình hệ ta được:  b  x   x  a     a  b2   x  1 b  a    a  b  a  b  x  1  Trường hợp 1:  3 3  x  L  x    2 a  b  2x   2x  6x     2 x  x    x   TM    Trường hợp 2: x  2 x   x  x   x    x  x   3x   VN  7 x  30 x  36  Vậy phương trình có nghiệm nhất: x  3 b Ta viết lại phương trình thành:  x  1   x  x  1   x  1  x  1 x  1  x  x  Đặt a  x  1, b   x  1 x  1  x  x   3x  ta thu hệ phương trình: 10 CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUYÊN | x  2x   2x  4x   2x  4x   2x  4x  Đặt y  2x  4x  với y   2x  4x   y Phương trình có dạng y   4y  y  4y   Giải ta y1 = 1; y2 = - Với y = 2x  4x    2x  4x    2x  4x    x  - Với y = 2x  4x    2x  4x    2x  4x   Giải ta x = -1, x = Vậy tập nghiệm phương trình S  1; 1;3 Bài Đặt x  x   y  y   , phương trình có dạng y  y  12  Giải ta y = (thỏa mãn); y = - (không thỏa mãn) Với y   x  x    x  x   Giải ta x1   61  61 ; x2  2 Bài Điều kiện x  2x  x  x  1 1   2x  x   x    4 4  1 1  2x   x      2x  x      2   3  x    2x  x     2x  với điều kiện x  4 2   x   x  4x  4x  x   Giải ta x  ; x  4 So sánh với điều kiện, ta x  (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình x  Bài 10 a/ x  3x   x   x   6x  x  3x  x     x   x   77 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Điều kiện x  2 x   y  y   phương trình có dạng: x  3xy  2y  Đặt  x  xy  2xy  2y    x  y   x  2y   - Trƣờng hợp Xét x  y   x  y  x   x  x  x   với x  Giải ta x = -1 (loại), x = (thỏa mãn) - Trƣờng hợp Xét x  2y   x  x      x 2 1   x 2 1  x  22  Vậy tập nghiệm phương trình S  2;2   b) Đặt t  x   t    t   t   1  1 1  t  t   t   t    t     t    4 2  2  1 1  t   t    t   0, t    2 2 2  t   t   t  2t   t   t  t   giải ta t1  Với t  1  17 1  17 (loại); t2  (thỏa mãn) 2 17  17  11  17  x 1  x 2 Bài 11 Đặt t  x  3x   t    t  16  8x  3x   x  3x  9x  12   x  3t hay t  3t   x  t  3t  x  Từ đó, ta có hệ phương trình    x  3x  t  Trừ vế phương trình ta t  x  3t  3x  x  t   t  x  t  x    - Trƣờng hợp Xét t = x ta có x  3x   x  x  2x   Giải ta x1  1  5; x2  1  (loại) - Trƣờng hợp Xét t + x + = ta có x  3x   x    x  4x  Giải ta x = (loại), x = -4 78 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |  Vậy nghiệm phương trình S  4; 1   Bài 12 1 Đặt u   ; v  x  với u  0;v  0; x  x x u  v  x Từ ta có hệ phương trình  2 u  v   x u  v  x u  v  x    1 x u  v  x  u  v  u  v    x  1 x  2v  x   2v  x   hay 2v  v   v  x x Với v   x    x2  x   x Giải ta x1  1 1 (loại); x2  (thỏa mãn) 2    Vậy nghiệm phương trình S      Bài 13 Đặt x  u; 2x   v  u  0;v   x x Điều kiện x   0;2x   x x 4   x  u  x  v u  v  x  x  Ta có hệ phương trình  u  v   x u  v   x   x x Suy u2  v2  u  v    u  v  u  v  1  Do u  0;v  nên u  v   Suy u  v   x  Thử lại x   x  x  2  x  5  2x   x   2x   x   x  2 x x x x x 1     thỏa mãn x 2 1  2     (không thỏa mãn) x 2 Vậy nghiệm phương trình là: x = .79 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Bài 14 a/  10 Đặt  x  1  x     x   x  điều kiện x  1 x   u; x  x   v  u  0;v    Phương trình có dạng: 10uv  u2  v  u  3v   3u2  9uv  uv  3v    u  3v  3u  v      3u  v  - Trƣờng hợp Xét u  3v   u  3v Suy x  x   x   9x  9x   x   9x  10x   vô nghiệm - Trƣờng hợp Xét 3u  v   v  3u x  x   x   x  x   9x   x  10x   Suy Giải ta x1   33; x2   33  Vậy phương trình có tập nghiệm : S   33;5  33  x  1  x b/  Đặt    x   2x  5x  điều kiện x  x   u; x  x   v  u  0;v   Phương trình có dạng : 7uv  2v2  3u2  v  3u   2v  6uv  uv  3u2    v  3u  2v  u      2v  u  - Trƣờng hợp Xét v  3u   v  3u Suy ra: x  x   x   x  x   9x   x  8x  10  Giải ta được: x1   ; x2   - Trƣờng hợp Xét 2v  u   2v  u Suy x  x   x   4x  4x   x   4x  3x   vơ nghiệm  Vậy phương trình có tập nghiệm là: S   ;    c/  x  2x   Đặt   x  2  x    x  điều kiện x  2 x   u; x  x   v  u  0;v   Phương trình có dạng:  u2  v2  5uv  2u2  4uv  uv  2v    2u  v  u  2v   - Trƣờng hợp Xét u  2v   2v  u 80 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Suy x  x   x   4x  4x   x   4x  3x   vô nghiệm - Trƣờng hợp Xét 2u  v   x  x   x   x  x   4x   x  3x   Giải ta được: x1   37  37 (thỏa mãn) ; x2  2    37  37   Vậy tập nghiệm phương trình: S   ;      Bài 15 Điều kiện xác định: x   ,x  Phương trình tương đương với 12x   3x  1  4x 3x  Đặt a  2x,b  3x  Ta có phương trình 3a2  b2  2ab   b  a  b  3a    b  a b = -3a Khi - Với 3x   6x 3x   2x 3x   2x , điều kiện x > 0, ta có: 3x   2x  3x   4x  4x  3x    x  x   - Với 3x   6 x , điều kiện   x  , ta có: 3x   6 x  3x   36 x  x   153  153 x  (loại) 72 72 Vậy phương trình có hai nghiệm x  1, x   153 72 Bài 16 ĐKXĐ: x  3  (loại) 2x  x   3x x   2x  x   x   x3 0 x    2x  x   x       2x  x     x  x    x   13   x  x     13  Vậy tập nghiệm phương trình là: S  1;    81 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Bài 17  Nhận xét: 2x  5x  x    2x   x  x  ĐKXĐ: x      Phương trình viết dạng x  x    2x    Đặt  2x    x x2  2x   a, x  x   b  a  0,b   a  b Phương trình có dạng b2  3ba  2a    b  a  b  2a      2a  b Trƣờng hợp Xét a = b, ta có: x  x   2x   x  x   Phương trình có hai nghiệm: x  1 1 (thỏa mãn), x  (thỏa mãn) 2 Trƣờng hợp Xét 2a = b, ta có: x  x   2x   x  x  10  Phương trình có hai nghiệm: x   89  89 (thỏa mãn), x  (không thỏa mãn) 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x  1 1  89 ; x ; x 2 Bài 18 Điều kiện xác định phương trình cho x     x  Phương trình cho tương đương với    2x2  4x    x  2x  3x  5x 2x2  4x    x   3x 0 2x  4x    x   2x 2x  4x    x 2x2  3x    2x2  3x  5x  x  2x  4x    x    2x2  3x    3x     2x  4x    x    Dễ thấy  3x  5x  3x 0   2x  4x    x   x  nên từ phương trình ta  5 2x2  3x    x  1;   2  5 2 Kết hợp với điều kiện xác định ta có tập nghiệm S  1;   Bài 19 82 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN |  Phân tích Điều kiện xác địnhcủa phương trình x  Nhận thấy phương tình có chứa hai     x   a x   b với a  0, b  Nhận thấy x   x   3x  20 ta thức nên ta đặt có biến đổi sau Phương trình cho tương đương với     3x  x   14 x   20   x   x   x   14 x   Từ ta có phương trình 4b2  a2  7a  14b   2b  a 2b  a    Đến cần giải phương trình tích xong  Lời giải Điều kiện xác định phương trình x  Phương trình cho tương đương với     3x  x   14 x   20   x   x   x   14 x   x   a x   b với a  0, b  Khi phương trình trở thành Đặt 2b  a  4b2  a  7a  14b   2b  a 2b  a     2b  a      + Với 2b  a   2b  a  x   x    x    x   x  20 + Với 2b  a    2b   a , ta có phương trình 4  x  53  4  x  53   x4 7 x4   4 x    x  29  3x  14 x   29  29 4  x  4  x    x5  29  3x  142 x  9x2  370x  1625            Kết hợp với điều kiện xác định ta x  nghiệm phương trình  Nhận xét Nhận thấy x  nghiệm phương trình nên ta nghĩ đến phương pháp nhận lượng liên hợp để làm xuất đại lương x  Ta có biến đổi sau 3x  x   14 x   20  3x  15  x    14 x   42     x5   x5    14 x      x  3  x4 3  x 4 1 x     14 3  0  x 4 1 x4 3   x 4 1  0 x   3 14  + Với x    x  , thỏa mãn điều kiện xác định + Với  x 4 1 Từ ta  14 x4 3 14 x4 3 0 3  Với x  x 4 1 14 x4 3   14 x4 3 14 3  (Mâu thuẫn) 83 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Vậy x  nghiệm phương trình II.CHUYÊN Câu 1: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Khoa học Tự nhiên năm học 2018 – 2019) Giải phương trình:  x   x   x   x Câu 2: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Giang năm học 2018 – 2019) x   x2  x  Giải phương trình: Câu 3: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định năm học 2018 – 2019)   Giải phương trình: 1  x  x  x   x  x  Câu 4: Giải phương trình: x3   x  Câu 5: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu năm học 2017 – 2018) x    x  x2  5x 1 Giải phương trình: Câu 6: (Đề thi thử vào lớp 10 Chuyên Khoa học Tự nhiên năm học 2017 – 2018 vịng 1) Giải phương trình:  x  1 x      x    x   x2 Câu 7: Giải phương trình: x2  12   3x  x  Câu 8: Giải phương trình: x  x    x  x  1  x Câu 9: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018) Giải phương trình: x3  x   5x2  Câu 10: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ năm học 2018 – 2019) 13x  28 x  24 Giải phương trình: x  2 x   2x 1 Câu 11: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Bắc Ninh năm học 2018 – 2019) Giải phương trình: x   3x   x  Câu 12: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ năm học 2017 – 2018) Giải phương trình: x2   3x   13x Câu 13: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương năm học 2017 – 2018) Giải phương trình: x x     x    3x  x  13x  15  x  Câu 14: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Đại học Vinh năm học 2018 – 2019) Giải phương trình: x  x   x2  x  Câu 15: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Bình năm học 2017 – 2018) 84 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | x2  x  12  x   x  Giải phương trình: Câu 16: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm học 2017 – 2018) Giải phương trình:  x   x 1   x  3x    Câu 17: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán – TP Hà Nội năm học 2018 – 2019) Giải phương trình: x  3x    x  5 x  x  HƢỚNG DẪN Câu 1: Điều kiện xác định:  x  Đặt a  x b   x ta có a, b  2a  b2  Ngồi ra, từ giả thiết ta có  3ab  7a  5b hay  a  b   2a  b  3  Suy b   a b   2a +) Với b   a , thay vào (1), ta  3a   a   2a  10 Giải phương trình này, ta a  (tương ứng b  x  ) a  (tương ứng b  3 x  ) +) Với b   2a , thay vào (1), ta  3a   2a   7a  3  2a  Giải phương trình này, ta a  (tương ứng b  x  ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  Câu 2: Điều kiện xác định: x  3 Với điều kiện phương trình cho tương đương với: x    x2  x    x 1   x  1 x  5  x3 2     x  1   x  5   x3 2  Do x  3 nên x   , suy  x   với x x3 2 Do phương trình có nghiệm x  (thỏa mãn điều kiện) Câu 3: Điều kiện xác định: x2  x   85 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Ta có: 1  x  x  x   x  x   1  x   1  x  x  x   x  x    x  1    x  x2  x     x  1 2 1  x  x  x   x   x  x   2 x   1  x  x  x    x   x  x   (lo¹ i)  x     3x  x   (vô nghiệm)  x  1  (thỏa mãn)  x2  2x 1   Vậy phương trình cho có nghiệm x  1  Câu 4: Đặt x   a  x   a3 Phương trình trở thành: x3   2a Suy a3  x3   x  a    a  x   a  ax  x    x  a    a  x   a  ax  x    (*) a  Xét a  ax  x    x     a 2  a  Vì  x    0;  0; a  suy x2  ax  a   2  Kết hợp (*) suy a  x  hay x  a Ta có: x  x   x3  x    x  1  x  x  1  x    x  x 1   x   1  x     x   1       1  Vậy tập nghiệm phương trình S  1; ;  2     86 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Câu 5: Điều kiện xác định:  x  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đưog với x     x   x2  5x  1     x  3    x  1   x 1  x  1  1  2x    3  x  1  1 Mà x  nên 1   2x 1  x  1  x 1 Từ suy Do x  (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình S  3 Câu 6: Điều kiện xác định: 1  x  Phương trình tương đương với 2      x 1    x 1    x 1  1 x  1 x   x 1   x 1  1 x 1 x  1  x 1  x    x     x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S  0 Câu 7: Điều kiện xác định: x  Phương trình cho tương đương với x  12   3x   x    x2  x  12  x2   3 x  2  x2    x2 x2    x  2  3 0 2 x  12  x     Ta có 3x   x  12  x   nên để phương trình có nghiệm x  Với x  ta có x   Mặt khác x2  12   x2    nên x2 x  12   x2 x 5 3 87 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN 3 CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Do phương trình có nghiệm x  Câu 8:  x  x  2  x   Điều kiện xác định:  x  x  1    x  2   x  x   x 1  x  x  x  1  x  x      x  x  Xét Thay x  vào phương trình ban đầu thấy thỏa mãn Xét x  , phương trình cho tương đương x2  x  x2  2x x  x  1  x  x   2 x  3x x  x  1  x  x   2 x   x  x  1  x  x     x  x  1  2 x  +) Nếu x  2 ta có   x  x  1  x  x    2 x  (1) Giải phương trình (1) ta thấy phương trình vơ nghiệm 3  3  x  x  1  x  x     x  x  1  x  +) Nếu x  ta có   x  x  1  x  x    x  (2) Giải phương trình (2) ta tìm x  Thử lại thấy thỏa mãn Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  Câu 9: Điều kiện xác định: x  Đặt x  x  a, 5x2  b0 Ta có: a   b Từ cách đặt ta có: 3  a  x  x  a3  6b   x3   a    x3  a   x  2  6b   x   Từ x nghiệm phương trình:  x    x3  5x  x  12 x    x  3  Thử lại ta x  6  thỏa mãn   Vậy tập nghiệm phương trình S  6  Câu 10: 88 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Điều kiện xác định: x  Phương trình cho tương đương với x2  x  1   x  1 x   13x  28 x  24   x  2   x  2    x 1  x 1 Từ đây, suy x   x   x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm x  Câu 11: Điều kiện: x    a  x  Đặt   a, b   b  x    Ta có hệ: 2 2  a  b  a a   3a   a  a     a    a  2a        2 2 b2 3a  b    a  a  b   a  a  b   Từ ta có: x  (thỏa mãn điều kiện) nghiệm phương trình cho Câu 12: Điều kiện: x   Phương trình cho tương đương với:   x    x     3  Đặt  y   x      x   y   (*) ta hệ: 2   x  4    x     x    x       y  (1)     y    x       x  (2) Trừ vế với vế (1) (2) ta được:   x     y     x     y  2    x   y   x   y  1    x  y  x  y  5   1 15  97  x +) Nếu x  y , thay vào (*) ta được:  x  3x    x 4 x  15 x    +) Nếu y  x  11  73  2x x , thay vào (*) ta được: x   3x    4 x  11x   Thử lại thấy hai nghiệm thỏa mãn .89 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  15  97 11  73 x  8 Câu 13: Điều kiện: x   Phương trình cho tương đương với: x      2x    x     2x     2x     2x   x  x  1  Giải phương trình ta tìm nghiệm x  3, x  Câu 14: Điều kiện xác định: x  x  x   x  x   x  x   x  3x  x  x   x  3x  x  x  x  3x   x  x   x  3x  x  x  x  x  x  x  3  x   x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  x  Câu 15: Điều kiện: x  1  a  x  Đặt  b  0  b  x  Từ đó, ta có phương trình:  2a  b   2a  b  a  8b2  2a  b     a b  2 2 a  8b  4a  4ab  b 3a  4ab  7b   x2  x   x   13 x (thỏa mãn) a  b hay x   x    x  Vậy phương trình cho có nghiệm x   13 Câu 16: Điều kiện: x  90 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |   x4  a0 Đặt    a  b  ab  1  a  b   a  b  a  1 b  1    x 1  b  +) Nếu a  b   a  b vô nghiệm +) Nếu a  , thay vào ta x  3 không thỏa mãn điều kiện xác định +) Nếu b  , thay vào ta tìm x  Thử lại thấy nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x  Câu 17: Do x2  x   nên phương trình cho xác định với x  Từ phương trình ban đầu ta có  x  3x  8   x  5  x  x   2  x4  x2  64  x3  48x  16 x   x  10 x  25 x  x    x4  x3  25x2  48x  64  x4  11x3  37 x2  45x  50  5x3  12 x2  3x  14    x  1 x   5x     x     x  2 (thỏa mãn)  x    Vậy phương trình cho có ba nghiệm x  1, x  2 x   91 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN